2017年03月24日
23022 接線利用による 近似値
（ 晴れ部屋へ 家庭菜園と５Ｆ ４Ｆ ３Ｆ ２Ｆ 1 Fざっかや
メニュウ ページ リターン ）
こんにちは
数Ⅱ セクションです
ここはさ
いま 微分を やってるんですが
関数ｆ（ｘ） が あるときに
接線を 使って
ある値の 近似値を 求められそうだよ
という問題なんですが
問題 その前に
周辺状況ですが
ｘの３乗―a のグラフは
ｘの３乗のグラフを
ｙの 方向に －a平行移動したものです
で
この グラフで
ｆ（ｘ）が ｘ軸と 交わるところは
ｆ（ｘ） ＝０ にすれば
ｘの値が 出るわけで
ｘ＝立方根a
この 点を 通る 接線の方程式は
接線の公式から
こんな感じで
当然
これは
（ 立方根a 、０ ）の 接線なので
この接線の 方程式に
ｙ＝０を代入して
その時の ｘの 値を 求めれば
当然 ｘ＝立方根aですよね
ｆ（ｘ）＝ｘの ３乗―a
a>0
のグラフで
ｘ１という点（ｘ１、ｆ（ｘ１））を
ｘ１の３乗が ＞a に なるところに とると
その点は
不等式を 変形すれば わかる通り
０より 大きい
ｘ軸より 上側に あります
そこから ひく 接線が
ｘ軸と交わる点は
立方根aの時の 接線よりも 右側に あります
接線と ｘ軸の 交わった点に おける
（Xｎ、 ｆ（Xn)）の接線と ｘ軸との 交わる点
は
ｘの３乗ーa＞０ の範囲で
Xnが 大きくなるほど
立方根aの 値に 近づいていきます
周辺情報でした
これを 踏まえてじゃナイスカ
問題を 持ってきたんですよ
次々に
接線を 引いて
ｘ軸と交わるとこの
さらに
真上に ある
曲線上の 点から 接線を 引いて
Xnを 求めながら
Xn から Xn+1 を 導けと
いうことなんですが
さらに
大小関係を 証明せよという問題なんですが
しぶしぶ 行ってみましょう
前準備で
言っておいたんですが
ｘ１の３乗 －a は
０より 大きい
これは
ｙの（ ｆ（ｘ）の ） 値じゃナイスカ
なのでですよ
グラフ上ではさ
立方根aより 上の ボツボツボツ
当然 そこから
そのボツボツボツ
から 接線を 引くと
右から 左に 行くに したがって
立方根aの 値に 近づいていく
接線の方程式を 求めるじゃナイスカ
順々に
初めは X1 なんですが
（ｘ１、ｆ（ｘ１））
から 引いた接線が ｘ軸と 交わるとこは
（ｘ２、0 ）
代入すると
接線上の 点だからさ
代入しても 成り立つ
で
ｘ２を ｘ１で 表そうと
チョコレートは アラフォート
ｘ２＝ が 出たじゃナイスカ
さらに
x２の時も
同じように
真上に
見ていって
曲線上の点から
接線を 引いて
引いて で いいよねー
たまにさ
しいてー
ん？
何？
だから 接線を しいてさー
これは あれか
一ぴき ２しき ３びき
４しき って あれか
ジョーダンは ともかく
この 接線と ｘ軸との 交点が
（ｘ３，０ ）だ～ から
代入して
これを
ｘ３を x２の式で
こんな感じから
さらに 整理して
これを
同様に
Xn まで 繰り返して
Xn+1を Xn で 表した 漸化式 （ ぜんかしき ）を
導くと
文字が 変わっただけじゃナイスカ
代入ですよ
なれてる形に 整えて
さっきみたいに
変形して
出たじゃナイスカ
ぜんかしきですよ
数列も やらねば
で
大小関係を 証明せよ なんですが
数Ⅰセクションで
相加相乗平均っていうのが
あったじゃナイスカ
こんなやつ
Xn+1が 出てるんですが
これをさ
部分的に 分割など 使うじゃナイスカ
我が家は 殆ど分割 ですが
これを
３数の相加相乗平均に あてはめるじゃナイスカ
うまくできてるね
で ここでは まだ ＝ が ついてるんですが
後で
何とかするので
先に 進んで
後半戦の 大小関係は
左辺ー右辺が ＞０ を 言えれば
証明できるので
で
Xn から Xn+1を 導いてきたんだから
そのまま
使うと
こんな感じで
ところで
問題文に
何か書いてあって
Xnの３乗＞aなんでって
なので
式変形から
０より 大きい
で
等号成立は
この ３数が ＝ の ときなので
＝で むすんで
全部 ３乗して
立方根を 外したところ
題意より
Xnの３乗＞aなので
等号は 成立しない
で
こんな形になるでした。
で
寝ようと 思ったら
次の問題が
なんか言ってて
今の 問題に 習って
これも やってって。
これはさ
今度は
漸化式を
平方根aより ミギガワ から
造ってきて
平方根の 近似値を
求めなさい みたいな 感じじゃナイスカ
さっきたいにー
漸化式を 導く前に
１，２点 接線から 求めておいて
規則性を 確認じゃナイスカ
X1 からX2を 求めるでしょ
X2を X1で 表して
もう一点くらい
X3を X2で 表すでしょ
こんな感じで
で
規則性を 見て
同様に
Xnの とき Xn+1を 求めると
接線の 公式に
代入して
その 接線が（ Xn+1 、０ ）を 通るんだから
代入ですよ
ここまでくれば
さっきの様に
出ましたよ
で
次の 大小関係は
相加相乗平均から
今度は これを 使ってじゃナイスカ
そのまま 代入して あてはめてくでしょ
うんまいこと
ほら
整えて
後半側も
さっきみたいに
左辺引く右辺で
整理して
で
問題文が なんか言ってて
題意より
Xnの二乗＞aなので
証明できたと
で
等号成立の時は
２数が ＝ の時なので
辺々 平方して
ここで
題意より
等号は 成り立たず
これです。
次は
実際に 近似値を
ｘ１＝１.5 で
X3を求めなさいなので
やってみますと
こっちの方が
大変だったりして
文字の時は 式変形だけど
数値が 入ってくると
計算しないといけない
電卓 使って えー
だめ
こんなだからさ
こうなって こうなって
小数第２位までだからさ
これ
（ 晴れ部屋へ 家庭菜園と５Ｆ ４Ｆ ３Ｆ ２Ｆ 1 Fざっかや
メニュウ ページ リターン ）
posted by moriamelihu at 23:08| 大人のさび落とし
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