2016年12月29日
23010 大人のさび落とし 曲線上の 接線 法線
雨の日の スローライフの部屋
曲線上に おける 接線、法線の 問題です
接線に 垂直なのが 法線
接線と法線の 傾きの積は -1 になる
行ってみましょう
グラフ 上の 点で
第一象限なので
第一象限の中で α α３乗
グラフ 上だから ｘ＝α なら ｙ＝α３乗だよね
接線の 公式を 持ってきて
法線の 公式を 持ってきて
ｆ（ｘ）
ｆ’（ｘ） を 使うので
ｙを 微分して
これで
グラフ上の 点 α における
接線は
で
法線の方は
傾きが マイナス 逆数だから
こんな感じで
代入して
へてから
（２） は
点Pにおける 接線が
x軸 ý軸 と 元の 曲線と
交わるところを
それぞれ
Q,R,S
とすると
PQ:QR:RSは一定 であることを 示せ
図を 書いてみるじゃナイスカ
Pは 第一象限
その接線が
ｘ軸と 交わり Q
ｙ軸r\と交わり R
さらに 元の曲線と 交わって S
まず
Qは x軸上だから ｙ＝０ を
接線に代入すればさ
ｘ＝２α/3
R は ちょっと 置いといて
接線が 元の曲線と交わる点Sは
曲線のグラフと 接線の グラフの
交わりだから
＝ に なるところだからさ
連立にするでしょ
＝ で むすんで
整理して
これを 因数分解できれば
答えが出る
すぐ思いつかないんですが
接線は 接しているッテいいますが
その接点は 曲線上の点ですので
（ 点 存在するけど 面積がない存在
そこかしこに あるでしょ
下敷きと 定規で 交点を作れば
交点は あるけど
面積は ないよね ）
接点の αは この方程式の 解にある
x＝α
xーα＝０
(x－α）
割り算じゃナイスカ
割り切れたでしょ
さらに
因数分解して
α もしくは －２α
なんだけど
かっこ二乗になってる (x－α）の方は 接点なので
Sの ｘ 座標は －２α
Pと Sから x軸に向かって 垂線を おろし
それぞれ P' S' として
それぞれの x座標で
比の値を
計算すると
文字が 消えて
1：2：6
一定でしょ
しばらくお待ちください
類題
接線と 法線を 求めよ
接線の公式を
書いておいてでね
一回微分も 必要なので
やっといてですね
x＝２の時の 接線は
ｆ（２）＝０
ｆ’（２）＝２
公式に代入して
こんな感じ
法線は
傾きが －逆数だからにしてですね
こうだ
ちょっと ぼうっとしてですね
何なに
ｙ＝ X二乗 の 原点以外の点の
接線 法線が
ｙ軸と 交わる点を
それぞれ T、N とすると
線分TNの 長さは どんな 範囲になるか
まずは
接線 と 法線を 求めねば
aは ０でない点で
グラフ上の点で
（a，a二乗）
ｙの 微分も 計算して
接線は 公式から
こうなってこうなってこう
法線は
公式から
だから こうなって こうなってこう
接線
法線
が出たとこで
それぞれの ｙ軸との 交点は
ｘ＝０ を
それぞれに 代入して
プラス マイナス
あったとしてもですね
線分の 長さなので
絶対値を つけて
aは＝０では ないので
2a二乗は＞０ と 1/2
TN > 1/2
関数があって ですね
このグラフ上の 点
（３ ｆ（３）） における 接線が
この グラフと 出会う点を
A,Bとするとき
AB の 長さを
もとめなさい
なんですが
まづ 接線を 求めるべく
ｆ（ｘ） を 微分して
ｆ’（ｘ）に ｘ＝３を 代入して
接線の 傾きを 出すと
-4
（ 算数間違ってしまって 面倒だから 電卓つかっちゃった）
接線の 公式に 代入して けいさんすると
接線は これだよと
再び
接線が
グラフと 出会うんだから
連立 方程式じゃナイスカ
＝ で 結んで
整理して ＝０ にして
ｘで くくりだして
ところで
接線と 曲線の 連立方程式で
接線の 接点は この 曲線上に あるのだから
接点の ｘ＝３ は
この連立方程式の 解 の 一つじゃナイスカ
ｘ＝３
ｘ－３＝０
（ｘ－３） で ｘの 3次の 方を 割り算すると
割り切れるはずですので
やってみると
さらに
因数分解 してみると
ｘ＝ 3のところは 接点なので
それ以外のところ
０ のとこと －1のとこが
再び グラフと 出会うとこですよ
A、B、
それぞれ 点の座標を
ｘ＝０ ｘ＝－１を
元の 曲線に 代入するでしょ
（ 接線に 代入した方が 速かったですが）
で
ここからは 数１で
2点間の 距離は こんな 公式があるので
ABは √17
（ 晴れ部屋へ 家庭菜園と５Ｆ ４Ｆ ３Ｆ ２Ｆ 1 Fざっかや
メニュウ ページ リターン ）
曲線上に おける 接線、法線の 問題です
接線に 垂直なのが 法線
接線と法線の 傾きの積は -1 になる
行ってみましょう
グラフ 上の 点で
第一象限なので
第一象限の中で α α３乗
グラフ 上だから ｘ＝α なら ｙ＝α３乗だよね
接線の 公式を 持ってきて
法線の 公式を 持ってきて
ｆ（ｘ）
ｆ’（ｘ） を 使うので
ｙを 微分して
これで
グラフ上の 点 α における
接線は
で
法線の方は
傾きが マイナス 逆数だから
こんな感じで
代入して
へてから
（２） は
点Pにおける 接線が
x軸 ý軸 と 元の 曲線と
交わるところを
それぞれ
Q,R,S
とすると
PQ:QR:RSは一定 であることを 示せ
図を 書いてみるじゃナイスカ
Pは 第一象限
その接線が
ｘ軸と 交わり Q
ｙ軸r\と交わり R
さらに 元の曲線と 交わって S
まず
Qは x軸上だから ｙ＝０ を
接線に代入すればさ
ｘ＝２α/3
R は ちょっと 置いといて
接線が 元の曲線と交わる点Sは
曲線のグラフと 接線の グラフの
交わりだから
＝ に なるところだからさ
連立にするでしょ
＝ で むすんで
整理して
これを 因数分解できれば
答えが出る
すぐ思いつかないんですが
接線は 接しているッテいいますが
その接点は 曲線上の点ですので
（ 点 存在するけど 面積がない存在
そこかしこに あるでしょ
下敷きと 定規で 交点を作れば
交点は あるけど
面積は ないよね ）
接点の αは この方程式の 解にある
x＝α
xーα＝０
(x－α）
割り算じゃナイスカ
割り切れたでしょ
さらに
因数分解して
α もしくは －２α
なんだけど
かっこ二乗になってる (x－α）の方は 接点なので
Sの ｘ 座標は －２α
Pと Sから x軸に向かって 垂線を おろし
それぞれ P' S' として
それぞれの x座標で
比の値を
計算すると
文字が 消えて
1：2：6
一定でしょ
しばらくお待ちください
類題
接線と 法線を 求めよ
接線の公式を
書いておいてでね
一回微分も 必要なので
やっといてですね
x＝２の時の 接線は
ｆ（２）＝０
ｆ’（２）＝２
公式に代入して
こんな感じ
法線は
傾きが －逆数だからにしてですね
こうだ
ちょっと ぼうっとしてですね
何なに
ｙ＝ X二乗 の 原点以外の点の
接線 法線が
ｙ軸と 交わる点を
それぞれ T、N とすると
線分TNの 長さは どんな 範囲になるか
まずは
接線 と 法線を 求めねば
aは ０でない点で
グラフ上の点で
（a，a二乗）
ｙの 微分も 計算して
接線は 公式から
こうなってこうなってこう
法線は
公式から
だから こうなって こうなってこう
接線
法線
が出たとこで
それぞれの ｙ軸との 交点は
ｘ＝０ を
それぞれに 代入して
プラス マイナス
あったとしてもですね
線分の 長さなので
絶対値を つけて
aは＝０では ないので
2a二乗は＞０ と 1/2
TN > 1/2
関数があって ですね
このグラフ上の 点
（３ ｆ（３）） における 接線が
この グラフと 出会う点を
A,Bとするとき
AB の 長さを
もとめなさい
なんですが
まづ 接線を 求めるべく
ｆ（ｘ） を 微分して
ｆ’（ｘ）に ｘ＝３を 代入して
接線の 傾きを 出すと
-4
（ 算数間違ってしまって 面倒だから 電卓つかっちゃった）
接線の 公式に 代入して けいさんすると
接線は これだよと
再び
接線が
グラフと 出会うんだから
連立 方程式じゃナイスカ
＝ で 結んで
整理して ＝０ にして
ｘで くくりだして
ところで
接線と 曲線の 連立方程式で
接線の 接点は この 曲線上に あるのだから
接点の ｘ＝３ は
この連立方程式の 解 の 一つじゃナイスカ
ｘ＝３
ｘ－３＝０
（ｘ－３） で ｘの 3次の 方を 割り算すると
割り切れるはずですので
やってみると
さらに
因数分解 してみると
ｘ＝ 3のところは 接点なので
それ以外のところ
０ のとこと －1のとこが
再び グラフと 出会うとこですよ
A、B、
それぞれ 点の座標を
ｘ＝０ ｘ＝－１を
元の 曲線に 代入するでしょ
（ 接線に 代入した方が 速かったですが）
で
ここからは 数１で
2点間の 距離は こんな 公式があるので
ABは √17
（ 晴れ部屋へ 家庭菜園と５Ｆ ４Ｆ ３Ｆ ２Ｆ 1 Fざっかや
メニュウ ページ リターン ）
タグ：曲線上の 接線 法線
posted by moriamelihu at 09:16| 大人のさび落とし
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