スローライフの部屋　数学２＆花と野菜

大人のさび落とし
三角関数の　合成の利用

01

ベクトルのような問題なんですが

三角関数を　使って


半円があるんですよ

半径が　a


直径は　AB

弧AB上の　任意の　点を　Ｐ


として

４ＡＰ　+　５ＢＰ　の

最大値を　求めなさい




02

図にすれば

こんな感じなんですが


∠　ＡＰＢ　は　直角


中心角　180度の　円周角は

90度



03

どこを　とっても

直角三角形になることから


∠　ＰＡＢ　＝　∠　Θ

とすれば



04


ＡＰ　、ＢＰ

が　同じ　Θを　使った

sin
cos　


で　表せるので


与式に　代入して


10a sin Θ　+　８a　cos　Θ

の　最大値を　求めればいいわけで



05


合成を　使うと



計算は　

簡単な方がいいので

２aで　くくって

かっこ内を　合成してきますと




06



P（5，4）　を直角座標系

（　カーテシアン　座標系　）

にとって

OP　と　ｘ　軸の　なす角

を　αとすれば


絶対値　ＯＰは　√41

sin


cos


は　それぞれ　4/√41


　　　　　　　5/√41




07

合成するでしょ


こんな感じだったですよ


積を　→　和（差）　で

展開して



08

こんな感じ



09


sin は　-１から　1まで

前に　振幅が　ついているので

最大　最小を

このしきから　持ってくると

こんな感じ




10

題意に　当てはめると

最大値は

2a√41



11

図


12


タンジェント　αは　4/5であるので

電卓を　使ってしまうと


θは　≒　51.35度


13


次の　式の

最大値　最小値　を　求めよ





sin　の後ろから

掛かっている

cosπ/6

は　数値になるので

係数に　取り込んでしまえば




14


計算を　軽くしたいので

置き換えを

使って

後で

元に戻せば


15

ここで


いつものように

直角座標系を考えて

∠　α　を　設定すると



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絶対値　ＯＰ

sin α　　　cos α

を

もとめておいて


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良く見ると

今回の

sin α　　　cos α

は　よく知っている値なので



在るじゃナイスカ

同窓会とかで



私よ　私　

（　あたい　のこと　


　　　知らないなんて

　　　言わせないわよ　）


ジョークだからね


まー　なかまを　忘れたの

大きくなって

白鳥　じゃなくて

ハクジョー　になったのね！





18

計算するでしょ


19


代入して

元に戻すと


20

振幅　抜きの　sin


cos は　-1から　1


なので

振幅を　かけると

最大値　2　最小値-2



21

かっこの　中が

周期関数なので

まわってきて

=π/2の時　最大値


これを　等式にすれば


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xは　こんな値


そーかー

わかんなかったんだ



23

最小値は

同様に

こんな感じで



24


まとめると　こうです


25

じゃーこれは？



26

sin cos

の　角度が　　違った

形なので

同じにしたい



加法定理で
　それぞれ　展開すれば


数値のところと　ｘのところの

掛け合わせたものの

足し引き

になるので


数値の　わかってるとこは　　


係数に　取り込めば　できそうである




27

sin の　方から

加法定理で

展開すると



28

こんな感じになるので


29

数値か出来るとこを

係数に　取り込んで


30

今度は

cos の方を

加法定理で展開して



31

これで


終わりじゃなくてですね

ここからだからさ


32

これを

合成するでしょ



33

α　は　こんな感じ


34

上の　学校で

実験とか　研究では

こんな感じに

ぴしゃりとかは　行かなくて


であるため

大型　コンピュータ　や

スーパーコンピューター　は

必要で


しかし

問題の場合は　作ってる　人

が存在するため

じゃナイスカ

この　αは　計算できそうですよ




35

ねねね

だからね



であるから



36

出てきたじゃナイスカ


37


整理して


38

こんなだからさ


39

いつものように



40


これを　計算すればさ


41

α　が　わかったので


42

最大値は


その時の　ｘは



43

最小値は


その時の　ｘの値は


44


なので



45



まとめると

こんな感じに

なっていって


46

こんなですか


47

扇形に　内接する

長方形

の面積が　最大になるのは？




48

Ｓが　すでに　使われてるので

今回は

面積を

Mとでもしましょう


縦　横　掛ければいいのだけれど


そこへ　三角関数を

導入して

サイン　コサイン　で　

　表現して


合成すればさ

行けそうであるので




まず

縦は　OP sin Θ　

OP=aであるから

a　sin Θ


横は

RS　＝　OSー　OR

OS＝　OP cos Θ
　　
　＝　a　cos Θ

ORは





49

ORは　扇型の　中心角60度から



OR＝QR/√3



50

QR　＝　PS　＝a　sin Θ


であるから




51

出来上がった式を

計算して


んん〜　ここから


52

倍角の　公式を使って


53

ここまでくれば


54

この赤枠をさ


合成して



55

いつもの　計算をして



56

赤枠を　＝N　としたので



57

元に戻して




58

ここから

最大値を

求めると



59


sin 関数の　性質

を　見て



60

こんな感じ


61

おっと

今回は

ぐるぐるは　無いので

Θ=π/6の時


最大値






62
最大値は



63

問題

恐れずに

落ち着いて

行ってみましょう



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いつも通り

計算していって


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こんなデショ


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整理して


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出て来て


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今回は　最小値が

あたえられてるので



それと

a と　ｂ　の　間に

から



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aは　√3ｂ


70


プラス　マイナス　考えられて

答は　こうです




お疲れ様です。