スローライフの部屋　数学２＆花と野菜

大人のさび落とし



三角関数　
積　⇒　和（差）の利用


01

次の式の　最大値　最小値を

求めてちょうだい



02

まず　与式を

展開してみて

二乗と　積にが　出て来て


03

cosの二乗は

倍角の公式から

導いてくると


04

こんな形になるでしょ




ここで

Θに　Θ/2　を　代入すればさ

な　使い方もあるにですが




05

今回は　cosの二乗θ　だから


さっきの

上の方の式を使って




与式の　cos二乗は

赤くなって


06

後ろの　積の形の方は

赤枠の　部分を　使って



07

マイナスCOSINE　を　調整して


08

与式が

こんな形になって


数値に　変換できる

とこは　数値にしてしまって


09

少し　簡単に　なったデショ


10

今度は

和を　→　　積の形　

を　使えば



これ　覚え方が

面白くて

シンタス　シンは　ニシンノコ

シンひく　シンは　ニコスシン


コスタス　コスは　ニコスコス

コスひくコスは　ヒクニシンシン



11

むかし　変な　ジョーくを


お昼休みに

電話がかかって来る


電話に出ると

上空を　自衛隊機が


はい　ｺﾞｫｰｰ　せいざいしょ

警察ですか？

違いますよ！

ガチャ


冗談は　ともかく

ひくに　シンシン　してですよ


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sinの負角を　調節して

　へてから


値に　

変えることのできるとこ

があるので



13

与式は

ここまで　変わったと



sin
　
だけ見たら

-1/2から　1/2


ここに

1/4があるので


14

最大値は　3/4


3/4になるときの　

sinの値は

1/2なので

一般角で
見ると

で

Θを　出してくると


15

最小値は

-1/4　で



16

-1/4になるときの

sinは　-1/2なので

一般角で　で　見て


Θを　出してくると



17

整理しますと


18

こんな感じですか


19

次の式の

最大値　最小値を

求めよ



20

cosの積　→　和の公式で

マーカーのとこですよ


21

1/2を　外に　かけておいて

かっこ内で

まえと　後ろで


足し算　　　引き算



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簡単に　なってきて

さらに

数値に　できるとこを

数値にして



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cosだけの時は

-1/2　から　1/2


最小値は

-1/2の時



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２ｘの　一般角は

こんなだから


25



最大値は

1/2の時だから


一般角は


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このグラフ

cosx　を　ｙ軸の左右に1/2

に　縮小したもの

cos 2x

sin 2x


周期は　パイ


cos x 周期　2π

cos2x　周期　π



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であるので

最小値　最大値は

こんな感じで



28

今度は

タンジェント


教科書には

tanの　公式は

たぶん乗ってない


だから

作ってじゃナイスカ


29

こんなかんじでぇー


30

分子


の積→和（差）


31


分母の　積→和


32

であるから



33


それで

こう言うのが

あったじゃナイスカ


それを　踏まえて


34

整理して行って


35

ここで


＝ｔ　を　使って

書き換えるでしょ



36

割り算して

分子を　分母で

割るでしょ

1　余り　-1

なので



37

題意より　

変域があるから





ｔで置き換えたため

変域が　変わって



38

単位円で

確認すると


cosは　動径の　ｘ軸への

影であるから


-1/2　　から　1まで


39

f（t）は

こんな感じで


このグラフは


ｙ＝-1/ｔを

x軸の　正に　-1/2


ｙ軸の　正に　1

平行移動したものだから



40

これを

平行移動して



41

ｔ　の　変域内を

見ると


-1/2　が　漸近線になってるため


最小値は

存在しない

最大値は

t=1の時


42

t=1を　ｆ（ｔ）　に

代入して


1/3

だ


43


であるから

まとめると

こんなですか



44

半径が　ｒ　である

定円上に　定点Ｐがある


この内側に　内接しながら

動く　正三角形

の　３頂点からＰまでの

距離の積の最大値を

求めなさい



45

作図の時間


半径　r　の　定円に　内接する

正三角形を書いて




円周上の点　P　が

弧BC　上に　あるとするんですよ




46

Pから　円の　中心を通て

反対側の　円周上の点を

Qとして


∠AOQ　＝　∠Θとすれば


∠APQは　円周角になってるので

Θ/2


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この問題は

三角形の　各頂点と　Pとの

距離の　積の　最大値は？

なので


まず

PA　を　探ってきますと



48

三角形　APQ　は　直径を

底辺に　頂点Aは　円周角

で　90度


PAは　コサインの　式で

表現で来て



49


次に　PB　を

探ってきますと


三角形　PBQで∠PBQ=∠R



∠QPB　を　求めると





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要訂正　ｔｔｔｔｔｔ




∠QPB＝∠QPA　+　∠APB


∠QPA＝Θ/2


∠APB＝60度　

正三角形ABCの　∠Cと　同じ　

円周角

であるため

∠QPB＝Θ/2　　+　π/3




51

PCも

探ってきますと

三角形PQCは

こんな感じなので



52


∠QPCの大きさは

60度-Θ/2



であるから



53

それで

PA・PB・PC　を

計算すると


54

こんな感じのとこから



55

後ろ側を

積を和に　するじゃナイスカ



56

こんな感じになって



57

初めに　Θを　　設定したとき


Pは弧BC上の

B寄りで

やっていましたが



中心を間に挟んで

Aの反対側の時は

Θが　ゼロ　じゃナイスカ


するって―ト

Pが　C　寄りに来ると

θは　マイナス


58

こんな感じになるので


Θが　-π/3　以上　π/3

であるならば


Θ/2は

-π/6　以上　π/6

cosの　値は

√3/2　以上　1以下


cosは

動径の　ｘ軸への影で

x軸上の　赤い　範囲


59

cos　Θの方は

1/2　以上　1以下

ｘ軸上　赤い範囲のところ




60

というわけで

最大値になるのは

Θが

ゼロの時

どちらの　cosも

最大だから


61


こんな風に


62

であるため

最大値は

これです


お疲れ様でした。