スローライフの部屋　数学２＆花と野菜

雨の日の　スローライフの部屋



定積分と恒等式

任意の　P、ｑ、に対して

常に　次の　等式を

成り立たせる様な　ｆ（ｘ）を　求めよで


ｆ（ｘ）は　概形が　こんなです


文字が　２つ　入っています


P、ｑ、　に対して　常にということは

何を　ｐ、ｑ、　に入れても　良い


ということですが







まず

ｆ（ｘ）　だと　計算できないから

ｆ（ｘ）　のとこに　与えられた式を

代入して

展開ですよ




こんな感じに　展開してって






定積分の　計算まで

持ってって





左辺が　こんな感じ

この問題は

任意の　P、ｑ、　に対して

常に　成り立つように

ｆ（ｘ）を　定めよ







つねにということはです

P、ｑ、　の　値の　いかんにかかわらず


常に

ということで


恒等式になるです






こんなでしたから

P、　ｑ、　で　くくると

恒等式の　括弧　で　（　　）　


囲ってる二つが　＝０　になるわけで






こうですから






この連立　方程式を　解いて

文字が　２つ　


その関係式が　２つ




a=-1


b=1/6





整理すると

こんな感じで

恒等式の　考え方を　使って


２つの　（　）から

連立方程式で

ｆ（ｘ）が　求まったと




では

類題

どんな　１次式　ｇ（ｘ）を　

持ってきても

＝０を　示せと


１次式の時は

ax + b


とか　

ｐｘ　+　ｑ　


とかで

表しますが






ax + b


の方を使って




展開して




警察ですか？


違いますよ！！

ほら　どっかで

あ〜　

デショ　そうそう

デショ　デショ






ショですよ

遇関数　奇関数


与式の　軽量化





軽量化の時に

aの文字は　すでに　消えていて





さらに　計算をしてくと

文字ｂも　消えてしまって


これは　a,b,は

消えていて

関係できないので


ｇ（ｘ）＝　ax + b


としてますから

どんな　１次式を　持ってきても

成り立つ




次は

問題の中に

任意の　１次式と

求める　１次式と


２本　１次式が出てくるため





ax + b

px + q


で　１次式を　表し


この表現は　数学では

よく使います




与式に　どう使うかは


与式が　ｇ（ｘ−ｔ）

ｆ（ｔ）　になってるので




ソレゾレ


ｇ（ｘ）　の方は

こうで





ｆ（ｘ）　の方は

こうで




それを　踏まえて

与式を　計算してくと




左辺を

インテグラル　のなかを

展開して




ｔについて

整理して





ｔ　で　積分でしょ



左辺は　こんなだって





右辺と　連結して






ここで

P、　ｑ、　でくくって

左辺ですね


係数を　比較　っぽく






あ〜

恒等式の　公式　書いてしまったけど

ここは

係数を　見比べて






こうなってたら

常に　成り立つから




係数比較から

連立　方程式が出て来ましたが






解いて




ｆ（ｘ）　は　こうです





類題

これは　よく　似た形で

出る問題だそうですが

最近は　どうかな






まず

２次方程式　１本だけだから





ｆ（ｘ）＝　で書いた　２次式を

代入して

計算するじゃナイスカ






左辺





右辺と　連結すると

これが　常に　成り立つんだから




係数　を　比較して

Kが　すぐに出て

K=2




で　この問題は

P、ｑ、を　解に　持つだからさ


問題作る人が

好みそうな　問題でしょ

解と係数の関係で





赤いほうを　今回使って





後は

Pq　が　でれば

分かるんだから





ここは

計算問題で






求まったものをじゃナイスカ





解と係数の　関係から

おこしてきた

２次式に　代入して


整理したら

こうです





次も

問題作る人が

好みそうな　問題で


原点を　通り


そこでの　接線の傾きが　１で


３次関数で

任意の　１次関数ｇ（ｘ）に対して

常に

次の等式を　満たすように

ｆ（ｘ）　を　求めよ







恒等式を

使うと

任意の　１次式に対して

P、ｑ、の　いかんに　かかわらず


この　形に　持ち込めば


ｆ（ｘ）側の　文字が　出てくる






原点を　通るから

a　から　ｄ

まで使って　

ｆ（ｘ）　を　

表現したときに


定数項は　０

ｄ＝０





ｘ＝０での



１回微分が　１だから

ｃ＝１





ｆ（ｘ）　は　こんな感じの

概形で


ｇ（ｘ）＝px　　+　　ｑ　とすれば






与式に　入れて

展開して




積分




だいぶ

軽くなってきました




どんな　１次式ｇ（ｘ）＝Px　+　ｑ

に対しても　と言うので


P、ｑ、　で　くくって

恒等式の　考えを


使うと






P、ｑ、　の　いかんに　かかわらず

（　　）　内が　＝０　になれば

良





ｂ＝−４






a＝10/3







というわけで

こうです




お疲れ様です。









（　晴れ部屋へ　家庭菜園と５Ｆ　４Ｆ　３Ｆ　２Ｆ　1 Fざっかや

メニュウ　ページ　リターン　　　　）