　スローライフの部屋　数学２＆花と野菜

2024年11月04日

233006　大人のさび落とし　関数の極限値　係数の決定

雨の日の　スローライフの部屋
233006　大人のさび落とし　関数の極限値　係数の決定

01

次の関数の　極限値が　1の　とき

係数を　求めなさい

（　極限値　1　が　あるとき　）

02

極限値が　存在するならば　

分母が　→　0　のとき　分子　→　0

03
極限値が　存在するとき

分母が　0　ならば

分子に　ｘを　目標値　という意味合いで

代入した結果　分子は　＝　0　になる

ゼロ分の　ゼロ形

04

そこで

ｘ＝1を　どこまでも　近づく　目標値

ということで　代入すると

05

ｂ＝　2a　

を　与式に　代入して

06

ゼロ分の　ゼロ形

であるので

約分を　すると

ひとまず　無理数があるので　

共役無理数を　（　北斗　と　南斗　　は　みたいな　）かけると

昔さ　喫茶店　通い　してた頃

今日　宮下君　来ないね

あー　宮下君はね　

今日は　北斗の拳があるから　来ない

もし来るとすれば

7：30　過ぎて　

歩いてくるから　

そろそろかな

いらっしゃいませｰ

あー　今噂してたんだよ

何なんですか

なんか　見てたでしょ

木曜だから　あれを

・・・あの・・ぺぺロン　

一つお願いします。

話を　元に戻して

07

約分ですよ

08

これがさ　＝　1になるんだから

a＝4　

となれば　b＝8

09

次の　括弧を　うめよ

こんなの　試験に　出そうだね

見ておいて損は　無いと思いますよ

10

極限値が　存在し

分母が　ゼロ　ならば　分子も　ゼロ

11

こんな感じになるはずだから

ｘ＝ー1を　代入して

ｂ＝　にすると

12

与式に　代入して

ゼロ分の　ゼロ形は　約分

なのですが

無理数があるから

ひとまず　共役無理数を

分母分子に　かけて

13

整理して

14

約分して

15

ゼロ分の　ゼロ形

を　脱したので

目標値　ｘ＝－1を　

代入して

16

整理していって　これが　1/2　だから

17

a＝0

そうすれば　ｂ＝－1

18

こんな感じですか

19

次は

式の　計算で　にた問題が

あったかと　思いますが

係数を　求める問題

20

極限値があるので

分母が　ゼロ　ならば

分子もゼロ

21

まず　一つ目の　条件①

ｄ　は　こんな感じ

22

ｄを　与式に　代入して

ゼロ分の　ゼロ形　なので

約分　　

なのですが

分子は　括弧を　外して　a,b,c,ごとに　整理

分母　因数分解

23

分子は

くくって

24

約分して

25

条件式　②

もう一つ　の方は

今度は

　無限大　分の　無限大　形

26

これは　ｘ　の　何乗　かで　割るんですが

ここは　あえて　ｘ　で割ると

27

こんな感じになって　じゃナイスか

28

a　ｂ　が出ると　ｃ

そして　ｄ

29

こんな感じで

30

実際に　計算すると

なるですね

31

で　あるような　最低次数の　整式ｆ（ｘ）

を　求めよ

32

　
ともに　ゼロ分の　ゼロ形

ゼロ分の　ゼロ形は

　約分なので

（ｘ－1）（ｘ－2）　を　因数に持つ

分子を　これと同じにしたとき

（ｘ－1）（ｘ－2）
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ これ分の　これで
（ｘ－1）（ｘ－2）

計算すると

与式が　成り立たないので

まだ　

何か必要

そこで　分子を

（ｘ－1）（ｘ－2）　ｇ（ｘ）　として

（ｘ－1）（ｘ－2）　ｇ（ｘ）
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ で　計算すると
（ｘ－1）（ｘ－2）

33

与式に　代入すると

ｇ（1）＝－1

34

ｇ（2）＝2

題意は　最低次数の整式なので

そうなるためには

ｇ（ｘ）　の次数は　最低次数　1次式

であるから

35

a=3 b=-4

このa、ｂha

自分で　作ったものなので

これを

ちゃんと　数字にして

36

ｇ（ｘ）＝3ｘ－4

この　ｇ（ｘ）　も　じぶんで　勝手に

作ったものなので

ちゃんと　因数に　表現して

ｆ（ｘ）　＝　（　こん　）（な　）　（　感じで　）

（　晴れ部屋へ　家庭菜園と５Ｆ　４Ｆ　３Ｆ　２Ｆ　 1 Fざっかや

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【このカテゴリーの最新記事】

posted by moriamelihu at 07:33| 大人のさび落とし　

2024年11月01日

233005　大人のさび落とし　f（x）の入ったもの　関数の極限値

　

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ｆ（ｘ）が　入ったもの

大人のさび落とし

01

ｆ（ｘ）が　＝　これこれの時

次の　極限値を　求めなさい

02

ｆ（　中身に　）　これこれのところを

代入してじゃナイスか

こんな感じになるでしょ

03

極限というのは

限りなく　ある値に近づくんだけれど

その値には　ならず

限りなく　

近づき続ける

不思議な世界だね

04

ゼロ分の　ゼロ　形なので

約分したいのだけれど

無理数が　入ってるので

ひとまず　共役無理数を　分母　分子に　かけて

2乗の形を作って

ルートを　はずそうと

05

ところがさ

3項あるので

徐々に　外してくと

06

ここで　少し

見かけを

簡単に　できるので

赤枠の中

07

で

もう一回　

共役無理数を　分母分子に　かけて

分母分子　にかけるのは　約すと　　1

になるから

等号が　変わらず　式を　変形できる

08

　
ゼロ分の　ゼロ　を　脱したので

ｈは　ゼロに限りなく　近づくが

ゼロではない　しかし　目標という意味で

ゼロを　代入すると

09

後は　計算問題

10

類題　　行ってみましょう

どうするんでしたっけ

リミット　の　式の方の

ｆの　（　の中身を）

上の　ｆ（x）の　ｘ　のなかに

代入　するんですよね

11

こんな感じに　なるんですが

なれれば　簡単なんだけど

初めての時とか

こういうのが　苦手な人は

これは　ブログなので

ここで　徐行じゃナイスか

12

展開して

整理したら

約分できたので

13

今度は　ちょっと

苦手な人は

これを見たら　ひるむと思いますが

うろたえることなく

14

こんな感じになるからさ

15

ｈでくくって

約分できて

16

ここに　目標値を　代入すると

この値に　限りなく　近づく

17

つぎはですね

しょうじき　
　

苦戦してしまいました

計算力の　問題かな

まず

代入してみましょう

ｘ　の　中に　代入するでしょ

18

ここまでできれば

後は　計算

19

3乗なので

計算式が　長くなってしまうから

ちょっと　置き換えを　使ってですよ

20

ちょっと　づつ　変化してます

分子の　先っちょだけ

21

先っちょだけ　元に戻して

共役無理数を　分母分子に　かけると

22

計算してみてね

なるでしょ

23

ここで　全部　元に戻したらば

ゼロ分の　ゼロ　形　を　脱しているので

目標値　代入

24

こんな感じに　なってですよ

posted by moriamelihu at 08:24| 大人のさび落とし　

2024年09月10日

233004　関数の極限値　④　極限値なし　の　場合

　

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大人のさび落とし

関数の極限値　極限値なしの場合

①

次の関数の極限値を求めよ

②

一様　目標値　という意味で

無限大を　　いれてみますと

このままだと　

旨くないから　ｘの3乗で　くくり出せば

値は　変わらないので

③

でもー

やっぱさ

無限大に　なってしまう

なので　極限値なし

④

次の　極限を　求めよ

これ　どうなると思う

直感で

数学は　直感も　大切なんだよ

だからって　

答えを　全部　直感で　かくと

後で　ちょっと　来なさい　になってしまうので

⑤

一見　

ゼロかな　と　思うんだけど

ぜろに　プラスから　近づくとき

（　万年筆で書いた　カナ使いが　間違ってましたが　

　ず　　でなくて　　　づ）

ぜろに　マイナスから　近づくときで

値が　違うんです

極限値　なし

⑥

次の　極限値を　求めよ

ルートの　なかに　二乗が入ってる

決まりがあったじゃナイスか

⑦

プラス側から

ゼロに　近づいてくと

⑧

通分して

分母の二乗の入った　ルートを

プラス側で　外して

⑨

共役無理数分母分子にかけて

⑩

1にかぎりなく　近づく

⑪

次に

マイナスの側から　ゼロに　近づけてみると

⑫

今度は

⑬

分母が　マイナスになって

⑭

共役無理数を　分母分子に　かけると

⑮

まいなす1

⑯

つまり

プラス側　マイナス側　いづれから

近づくかに　よって

値が　異なってしまうため

極限値なし

⑰

次は　三角関数

あのですね

入院したときに

ドクター　が言ってましたよ

学生も　結構　三角関数は　　苦手なんだって

で　

あ～　この話は　ここでしちゃまずいから

こっちが　有名か

リングの　上で

なんか　スリーパーホールドを　してるときに

耳元で

気が遠くなるような　数学公式を

ささやく　レスラーがいたんだって

ん？って　ひるんだ隙に　スリーパーホールドが

はまってしまい

で

落ち着いて　参りましょう

私も　三角関数は　苦手です

⑱

こんな感じに　なるじゃないですか＾～＾

⑲

だから

書き方の問題なんだけどさ

こんな感じになってくるから

⑳

なんとなく　法則性を　みいだして

㉑

こうかけるから

㉒

これを　まとめにして

極限値なし

㉓

お待たせいたしました

きょうの　

これは何だ！

少し前に　これに　近い問題があったでしょ

直感で　どう思いますか

無いと　思いますか

㉔

プラス側から　ゼロに近づくとき

0

マイナス側から　ゼロに近づくとき

途中は　マイナスだけど

0に近づく

であるため

極限値あり　極限値　0

㉕

これは　どうでしょう

ｎ乗根　の　ｎが偶数の時は

実数解は

2つある

㉖

ｎが　奇数の時は　実数解は　1つある

　
で

立方根に関しては

3つの解があるが　実数のものは　一つだけである

立方根　a

があるとき　aが　正の時は　立方根aは　正

　　　　　　aが　負の時は　立方根aは　負

㉗

でアルタメ

なのですが

なため

極限値　ありで　極限値　0

㉘

次は

コサインは　

単位円で見るとき

動径の　　シータ　を

限りなく

ゼロに　近づけると

1

㉙

これは　こんなんでいいかな

㉚

これはさ

指数に　マイナスがあると

でアルタメ

㉛

これは

直感で　どうですか

場合分けをすると

いずれから　近づくかで

値が　変わってしまうため

極限値なし

㉜

これは

どうなるか

計算してきますと

かなり　にてるンだけど

いずれから　近づくかで

違う値になります

　
㉝　　

サイン　コサインは

周期関数

サイン　コサイン　の前に　振幅の　係数が　無ければ

振幅はプラスマイナス1

であるから

ｘ　が整数であるならば

コサインの場合

プラスマイナス1

の範囲

二乗すれば　0　以上　1未満

㉞

サインの場合

ｘが　整数ならば

ぜろ

であるので

xが　整数のとき

与式は　極限を持ち　極限値　1

㉟

ｘが　整数でない場合

こさいんは　マイナス①より　　大きく　　　1　未満であり

コサイン二乗は

ゼロ以上　1未満である

㊱

ｘが整数出ないとき　サイン関数は　こんな感じになるので

サインの二乗は　ぜろ　より大きく　　1以下である

でアルタメ

極限があり　　極限値　0

㊲

まとめて

posted by moriamelihu at 10:13| 大人のさび落とし　

2024年09月03日

233003 大人のさび落とし　関数の極限値3

　

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大人のさび落とし

関数の極限値3

1
今日は　無限大　-　無限大の　形

実際は　違うのですすが

限りなく　近づくので

目標の　値という意味合いで　無限大を　

代入してみますと

これでは　答えが出ない

2

まず　無理数の　処理から

分母　分子に　　共役無理数　を　かけてみますと

3

分子が

4

少し　簡単になって

でも　

まだ　これでは　無限大　分の　無限大　なので

ｘで　分母分子割ってみると

5

こんな形になるですね

6

ここで　無限大を　代入したらば

7

1

あのですね　

ｘが

限りなく　大きくなるとき

限りなく　1に　近づくという意味で

1　ではないですが

限りなく　1に　むかっていく

8

という訳なんです

9

これもですね

10

いつものように

11

ん　

ダイジョウかな

12

だいじょだ

13

これはですね

私が　出た　

国立の中学校の　上の　大学の問題

高校が　ないので

エスカレーターできない

応援団は　学校名が　長くて　大変でした

信・・大学　・・・・・　付属　・・・　中学校　校歌～～～～～～

めー・・・・・・・・・・・・

ち・・・・・・・・・・・・・

（　忘れちゃった　怪・・・に・・・・　　な　分けないだろ）

14

落ち着いていきましょう

15

ここで　
ｘで分母分子割って

16

よく出てきますね

この形

17

計算間違いしないように

18

に

19

マイナス　無限大に　向かうとき

20

ここまでは

いいですよね

21

これがあったですから

22

マイナスが　出てきて

それでもって

全体で

プラスになって

23

ｘで

分母分子割って

24

こんな感じで

25

これはさ

いつも　通り　だと思うけど

やってみないと

26

共役無理数を　分母分子に

27

展開して　　　

整理して

28

もうすこし　

29

分母　分子　ｘ　で　割って

30

これだ

31

次は

ちょっと見は

訳がわかんないですが

しっかりせねば

32

形を　直して

33

題意より　の　これを　書かないと

減点の対象

34

分母分子に　共役無理数をかけて

35

だいじょかな

36

こんな感じで

37

いけるかな

38

なったじゃナイスか

くれぐれも　証明問題の

最後で

なったじゃナイスか　　

なんて　

書かないように

proof end

とかですね

39

これは　

グラフを　かくの？

40

とりあえず

計算してきましょう

41

グラフに　なるんかいな？

42

まだ　見えてきませんが

43

ん

44

あー

45

場合分け　あり

46

絶対値　ｘ　だね

posted by moriamelihu at 16:39| 大人のさび落とし　

2024年09月02日

大人のさび落とし　233002　関数の極限値　②

　

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大人のさび落とし　

関数の極限値

1

今日は　　無限大　分の　無限大　な形の時は

こんな感じに　

なるとき

赤枠の　やり方で

2

分母の方の　ｘの二乗で

分母分子を　割ってみると

無限大　分の　いくついくつ

になるですね

3

その部分は

ｘを　限りなく　無限大に

持って行くと

限りなく　0に　に近づくので

目標の　値ということで

ｘを　代入したら

4

次は

これは　昔の　問題なので

今は　どうかは　わかりませんが

多分　よく出る問題

ルートの　中身は　正という約束ですが

中の　文字が　二乗とかに　なってるときは

マイナスも　隠れることができるので

場合分けが必要

ｘを　マイナス　無限大　にするのだから

ｘ　ショウナリ　0　　で　絶対値を　外して

5

マイナスに　なるんだね

6

次は

ｘ　の　二乗で

分母分子　を　割ると

7

こんな感じに

8

もう一回　行ってみましょう

ルートの中に

何かあるので

9

まだ　無限大　分の　無限大　なので

分母分子　ｘ　で　割って

10

こんな感じに

11

ロガリズム　　　ログはですね

12

真数のなかを

処理して

13

これは　

何でしたっけ

14

なので

15

3回目ですが

いけますか

16

割と　なれてしまうと

恐れることなく

17

せっぺせっぺと

18

ね

19

これはさ

少し考えよう

20

ｍと　ｎは　大きさを　指定してないので

場合分けが　必要

21

ｎの　方が　ｍより　小さいとき

分子の方が　分母より　次数が　小さいとき

分母の　

次数の　ｍ乗　で割ると

22

指数の　マイナスは

分数に　なるので

分母の

指数が　大きく　なっていく形

23

であるので

24

まず　①の場合は

ゼロ

25

ｎ＝ｍ　の場合は

分母分子ともに　　ｍ乗と考えて

ｍ　乗で　分母分子を　割れば

26

こんな感じになってですね

27
②　の場合

ｂ0　分の　a0

28

③
ｎが　ｍより　大きいとき

分母分子を　ｍ乗で　割ると

29

分母は　ｂ0に近づき

分子は　　初項は　無限大

末項は　ゼロ

その間は　無限大　、1、　0　に近づくので

全体で

無限大に　近づく

ただし　a0、 b0

符号　について言っていないので

b0　　分の　a0

と　同符号の　無限大に　なる

30

まとめて

まことに　申し訳ない

お疲れ様です

posted by moriamelihu at 08:47| 大人のさび落とし　

2024年08月29日

関数の極限値　三訂版より　233001　大人のさび落とし

雨の日の　スローライフの部屋
1

大人のさび落とし

遅くなりました

どこまで　順調に　いけるかは？甚だ疑問ですが

関数にやってきました

微分積分　昔でいうとこの　数Ⅱ

簡単な方ですね

まず　微分の　入り口から

Xの関数　ｆ（ｘ）があるときに

変数　ｘが　限りなく　a　に　近づくとき

ｆ（ｘ）が　限りなく　b　に　近づくならば

こんな感じにですね

1

2

いくつか　場合分けがあり

2

3

つらつらと

みていただいて

3

4

こんな感じに

約束事とか

テクニックが　あるのです

4

5

極限が　存在しない場合は

例えば　振動

5
　
6

あるいは

いずれから　近づくかで

値が　変わってしまうとき

6

7

極限の書き方で

ｘ　→　a

ここでは

ｘノットイコール　a

の　意味合いを　含んでいます

7

8

どういうことかというと

計算式においては

1に近づくが　

Ⅰではない

錯覚を　起こさないように

8

9

あくまで

目標の　値ということで

1を　代入しています

それナタメ

9

10

代入したときに　ゼロ分のゼロ形

とか　無限大分の無限大　などの　ばあい

テクニックが　必要

そのままでは

目標の値ということで　代入できないので

10

11

では

いっって

みましょう

11

12

テクニックを使って

約分できそうなので

12

13

分子も　因数定理によって

（ｘ－1）　で　割れることがわかってるので

あったじゃナイスか

関数ｆ（ｘ）が　＝0　になる　ｘの値を　因数に持つ

13

14

元にもどして

ゼロ　分の　ゼロ　を　脱したので

目標値として　1を　代入して

14

15

次は

るーと　

無理数が入ってるので

その後ろまで　ひと　かたまり　で　考えて

15

16

共役な　無理式を　分母　分子　かければ

二乗　引く　二乗　の形に

持ち込めるので

16

17

分子の　ルートが　外れるでしょ

17

18

元にもどして

ゼロ　分の　ゼロ　を　脱したので

目標値として　0　を　代入して

18

19

次は

ゼロ　分の　ゼロ

19

20

逆に　

ゼロ　分の　ゼロ

であるのだから

そのときの
　-1

を

代入したらば

つまり

（ｘ+1）＝0　になる　ｘ

ｘ＝-1

は　（ｘ+1）　を　因数に　持つから

20

21

分子は　こんな感じに

（　すぐ　因数分解の　公式が　出る人は　

　　こんなことせずに　

　　いきなり　因数分解で　）

21

22

元にもどして

ゼロ　分の　ゼロ　を　脱したので

目標値として

-1　

を　

代入して

22

23

つぎは

通分してみると

23

24

いけました

24

25

次は

分母　分子に　無理数が

分母　の　共役無理数を　分母分子　に

かけるでしょ

25

26

これだと　

まだ　ゼロ分　の　ゼロ　形

であるから

分子の　無理式も　共役なものを

分母分子　に　かけるでしょ

26

27

そうしたらば

27

28

ゼロ　分の　ゼロ　を　脱したので

目標値として　2　を　代入して

28

29

次は

まず　通分して

29

30

分子の　共役無理式を

分母分子に　かけて

30

31

ゼロ　分の　ゼロ　を　脱したので

目標値として　0　を　代入して

31

32

こんな感じで

32

33

次は　ログ

これはさ

苦手な人は

この段階で

パスになってしまうけど

ログは　こんな感じだったですよ

33

34

絶対値のところは　

低が　10と考えれば「の　真数だから

34

35

この　法則で

これは　ログ　独特の　決まりですが

35

36

こんな感じにして

真数内を　因数分解

36

37

ゼロ　分の　ゼロ　を　脱したので

目標値として　2　を　代入して

37

38

こんなカナ

38

39

何じゃこりゃ

立方根

タイム

わかりました

ナルホド

あのですね

この公式を　使って

39

40

こんな風に　計算に　取り込めばさ

40

41

なんか　難しいこと　やってるみたいに

見えるんだけど

41

42

だんだん　簡単になってきて

42

43

数学の世界には　ひしぎな事が

たくさんあるんですが

私　凡人　にわかる範囲ではですよ

0とか　1とかの付近には

少し　世界が　違うものがある

43

44

これでいいって

44

お疲れ様です。

（　晴れ部屋へ　家庭菜園と５Ｆ　４Ｆ　３Ｆ　２Ｆ　 1 Fざっかや

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posted by moriamelihu at 18:29| （カテゴリなし）

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posted by moriamelihu at 17:47| 大人のさび落とし　

2023年10月30日

2B7024 大人のさび落とし　条件式つき　最大値　最小値　三角関数

　

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大人のさび落とし
条件式つき　最大　最小

01

三角関数に

2乗が付いてるときは

このままでは

どうにもならないので

02

cosの　半角の　公式を

適用すれば

03

半角の　公式は

コンななんですが

cosの　倍角の公式と➀

平方公式②　

から

導いてきますと

04

平方公式から

sin 2乗　③

cos　2乗　④

＝　にしておいて

③、④をそれぞれ

➀の倍角の公式に

代入したらば

05

cos　2乗

は　これ

06

αに　α/2　を　代入すれば

半角公式

07

同様に

④を➀に　代入すれば

08

こんな感じで

09

sin　2乗は　これ

10

では　戻って

問題

11

今の　繰り返しですが

2乗を　とるため

倍角の公式から

12

cos2乗

このまま　使った方が

いいので

13

sin　の方も　同様に

14

こんな感じに

しておいてじゃナイスカ

15

与式に

代入するでしょ

整理して

16

ここで

和（差）を　　積に

の公式を　

使うんですよ

17

こんな

覚え方してますが

この　一番下のやつを

つかって

18

変形するでしょ

19

数値にできるとこは

数値にして

20

こうやればさ

ｘ+ｙ　が出るから

21

与式を　＝P

とすれば

これらをですよ

22

こんな感じに

まとめられたと

23

これを

グラフにして

ｘの制限変域で

最大　最小　を

見てくと

24

こんな感じかな

25

ｘ＝　0の時　最大値

ｘ＝（5/12）パイ　の時
最小値

26

ｙは

条件式を　つかって

こんなで

27

最大値は

ｘの値から7/4

28

こんな感じ

29

最初値は

ｘ＝（5/12）π

の時

yは　こんなで

30

であるから

31

最小値は

こんな感じ

32

こう言った　グラフで

ｘの　制限変域の中で

最大値　最小値を

見ると

こうなっていた。

続きは

また　後日　アップいたします

まだやってない。

posted by moriamelihu at 16:06| 大人のさび落とし　

2023年09月05日

2B7023 三角関数　積→和（差）の利用

　

　スローライフ　の　森　　　

　3.1シー　　メニュウ　ページ。

　　　@　　　?　　　前　　　休憩

大人のさび落とし

三角関数　
積　⇒　和（差）の利用

01

次の式の　最大値　最小値を

求めてちょうだい

02

まず　与式を

展開してみて

二乗と　積にが　出て来て

03

cosの二乗は

倍角の公式から

導いてくると

04

こんな形になるでしょ

ここで

Θに　Θ/2　を　代入すればさ

な　使い方もあるにですが

05

今回は　cosの二乗θ　だから

さっきの

上の方の式を使って

与式の　cos二乗は

赤くなって

06

後ろの　積の形の方は

赤枠の　部分を　使って

07

マイナスCOSINE　を　調整して

08

与式が

こんな形になって

数値に　変換できる

とこは　数値にしてしまって

09

少し　簡単に　なったデショ

10

今度は

和を　→　　積の形　

を　使えば

これ　覚え方が

面白くて

シンタス　シンは　ニシンノコ

シンひく　シンは　ニコスシン

コスタス　コスは　ニコスコス

コスひくコスは　ヒクニシンシン

11

むかし　変な　ジョーくを

お昼休みに

電話がかかって来る

電話に出ると

上空を　自衛隊機が

はい　ｺﾞｫｰｰ　せいざいしょ

警察ですか？

違いますよ！

ガチャ

冗談は　ともかく

ひくに　シンシン　してですよ

12

sinの負角を　調節して

　へてから

値に　

変えることのできるとこ

があるので

13

与式は

ここまで　変わったと

sin
　
だけ見たら

-1/2から　1/2

ここに

1/4があるので

14

最大値は　3/4

3/4になるときの　

sinの値は

1/2なので

一般角で
見ると

で

Θを　出してくると

15

最小値は

-1/4　で

16

-1/4になるときの

sinは　-1/2なので

一般角で　で　見て

Θを　出してくると

17

整理しますと

18

こんな感じですか

19

次の式の

最大値　最小値を

求めよ

20

cosの積　→　和の公式で

マーカーのとこですよ

21

1/2を　外に　かけておいて

かっこ内で

まえと　後ろで

足し算　　　引き算

22

簡単に　なってきて

さらに

数値に　できるとこを

数値にして

23

cosだけの時は

-1/2　から　1/2

最小値は

-1/2の時

24

２ｘの　一般角は

こんなだから

25

最大値は

1/2の時だから

一般角は

26

このグラフ

cosx　を　ｙ軸の左右に1/2

に　縮小したもの

cos 2x

sin 2x

周期は　パイ

cos x 周期　2π

cos2x　周期　π

27

であるので

最小値　最大値は

こんな感じで

28

今度は

タンジェント

教科書には

tanの　公式は

たぶん乗ってない

だから

作ってじゃナイスカ

29

こんなかんじでぇー

30

分子

の積→和（差）

31

分母の　積→和

32

であるから

33

それで

こう言うのが

あったじゃナイスカ

それを　踏まえて

34

整理して行って

35

ここで

＝ｔ　を　使って

書き換えるでしょ

36

割り算して

分子を　分母で

割るでしょ

1　余り　-1

なので

37

題意より　

変域があるから

ｔで置き換えたため

変域が　変わって

38

単位円で

確認すると

cosは　動径の　ｘ軸への

影であるから

-1/2　　から　1まで

39

f（t）は

こんな感じで

このグラフは

ｙ＝-1/ｔを

x軸の　正に　-1/2

ｙ軸の　正に　1

平行移動したものだから

40

これを

平行移動して

41

ｔ　の　変域内を

見ると

-1/2　が　漸近線になってるため

最小値は

存在しない

最大値は

t=1の時

42

t=1を　ｆ（ｔ）　に

代入して

1/3

だ

43

であるから

まとめると

こんなですか

44

半径が　ｒ　である

定円上に　定点Ｐがある

この内側に　内接しながら

動く　正三角形

の　３頂点からＰまでの

距離の積の最大値を

求めなさい

45

作図の時間

半径　r　の　定円に　内接する

正三角形を書いて

円周上の点　P　が

弧BC　上に　あるとするんですよ

46

Pから　円の　中心を通て

反対側の　円周上の点を

Qとして

∠AOQ　＝　∠Θとすれば

∠APQは　円周角になってるので

Θ/2

47
この問題は

三角形の　各頂点と　Pとの

距離の　積の　最大値は？

なので

まず

PA　を　探ってきますと

48

三角形　APQ　は　直径を

底辺に　頂点Aは　円周角

で　90度

PAは　コサインの　式で

表現で来て

49

次に　PB　を

探ってきますと

三角形　PBQで∠PBQ=∠R

∠QPB　を　求めると

50

要訂正　ｔｔｔｔｔｔ

∠QPB＝∠QPA　+　∠APB

∠QPA＝Θ/2

∠APB＝60度　

正三角形ABCの　∠Cと　同じ　

円周角

であるため

∠QPB＝Θ/2　　+　π/3

51

PCも

探ってきますと

三角形PQCは

こんな感じなので

52

∠QPCの大きさは

60度-Θ/2

であるから

53

それで

PA・PB・PC　を

計算すると

54

こんな感じのとこから

55

後ろ側を

積を和に　するじゃナイスカ

56

こんな感じになって

57

初めに　Θを　　設定したとき

Pは弧BC上の

B寄りで

やっていましたが

中心を間に挟んで

Aの反対側の時は

Θが　ゼロ　じゃナイスカ

するって―ト

Pが　C　寄りに来ると

θは　マイナス

58

こんな感じになるので

Θが　-π/3　以上　π/3

であるならば

Θ/2は

-π/6　以上　π/6

cosの　値は

√3/2　以上　1以下

cosは

動径の　ｘ軸への影で

x軸上の　赤い　範囲

59

cos　Θの方は

1/2　以上　1以下

ｘ軸上　赤い範囲のところ

60

というわけで

最大値になるのは

Θが

ゼロの時

どちらの　cosも

最大だから

61

こんな風に

62

であるため

最大値は

これです

お疲れ様でした。

posted by moriamelihu at 17:43| 大人のさび落とし　

2023年08月22日

2B7022　大人のさび落とし　　三角関数　置換の　利用

　

　スローライフ　の　森　　　

　3.1シー　　メニュウ　ページ。
　　　@　　　?　　　前　　　休憩

大人のさび落とし

三角関数　置換の利用

01

三角関数の入った　

　方程式の

最大値　最小値　を

求める問題

02

合成　出来れば

一色に　なるので

最大　最小　が

分かりやすいのですが

周期が　違うものは

合成できない

03

そこで

なんかしないと　

いけないのですが

04

こうやって

式変形を　していくと

ｔの2次方程式に

置き換えられるので

05

こんな形に

06

頂点を　わかる様にすると

上に　凸で

下に　開いた形

07

ところで

もともと

三角関数は　周期関数

最大　最小があるものを

二次関数に　置き換えたので

無理があってじゃナイスカ

制限変域が付いてくる

08

＝ｔ　と置いたとこを

合成いたしますと

09

なす角　α　の周りの

諸事情

絶対値　OP

cosα　　 sinα

　　　は

こんななので

10

こうなってるんでしたよ

11

この　ｔは

最大　最小　があるので

制限変域

マイナス√2　以上

√2　以下

12

ｘに関しては

パイ/４　以上　9パイ/4　　以下

13

であるので

二次関数で表した範囲の

マイナス√2　以上

√2　以下

の範囲

ここから

最大値　最小値　を

求めることになるにで

14

最小値は

1-2√2

t=-√2の時

15

ところで

サインの　一般角は

こんな感じに

表せるので

サインは　動径の　ｙ軸への影

16

最大値　の方は

t=1の時で

４

その時の　角度は

（x+π/4）が　1/√2　になるとき

1/√2　になる　一般角は

17

こんな感じになるので

この等式から　　ｘ＝

にすれば

18

ｎ＝０のとき

ｘ＝０

　　　　０以上　ｘ　2π以下

19

ｎ＝１の時

ｘ＝π/2

　　　　０以上　ｘ　2π以下

20

ｎ＝２のとき

ｘ＝　２π

　　　　０以上　ｘ　2π以下

21

ｎ＝３　のとき

ｘ＝　2とπ/2

範囲外　０以上　ｘ　2π以下

22

であるので

最大値は　４で

その時の　ｘは

0、π/2　、2π

23

最小値は

1-2√2で

（x+π/4）＝　-1になる

一般角は

24

こんな感じなので

ｎ=0の時

5π/4

０以上　ｘ　2π以下

25

ｎ＝-1のとき

26

範囲外　０以上　ｘ　2π以下

27

ｎ=1の時

範囲外　　０以上　ｘ　2π以下

28

最小値は

1-2√２で

ｘ＝5π/4

であるので

まとめると

29

次の式の

最大値　最小値を

求めよ

さっきみたいに

やるジャンスカ

ｔの二次方程式になって

30

グラフは

こんな感じになるだけど

ねー

忘れちゃないませんぜ

31

制限変域が出てくる

ｔは

合成すると

32

こんな感じに

33

これはさ

三角関数　周期関数なので

最大　最小の　道幅があって

34

二次関数化　したグラフは

赤い所だけ

でしか

成り立たない

最大値　最小値　は

ｔ＝1/2

のときと

ｔ＝-√2の時

35

最大値になるときの

ｘは

最大値は　5/4

その時の　ｔは　1/2

ｔ＝の式が　＝1/2

の時

最大

そこで

ｘ　を　求めに　かかると

36

（x+π/4）　＝　こんな感じの
　　　　　　　　一般角

だから

ｘは　こんな感じの　式を

満たす　値

37

最小値は

同様に

（x+π/4）　＝　一般角の表示

38

であるから

ｘ＝　こんな感じの時

39

まとめ

40

一般角は

こんな感じだったじゃナイスカ

41

類題

42

倍角の公式を　使って

サイン　コサイン　を

2乗して

展開して

43

こんな感じに

ｔに　置き換えていくと

44

ｔの二次方程式になって

45

標準形で

頂点を　見える様にして

46

ｔ　の　合成は

47

最近　これが　すごく多いですが

48

三回くらい　出てきたから

覚えちゃうかな？

49

整理したら　こんな感じで

50

二次関数は

下に　凸で

上に　開いている

制限変域があるので

グラフにすると

赤い所だけになって

その中から

最大値　最小値　を

求めると

51

ところで

一般角は

方程式を　満たす　角の内

絶対値が　最も

小さいものを

選ぶのが　普通なので

ここは　マイナスπ/6

52

等式の　右辺を　一般角で

表して

ｘ＝　にすると

53

パイ=180度

であるので

０度　から　360度　まで　

で

見てみると

54

165度

55

285度

56
これは　範囲外

57

最小値は

こんなで

58

最大値は

１１で

59

右辺の　

（　x+π/4）　と　

等しくなる

一般角は

α　＝　こんななので

60

（x+π/4）　＝　αの　一般角

ｘ＝　にしたら

ｎ＝0のとき

パイ/4

61

ｎ＝１のとき

パイ/4

62

ｎ＝２のとき

範囲外

63
まとめると

64

問題

これはさ

合成を　まず使って

65

三角関数の　合成をするでしょ

66

こんな感じに

67
ね

68

ここで

ｔ＝　sin(Θ+α）

とするんですよ

69

そうしたら

こんなデショ

制限変域の

両端を　　入れて見て

70
グラフは　こんなだから

最大値　最小値は

こんな感じで

71

今度は

まず

展開してみると

例題の感じに

なったので

72

sin x + cos x = t

と置いて

式変形して

ｔの　二次方程式に

置換していくと

73

整理して

なるでしょ

74

こんな感じの

2次方程式になって

75

最近よく出て来ますが

なんかさ

4回も　出てくると

考えてなくて

覚えてしまって

76

公式も

覚えちゃったかな

77

制限変域があるので

二次関数に　しても

グラフは

赤い所だけ

もともと　三角関数は

周期関数なので

一定の　道幅の　中の

繰り返しじゃナイスカね

無理しないように

制限変域を

を　付けとかないと

嘘を　言っちゃまずいので

78

最初値は

ｔ＝-1の時　で　ゼロ

79

私は　頭の中で　　

やるのが

ヘタで

手を　使って

考えてるんですよ

80

αの　一般角を

右辺

左辺を　（ｘ+π/4）

x=にすれば

81

ｎ＝０のとき

範囲外

82

ｎ=1の時

パイ

83

ｎ＝2の時

ｘ＝　3π/2

84

ｎ＝３のとき

範囲外

であるから

最小値　0

ｘ＝　パイ　、　3π/2

85

最大値は

ｔ＝√２の時で

86

最大値は

（3+2√2）/2

87

その時の

ｘ　の値を　知りたいので

左辺　sin (x+π/４）

と　同じ

１に　なる　一般角は

α＝ｎπ+（-１）ｎ乗・（α）

88

ｘ＝

が出て来て

ｎ＝０のとき

ｘ＝π/4

89

ｎ＝１のとき

ｘ＝π/4

90

ｎ＝２のとき

範囲外

91

まとめると

お疲れ様です。

posted by moriamelihu at 12:16| 大人のさび落とし　

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