2017年12月18日
25004 大人のさび落とし 一次変換の性質
行列 一次変換の 性質です
行ってみましょう
まず 問題を 読むじゃナイスカね
変換ｆが平面上の任意のベクトル
u,v, に対して
（ア) （イ） の二つの性質を
満たしているとき
基本ベクトル
が それぞれ
e1' e2' に 変換されるならば
uにたいして
u'＝なんたらの 式に なることを
証明せよ
あのですね
またしてもなんですが
やってなかったとこが 出てしまいました
ベクトル 後回しにしちゃった
なので
部分的に 掘ってきますが
本来 数学では
一回 習ってれば こういったことで
前進できますが
そうでない場合は
落とし穴が どこにあるか分からない 状態なため
進めなく なってしまいます
で
基本ベクトルですが
x軸 ｙ軸の 正方向に おおきさが １の ベクトル
e1 (1 ,0 )
e2（０、1）
なので
図の Aの ベクトルを
基本ベクトルで 表すと
直角 三角形の 斜辺になるとこを
ｘe1 + ye2
これを 踏まえまして
一次変換で
uが u'＝ なんたら の 式に なることを
見るのですが
任意の uベクトル ｘ、ｙ の 列ベクトルを
基本ベクトルで あらわして
これを
性質 （ア）（イ） を 使って
証明していくと
基本ベクトルで
表現した 式を 上の四角の中身を 使って
変形して （ア）
さらに
でてきた 式を
下の四角の中身で 変形したら
で
行列の 実数倍は 各成分の 実数倍でしょ
へてから
行列の足算は
同型の時に できて 各成分同士の 足し算でしょ
一次変換の 定義が
四角の中身 なので
U'が AU に なったと
あー ベクトルの 書き方に成ってないですけど
ボールペンの 方で 見てください
ここでは 何を 言ってるかと言うと
行列の 和を 一次変換したものと
ここに 一次変換したものを 足したものは
同じ結果になるということです
一次変換の 定義はこれなので
行列で
一次変換の 問題が 出てきたら
余白に これを 書いたりして
計算の 補助にしてですよ
で
いま 言ってたことを
実際に 計算して
証明するとです
こんな問題があってですね
二つの ベクトルを 使ってるので
ソレゾレ ｘ１、ｙ１ ｘ２、ｙ２ とでもして
ソレゾレ
一次変換するじゃないですか
その それぞれ 一次変換したものを
足し算してみると
こんな感じ
次に
今度は
ソレゾレ 一次変換する前に
行列を 足しておいて
それを 一次変換するとー
こんな感じで
で
さっき それぞれ 一次変換して 足し合わせたものが
もう少し 簡単に なるので
くくりだしたりすると
同じになったから
この式は 使えると
実数倍の 式の方も
ベクトルの 実数倍で
それぞれの 成分に 実数倍して
その 一次変換を 求めると
こんな感じ
先に 一次変換しておいて
それを 実数倍してみたら
こんな感じ
おんなじ じゃナイスカ
だから これらを 証明に 使おう
問題が あるとですが
いま 証明した 式を 使うと
簡単に できてしまいます
試験で
こんなの出たら
証明に 使う式を 証明して
使えるようにしないといけないから
大変なので
そーいうのは でない と いいな
で
与式の 左辺を さっき証明した
2式を 順々に 使ってですよ
証明終わり
ラストはですね
ダイジョカナ
虚数単位
これはさ
今ン頃 気が付いたけど
もう一回 若くなりたいな
問題文を 見ていただいて
虚数も含んでるけどさ
ｘ、ｙ が ｘ’、ｙ’に 変換されるときに
これらは 実数の 値なんだって
数の世界は 虚数まで 入れないと 全体では ないのですが
学者さんのせかいでは 当たり前に 出てくる
虚数
注意事は 実数は 実数同士
虚数は 虚数どうしで 計算する
んん
ダイジョカナ
で
右辺を 展開してみると
普通の 掛け算の 展開と 順序が 違いますが
前半は iの2乗が －１になるので
実部 後半は i付の 虚部
リアルパート と イマジナリーパート を 分けてですよ
iで くくった 括弧の中身は ｙ’になるから
こんな感じでしょ
これを 一次変換の 定義と くらべて
見るとさ
なったよ
おつかれさま～
（ 晴れ部屋へ 家庭菜園と５Ｆ ４Ｆ ３Ｆ ２Ｆ 1 Fざっかや
メニュウ ページ リターン ）
posted by moriamelihu at 20:36| 大人のさび落とし
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