スローライフの部屋　数学２＆花と野菜

雨の日の　スローライフの部屋


３倍角の公式

いきなり　行ってみましょう


でもさ

なんでも　いきなりは　いけないからさ

まず　公式


タンジェントは　ナイ。

でですよ


α＝１８度の時

sin２α　＝　cos3αで　あることを　示し

これを　利用して　sin　18°　を　求めよ









問題は　作った人がいるために

解けるように　できています


しかし

論文などを

実験で　書きあげるには

創造主に　祈り求めないと

分からないですよ


で

2α　と　3α　ヲ　　いうときに

αが１８°だから

2α＝３６　　　３α＝５４

36+54＝90


ここで

余角の　公式が　あったじゃナイスカ








２αの方から　いじってく感じなので

sin 2α＝　sin （5α−3α）


ここで

α＝１８　なので
　　
5α＝９０

この形は　　sinの　余角

sin(90-3α）＝　cos 3α

例の　負余補　で　表にしてですよ








これはさ

そのまま　覚えられればいいけど








で

sin2α＝cos3α　が　示せたので

ここから

sin αを　求めていくんですが


左辺も　右辺も　　2倍　とか　3倍になってるから








左辺は　倍角　　　　右辺は　3倍角で


展開してきますと









＝　で　結んで

左辺に　集めて


cosαで　くくりだして


で

αは１８°だから


１８°の　cosは　＞０


０ではないから

略してしまって







三角方程式は

一種類に　するんですよね


cosの方を

平方式からの　変形を　代入して

消去して


sinの　2次関数







sinα　＝　T とでも　すれば

Tの2次関数








解の公式で

Tを　出すと





プラス　マイナスで　出てくるんだ〜けどさ








sinα＝Tとしてあって

α＝１８°だから

sin 18°＞０


従いまして



4分の　√５-1　の　方が　全体で　プラス。









3倍角の公式は

導けるよに　しておいた方が　良いそうで


２と１に　分解して

加法定理


さらに　倍角の公式を　代入して









sin　だけですが　こんな感じで








数学では

よくさ

分割が　出てくるね







sin x + cos x = 0.8　の時


sin3x + cos3x　の値を　求めなさい







ソレゾレ　3倍角の公式で

展開して









整理して

因数分解など









さらに　くくれるとこを


くくってですよ







ここまでカナ　な時







3角関数は　化けるからさ

試しに　括弧二乗が　どんな化け方を

してるか　見るでしょ










なので

少し　

値が　変わらなように

式を　いじったら







これで

sin x + cos x = 0.8を　

代入できるように　なったので

後は

電卓で









こんな感じで




入試では

ダメだけどさ


大学とかは

定期試験のときに

電卓　持ち込み　可　

とか　あるんだってね







簡単にせよ

あんまり　簡単でなさそうですが


まずさ


加法定理を　知ってますので

真ん中と　右の　分母を　


加法定理で








sin cosは　象限で　符号が　変わるから

チェックして







右側も






チェックを　して







分母だけの　通分をしてですよ









平方の　公式とか使って









で　ここで

3倍角の時の　公式に　形が似てるので


値が　変わらないように

式を　いじって






出てきたのは　　真ん中と　右の　分母だけの通分なので


それを　踏まえて

与式に　代入して







3倍角を　使って　左　分子を展開して

整理したら

３









次は

寝よっかな


すみません

更新は　一瞬ですが

半日　休みました


で

気を取り直しまして






まずさ

3分のΘヲ　3倍したら　Θになる


3分のΘヲ　α　とすれば　　Θは　３αになる


分割して









倍角の公式で







あ　その前に　


分割した式を

加法定理で　展開して


部分的に　　倍角の公式を　代入して









こんなじゃナイスカね








整理して





これがさ

(2＋√3)tanα　何だから

tanα＝ｘとすれば


ｘの　3次方程式








整理して

ｘ＝０　または　それに続く　xの二次関数の答えが　ｘ








ｘの二次関数の方は

ｘ二乗＝　にして






ルートの中が　マイナスだと


まずいから


値的には　プラスだけどさ

分かりやすく

マイナスを　消去して








二重根号　マイナスバージョン　なので







確か　こんなでしたよ


かっこ二乗の　√　⇒

そのまま　√が　外せるけど


ルートを　外さずに　展開しても

値は　同じだからさ


二つの　結果を　＝　で　結んで









足して　７　かけて　１２　の　くみあわせで


ｘ　＞　ｙ　にしたから







で

ｘが　でてきたところで


tan α　＝　ｘ　としたから


tan Θ　＝　（　２　+　√３　）　ｘ









x＝0の時


tan Θ　＝　０


x= プラスマイナス　（　2−√３）　の時


tan Θ　＝　±　1









こんな感じで





お疲れ様です。



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