スローライフの部屋　数学２＆花と野菜

大人のさび落とし

三角関数　置換の利用


01

三角関数の入った　

　方程式の

最大値　最小値　を

求める問題





02

合成　出来れば

一色に　なるので

最大　最小　が

分かりやすいのですが


周期が　違うものは

合成できない



03


そこで

なんかしないと　

いけないのですが


04

こうやって

式変形を　していくと

ｔの2次方程式に

置き換えられるので




05



こんな形に


06

頂点を　わかる様にすると

上に　凸で

下に　開いた形



07



ところで

もともと

三角関数は　周期関数


最大　最小があるものを


二次関数に　置き換えたので


無理があってじゃナイスカ


制限変域が付いてくる





08



＝ｔ　と置いたとこを


合成いたしますと



09


なす角　α　の周りの

諸事情




絶対値　OP

cosα　　 sinα

　　　は


こんななので


10


こうなってるんでしたよ


11



この　ｔは

最大　最小　があるので


制限変域

マイナス√2　以上


√2　以下



12


ｘに関しては


パイ/４　以上　9パイ/4　　以下



13


であるので


二次関数で表した範囲の

マイナス√2　以上


√2　以下

の範囲


ここから

最大値　最小値　を

求めることになるにで



14


最小値は

1-2√2


t=-√2の時




15


ところで

サインの　一般角は

こんな感じに

表せるので


サインは　動径の　ｙ軸への影




16

最大値　の方は

t=1の時で

４


その時の　角度は

（x+π/4）が　1/√2　になるとき


1/√2　になる　一般角は



17

こんな感じになるので


この等式から　　ｘ＝


にすれば



18

ｎ＝０のとき


ｘ＝０

　　　　０以上　ｘ　2π以下


19

ｎ＝１の時


ｘ＝π/2

　　　　０以上　ｘ　2π以下



20


ｎ＝２のとき

ｘ＝　２π


　　　　０以上　ｘ　2π以下



21


ｎ＝３　のとき

ｘ＝　2とπ/2



範囲外　０以上　ｘ　2π以下



22

であるので

最大値は　４で

その時の　ｘは

0、π/2　、2π


23


最小値は

1-2√2で


（x+π/4）＝　-1になる

一般角は



24

こんな感じなので


ｎ=0の時

5π/4

０以上　ｘ　2π以下



25

ｎ＝-1のとき


26


範囲外　０以上　ｘ　2π以下



27

ｎ=1の時


範囲外　　０以上　ｘ　2π以下



28


最小値は

1-2√２で


ｘ＝5π/4



であるので


まとめると


29


次の式の

最大値　最小値を

求めよ


さっきみたいに

やるジャンスカ

ｔの二次方程式になって



30

グラフは

こんな感じになるだけど


ねー

忘れちゃないませんぜ



31

制限変域が出てくる

ｔは

合成すると



32

こんな感じに


33


これはさ

三角関数　周期関数なので


最大　最小の　道幅があって



34

二次関数化　したグラフは

赤い所だけ


でしか


成り立たない



最大値　最小値　は

ｔ＝1/2


のときと


ｔ＝-√2の時



35

最大値になるときの

ｘは


最大値は　5/4


その時の　ｔは　1/2


ｔ＝の式が　＝1/2


の時

最大

そこで

ｘ　を　求めに　かかると



36


（x+π/4）　＝　こんな感じの
　　　　　　　　一般角

だから

ｘは　こんな感じの　式を

満たす　値


37


最小値は

同様に

（x+π/4）　＝　一般角の表示


38

であるから

ｘ＝　こんな感じの時



39

まとめ


40

一般角は

こんな感じだったじゃナイスカ


41

類題


42

倍角の公式を　使って

サイン　コサイン　を

2乗して

展開して


43


こんな感じに

ｔに　置き換えていくと



44

ｔの二次方程式になって


45

標準形で

頂点を　見える様にして


46

ｔ　の　合成は


47

最近　これが　すごく多いですが



48


三回くらい　出てきたから

覚えちゃうかな？



49


整理したら　こんな感じで



50

二次関数は

下に　凸で

上に　開いている


制限変域があるので

グラフにすると

赤い所だけになって

その中から

最大値　最小値　を

求めると


51

ところで

一般角は

方程式を　満たす　角の内

絶対値が　最も

小さいものを

選ぶのが　普通なので

ここは　マイナスπ/6


52

等式の　右辺を　一般角で

表して

ｘ＝　にすると



53


パイ=180度

であるので


０度　から　360度　まで　

で

見てみると



54

165度



55

285度



56
これは　範囲外


57

最小値は

こんなで


58


最大値は

１１で


59


右辺の　

（　x+π/4）　と　

等しくなる

一般角は


α　＝　こんななので


60


（x+π/4）　＝　αの　一般角

ｘ＝　にしたら




ｎ＝0のとき

パイ/4



61

ｎ＝１のとき



パイ/4



62

ｎ＝２のとき

範囲外



63
まとめると


64


問題


これはさ

合成を　まず使って



65

三角関数の　合成をするでしょ


66

こんな感じに


67
ね


68

ここで


ｔ＝　sin(Θ+α）

とするんですよ



69

そうしたら

こんなデショ

制限変域の

両端を　　入れて見て


70
グラフは　こんなだから

最大値　最小値は

こんな感じで


71

今度は

まず

展開してみると


例題の感じに

なったので


72

sin x + cos x = t


と置いて

式変形して

ｔの　二次方程式に

置換していくと


73

整理して

なるでしょ



74




こんな感じの

2次方程式になって



75

最近よく出て来ますが

なんかさ

4回も　出てくると

考えてなくて

覚えてしまって



76

公式も

覚えちゃったかな



77

制限変域があるので

二次関数に　しても

グラフは

赤い所だけ

もともと　三角関数は

周期関数なので

一定の　道幅の　中の

繰り返しじゃナイスカね



無理しないように

制限変域を

を　付けとかないと


嘘を　言っちゃまずいので




78

最初値は

ｔ＝-1の時　で　ゼロ


79

私は　頭の中で　　

やるのが

ヘタで

手を　使って

考えてるんですよ


80

αの　一般角を


右辺


左辺を　（ｘ+π/4）


x=にすれば



81

ｎ＝０のとき

範囲外



82


ｎ=1の時

パイ



83

ｎ＝2の時

ｘ＝　3π/2


84

ｎ＝３のとき

範囲外


であるから

最小値　0

ｘ＝　パイ　、　3π/2


85


最大値は

ｔ＝√２の時で



86

最大値は

（3+2√2）/2



87

その時の

ｘ　の値を　知りたいので

左辺　sin (x+π/４）


と　同じ

１に　なる　一般角は

α＝ｎπ+（-１）ｎ乗・（α）


88

ｘ＝


が出て来て


ｎ＝０のとき

ｘ＝π/4



89


ｎ＝１のとき

ｘ＝π/4



90

ｎ＝２のとき


範囲外



91

まとめると



お疲れ様です。