スローライフの部屋　数学２＆花と野菜

大人のさび落とし

三角関数　倍角公式と合成の利用


01

まず初めに　

倍角の公式と言うのは


サイン　コサイン

こんな感じで



02

コサイン　の　倍角を

変形すると

平方則　とか使ってですね


03

さらに

もうすこし変形して

2乗対策も　作ったりして


04


これらを
　　　　




05
まとめると


ざっとこんな感じで



06

これらを　踏まえまして

問題


07

まず

二乗を

直さないと

計算が　困難


08

サインの　2乗は

こんな感じに　直して


09

コサインも

2乗を

消去して

1次に　すべく


10

こんな感じですか


11

残りは

サインの　倍角で


12



2乗が消えて

サイン　コサイン


合成を　使って

サインに　すれば


13

行けるでしょ

合成ですよ


14


αを　こんな感じに

設定するんでしたよ


絶対値　OP　,cosα, sinα



15

合成して


16


こんなに　

すっきりしてきたでしょ



17

（１）は　最大値　最小値


18


（２）

その時の　ｘの値は


19


こんな感じで

範囲内を　

見ていってじゃナイスカ



20

一つだけじゃなっかったんだね


21

であるから



22

こんな感じですか


23


次は

連続　３問


グラフは　周期は

最大値　最小値は


という問題


24

これなら　


グラフに　できるでしょ


25

周期は


26

計算の仕方は


こんなでしたか



27

振幅　周期　平行移動

書き込んで


28

こんなグラフで

蛍光ペンのところ

周期　ぱい

最大値　１

最小値　0



29

次は


これは　サインの　倍角で


30


周期は　パイ


31

これを

グラフにすると


32

赤ペン　のところになって

周期　パイ

最大値　1/2

最小値　-1/2







33

次は


34

これを　使って


35


こんな風になるからさ


36

とりあえず　


こんな形にしておく

じゃナイスカ



37

だいじょうぶかなぁ〜


徐行してね



38

√のなかは

正なので

こんなでいい



39

この問題は

絶対値を

どうすればいいか



いい問題でしょ


40

全体を　2乗して

最後に　√を　掛ければさ


展開して行って


41

綺麗に　簡単になって


42


コサイン　サイン　の

倍角が使えて





43

こんなだからね


44

ここから

合成を使えば


45

こんな感じだったでしょ


46

で


47

合成が

出来たから



48

元に　ドッキングして


49


最大値は

最小値は


で

これはさ

ｆ（ｘ）　の　二乗だったから

√を　とれば



50

本日の

ラストオーダー


51

展開して


52


簡単にして



53

ここから

合成して



54


絶対値　OP　,cosα, sinα
　


55

いつものように

計算してくと


56

これだけになったので


57

ｘの　変域は

この範囲



58

単位円を使うと

合成された　関数の

守備範囲は

ここ

赤い所

その中で

最大値　最小値


を見ていくと


合成された関数が　=1の時

　最大値


59

その時の　ｘの値は


パイ/12

最大値　4




60

最小値は

合成された

関数が

4π/3の　時　最小値

その時の　ｘは


書くの　忘れちゃったけど


サインの　括弧の中を

＝　で　連結して

移行して

ｘ　を　だせば

ぱい/2




61

最小値は


62


2-√3


63


まとめると

こんな感じで



お疲れ様です。

大人のさび落とし
三角関数の　合成の利用

01

ベクトルのような問題なんですが

三角関数を　使って


半円があるんですよ

半径が　a


直径は　AB

弧AB上の　任意の　点を　Ｐ


として

４ＡＰ　+　５ＢＰ　の

最大値を　求めなさい




02

図にすれば

こんな感じなんですが


∠　ＡＰＢ　は　直角


中心角　180度の　円周角は

90度



03

どこを　とっても

直角三角形になることから


∠　ＰＡＢ　＝　∠　Θ

とすれば



04


ＡＰ　、ＢＰ

が　同じ　Θを　使った

sin
cos　


で　表せるので


与式に　代入して


10a sin Θ　+　８a　cos　Θ

の　最大値を　求めればいいわけで



05


合成を　使うと



計算は　

簡単な方がいいので

２aで　くくって

かっこ内を　合成してきますと




06



P（5，4）　を直角座標系

（　カーテシアン　座標系　）

にとって

OP　と　ｘ　軸の　なす角

を　αとすれば


絶対値　ＯＰは　√41

sin


cos


は　それぞれ　4/√41


　　　　　　　5/√41




07

合成するでしょ


こんな感じだったですよ


積を　→　和（差）　で

展開して



08

こんな感じ



09


sin は　-１から　1まで

前に　振幅が　ついているので

最大　最小を

このしきから　持ってくると

こんな感じ




10

題意に　当てはめると

最大値は

2a√41



11

図


12


タンジェント　αは　4/5であるので

電卓を　使ってしまうと


θは　≒　51.35度


13


次の　式の

最大値　最小値　を　求めよ





sin　の後ろから

掛かっている

cosπ/6

は　数値になるので

係数に　取り込んでしまえば




14


計算を　軽くしたいので

置き換えを

使って

後で

元に戻せば


15

ここで


いつものように

直角座標系を考えて

∠　α　を　設定すると



16



絶対値　ＯＰ

sin α　　　cos α

を

もとめておいて


17

良く見ると

今回の

sin α　　　cos α

は　よく知っている値なので



在るじゃナイスカ

同窓会とかで



私よ　私　

（　あたい　のこと　


　　　知らないなんて

　　　言わせないわよ　）


ジョークだからね


まー　なかまを　忘れたの

大きくなって

白鳥　じゃなくて

ハクジョー　になったのね！





18

計算するでしょ


19


代入して

元に戻すと


20

振幅　抜きの　sin


cos は　-1から　1


なので

振幅を　かけると

最大値　2　最小値-2



21

かっこの　中が

周期関数なので

まわってきて

=π/2の時　最大値


これを　等式にすれば


22

xは　こんな値


そーかー

わかんなかったんだ



23

最小値は

同様に

こんな感じで



24


まとめると　こうです


25

じゃーこれは？



26

sin cos

の　角度が　　違った

形なので

同じにしたい



加法定理で
　それぞれ　展開すれば


数値のところと　ｘのところの

掛け合わせたものの

足し引き

になるので


数値の　わかってるとこは　　


係数に　取り込めば　できそうである




27

sin の　方から

加法定理で

展開すると



28

こんな感じになるので


29

数値か出来るとこを

係数に　取り込んで


30

今度は

cos の方を

加法定理で展開して



31

これで


終わりじゃなくてですね

ここからだからさ


32

これを

合成するでしょ



33

α　は　こんな感じ


34

上の　学校で

実験とか　研究では

こんな感じに

ぴしゃりとかは　行かなくて


であるため

大型　コンピュータ　や

スーパーコンピューター　は

必要で


しかし

問題の場合は　作ってる　人

が存在するため

じゃナイスカ

この　αは　計算できそうですよ




35

ねねね

だからね



であるから



36

出てきたじゃナイスカ


37


整理して


38

こんなだからさ


39

いつものように



40


これを　計算すればさ


41

α　が　わかったので


42

最大値は


その時の　ｘは



43

最小値は


その時の　ｘの値は


44


なので



45



まとめると

こんな感じに

なっていって


46

こんなですか


47

扇形に　内接する

長方形

の面積が　最大になるのは？




48

Ｓが　すでに　使われてるので

今回は

面積を

Mとでもしましょう


縦　横　掛ければいいのだけれど


そこへ　三角関数を

導入して

サイン　コサイン　で　

　表現して


合成すればさ

行けそうであるので




まず

縦は　OP sin Θ　

OP=aであるから

a　sin Θ


横は

RS　＝　OSー　OR

OS＝　OP cos Θ
　　
　＝　a　cos Θ

ORは





49

ORは　扇型の　中心角60度から



OR＝QR/√3



50

QR　＝　PS　＝a　sin Θ


であるから




51

出来上がった式を

計算して


んん〜　ここから


52

倍角の　公式を使って


53

ここまでくれば


54

この赤枠をさ


合成して



55

いつもの　計算をして



56

赤枠を　＝N　としたので



57

元に戻して




58

ここから

最大値を

求めると



59


sin 関数の　性質

を　見て



60

こんな感じ


61

おっと

今回は

ぐるぐるは　無いので

Θ=π/6の時


最大値






62
最大値は



63

問題

恐れずに

落ち着いて

行ってみましょう



64

いつも通り

計算していって


65

こんなデショ


66


整理して


67

出て来て


68


今回は　最小値が

あたえられてるので



それと

a と　ｂ　の　間に

から



69

aは　√3ｂ


70


プラス　マイナス　考えられて

答は　こうです




お疲れ様です。

大人のさび落とし


三角関数　の　最大　最小

01

置き換えにより

一種類の　三角関数で表し

＝ｔ　などと置いたり

合成　したりして

最大　最小が　分かりやすい形に

持って行く


02

和⇔積　の　公式を使って

合成できるように

持って行く

SIG　COSは　-1以上　1以下


03

これが　基本形だから


サイン　コサイン　のまえに

ファクターがついて

振幅が　大きくなったりもあるけど


基本は　ー１〜１


04

例えばさ

これなんかは

コサインの　倍角　の公式を

少しいじると

サイン　だけの　2次関数になる



05

こんな感じにさ



06

ここで　

sinｘ＝ｔ　と置き換えを　使って

ｔの　2次関数にすれば

tの変域に　制限のかかった

最大　最小　が出てくる　かたちになる



07

こんな時は


08

これは　期末試験とか

でるかな



09


ｔ　の　変域を　忘れずに




10

合成は

こないだやったんですが

a,bを　直角座標系に　とって

原点との　なす角を　α　と置いて



11

最大　最小を　考えれば


12

2次式の時の　合成は

倍角の公式を使うと



13

こんな感じに　やるんですよ


14

これなら　合成できるはずだから


15

こんな感じに


16

sinα cosα　を　出しておいて


17

式変形で


18
sinα cosαに　変えて

積→和（差）

の公式で



19

そうすると

結果的に



20

こんなになるんでしたよね


21


積→和（差）を　使って

展開すると


22

この場合は

この形から
　
行けるので



23

ここまでが

前置きで

お疲れ様です


行ってみましょう



休憩する？


10分　位やすんで


脳味噌の　デフラグを

やって



24

コサイン　のほうを

倍角を　使って

サイン　に替えてみれば


25

置き換えを　使って




26

一般形を　標準形に

頂点が　見えて来て


上に　凸で　下に　開いてる



27



頂点が　ｔの　変域（　制限域　）

内にあるので

頂点が　最大値


最小値は

左　いっぱい　のときで

-2


28


最大値が　5/2

最小値が　-2



29

その時の　ｘは　

元は　サイン関数

1/6　パイ　　　　　5/6　パイ



30

最小値は　sig　ｘ　＝　-1　なので

3/2　パイ


31


こんな感じで


32

今度は

倍角の公式を使うと


33

サインの　2次関数になって

ｔで置き換えて



34

一般形　から　標準形


35

ｔの　制限域内を

グラフしたらば


36


ぽいんとに　計算をして


37


整理すると


38

最大　最小　はこんな値で



39

まとめて

こんなですか


40

やはり　倍角の公式を　

使うと



41

今回は　コサインの2次関数になって


42

置き換えるでしょ


43

ここから

最大　最小を　求めてきますと


44

一般角で表すと


コサインは


45


X=2ｎπ　の時　最大値6



46
実数の　2乗は　0以上であるため


かっこ内が　＝0　のときが


一番小さい

それで



47

コサインの　一般角で

こんな感じに



48

絶対値の　苦手な人は

見ただけで

スルーしてしまうそうですが

恐れずに



49

まず中身を　見てじゃナイスカ



こさいん　の　2次関数にして



50

置き換えて


51

グラフの　ｘ軸より下を

折り返せば


最大値は　すぐわかるでしょ


52

置き換えを　元に戻して

ｘを　求めれば　π/3


最大値は5/4



53

最小値は

＝０の時だから


54

これを　解けばいいはずだけど


55

良いんカナ？


56

近似値で　計算して

範囲に　入ってるのは



57

いいかんぁ〜

あ〜

あってる

いいんだって


58

これはですね

だんだん　疲れて来て

途中から

乱れてくるもんで

あらかじめ

ごめんね



59

こんな感じに


倍角を　使って


60

コサインの2次式にして

置き換えて



61

標準形にして


62

ここまでは　おっけやな


63

下に　凸で　上に開いてる

それで

ｔに　制限域がある


頂点の

位置で　場合分けると


64


頂点が　制限域の　左の　外に　

あるとき


最小値は　制限域　左端

最大値は　制限域　右端


65

連立を　解いて



66


（a,b)=(1,4)

a,bは　正の数なので

ここは　オッケイ


ところが

頂点の　条件に

代入したところ

ダメ



67

頂点が　-1と　0の間の時

最小値は　頂点

最大値は　制限域　右端



68

これを　解くと


69


だいじょうかな


70

チャンと　うまく　

行くようになってって



71

aは　



72


二組　出て来て

a,bの　正の定数は　オッケイ

条件式に代入してみても


オッケイ

よさそうだな


73

頂点が　0と　1の間の時

最小値は　頂点

最大値は　制限域　左端


74


これを解くと





75
さっきと　
　
似たような形になってきて


76

ｂ



77

aは


78

二組出て来ましたが



79

題意より　a,bは　正の定数

とあり　　aの方の　条件を

満たしていないため

ダメ


80

最後に　頂点が　右制限域の

外の時

最大値は　制限域左端

最小値は　制限域右端


81

これを　解いて


82

題意より　a,bは　正の定数

aの方の　条件を

満たしていないため

ダメ


83


整理すると


与式を　倍角の公式で

式変形して

コサインの　2次関数

にして

ｔで　置き換えて


制限域を　明記


84

場合分けで　調べると


85

�@


86
➀は　不適


87

�A


88

条件を　チェックして


89

�Aは　オッケイ


90

�Bの時

ダメ


91

�Cの時

ダメ


92

したがって

�Aの　二組

が　答え


93

やすむか










ラスト　行ってみましょう


94

まず　最大　最小を

わかる形に　持って行くと


平方則の一つを　使って



95


置き換えて



96


元は　こんなですか


97


横が　a


縦が　ｍ（　最大値　）



98


座標で

第２　第3　象限は　aが　負の時


ｍ＝a

aは　負なので

ｍ＝ーa

と



99

a＝０の時は










最大値　＝０


100

ここまでは　こんなで

aが　正の時



101

頂点　1/aは　正なので

ゼロ　より　上（右）にある


頂点が　0と1の　間の時


102


ｍ＝1/a　-　2


103


頂点が　1より　外　制限域の　

右外にあるとき


104

最大値　ｍ＝ーa


105

これを　グラフにすると


106



お疲れ様です。

大人のさび落とし

単振動の合成


01

半径ｒ　の　動径が

初期位相　α

角速度　ωｔ　で動くとき



動径の　ｙ軸への陰は

動径の　ｘ軸への陰は




sin　関数　cos 関数に　なる

円運動　⇔　振動

02


これを　単振動　と言い

ｒを　振幅

Ｔを　周期

ｎを　振動数

と言う



03

sin cos sec cosec

は2π　周期


tan cotは　π　周期

周期の　等しい単振動は

合成ができる



04


問題

原点を左右に　振動する

線分ＡＢ　があり


その線分上に

さらに　中点を左右に　振動する

点Ｐがある


点Ｐ　は　元の　

直線に対して

どのような　運動をするか



05


こんな　イメージですが


06

Ｏに対する　Ｐは

ＯＭ+ＭＰ


07


この　二つを

合成すればいいじゃんかね

合成の　標準形に

成るように

加法定理で

展開して




08
OＭ　=Ｘ


数値に　変えられるとこは

すぐ　数値に　してしまって


09

そうしたらば

合成の　

標準形に　なったデショ


10



次に　ＭＰ＝Ｘ’

方も


加法定理で　展開して


11

合成の標準形


12

これらを　足し合わせて


ＯＰ＝　が出て


13

ここから

初期位相をα

とすれば

OＰ　=（　3√３，　１）


14

ＯＰの絶対値を　求めて

角αは　図の位置なので

cosα sinα


は　こんなデショ



15

ＯＰ＝　を　式変形して

行きますと



16

これはさ

うまく　消える　事になってて


17

合成でいました


この　単振動を

円運動で　みると

初期位相α

角速度　（π/６）ｔ


振幅は　2√７


周期　12


18

角αは

tan　を　使って


19

周期が　

よくわかんないと

いけないので


この　周期　１２って

言うのは


ｔが　秒だったらば　12秒

で　一回

ってことで


近似値を　計算すると


20

おおよそ　こんな形に



21

では

単振動の　合成


振幅は　違うけど

基本周期が　同じだから

合成できると



22


合成したときの

初期位相を　α　とすれば

絶対値　ＯＰは　√74


23


初期位相に　対する

cos sin

を　使って


式変形



24

うんまく消えて


25



合成　できたでしょ

振幅は　√74

周期　2


26


次の　合成は



27

ｙ２　の方を

加法定理で

展開したらば


28

足合わせて


初期位相　α　とすれば

その時の　

ＯＰは　ＯＰ　＝（5，4）



29

絶対値　ＯＰ　は　√41



30

式変形をして


31

うんまく消えて


32

振幅は　√41


周期は　6



33

次の　合成

行ってみましょう



34



ｙ１　から

加法定理を　使って　

展開していきますと


35

同様に

ｙ２の方も

加法定理で　展開してきますと


36

で　　P=　y1　+　ｙ２



37

初期位相をα　として

単振動と　円運動　の

式を

求めると


38

ＯＰ　と　∠α　は

こんなだから

ＯＰの　絶対値　13



39

式変形して


40

cos sin の混ざったものが

sin　の形に

なって　じゃナイスカ


41

sinの　負角は


マイナスが　前　に出るので


42

振幅　13

円運動では　半径１３


周期　12　（　１２で　一回転）



43

ラスト　行ってみましょう


44


y１　の方から

加法て理で

展開して

分かってるとこ

値を　入れて



45

ｙ１



46

次に　ｙ２は

今回は　cosなんだね

だけれど

同じようの

今度は　cosの　加法定理で


展開して

　　コスモス・コスモス

　　　　マイプラ　　

　　　　　　サイタ・サイタ



　

47

ｙ２


48

Ｐ＝　ｙ１　+　ｙ２


49

OＰを　ｘｙ座標系に

取って


角α　π-β　＝　α

にすると





50

式変形から


51

いつものように


52

振幅は　√１５１

周期　１０



53


tan ですけど

補角を　使うと



54

こんな風に　なるです。



お疲れ様です。

三角関数の合成


01


sin　cos　　の　後ろに入る

角度が　同じ時に


合成できるんですが

次の関数を

sin　に　合成するには



02

公式　みたいのは

こんな感じで

sin　cos　の　係数で

直角座標系に　点P　（a,b)を取り


opの長さを　求め


角pox=∠α　とすれば


03


a,bを　それぞれ　

絶対値OP　で　わったものが




cos α　　、sinα　になる


ので


04

括弧の中を

積を　和（差）の公式で

展開して

計算　整理すると


sin∠　になる


05


こんな　感じで



06

括弧の中の　計算は　

こんなだから

なるでしょ


07

では　戻って

問題を　ってみましょう


sin　cos　の

後ろが

そろってないので

揃えたい



08

加法定理で


展開して


あたい分かってるとこを


代入して


09

整理したら



10

合成したときの　角度を

αとしとして

αは　こんな感じに　定めると

式変形で


＝　になる様に　変形するでしょ



11


αは　7/6π



12

アカマルがさ

　cos　sin　の　αになって



13
積を　和（差）　の公式で

展開　計算　整理　すると



14


こんな感じ


15

これはさ

よく使う形のので


おぼえちゃった方がいい


16

問題

さっきみたに

合成したときの

角度　αを

こんな感じに　設定すると



17

サイン　コサイン　の係数を

OP　の　絶対値　（長さ）で

割ると

　cos　　　sin　の

α　になるでしょ




18
括弧の中を


計算して


こんな感じ


αは　タンジェント


を　使えば　電卓で

出てくる

アークタンジェント

1/√2は

24.93568908

関数電卓は　

持ってた方が　いいかも



19

問題

今度は



20

展開して


21


整理して



22


こんなんでいいのかな？




23

だいじょかや


24

括弧の中を　計算して


25


だいじょだ






26
角度を　知りたいときは

タンジェントを　計算して

アークタンジェント



27


問題

ちょっと　計算が　増えただけ


28

こんな感じに

展開してって


29

こっちも　展開して


30


これを　計算して


31

整理したらば


合成の角度αを

こんな感じに　設定したらば



32

こんなだから


33

いつものように


34


計算して


35

こうです



36


kが入ってるけど


37

サインの　加法定理


38

次は　コサインの

加法定理


39

分かってる　数値を


代入して



40

整理して


41

またしても

こんなんでいいのかいな


42

いつものように


43

かっこ内を　計算して


44

これでいいって


45

グラフを　かけ

絶対値が　ついていて


中味を

計算して


46

sin　cos　を　先に　合成して


47


このグラフで

ｘ軸より　下を

折り返せばさ


48
だから

アバウトに

こんな感じなんだけど



49

２sinｘ　は　振幅　が

2デショ



だから

今回の　振幅は　√2



50

ｘ軸の　正に対して

マイナス　パイ/4


平行移動して



51


全体を　ｙ軸の正に対して

-1　下げて


52

ｘ軸より　下側を


上に　折り返すと

こんな感じ


53

これは

パズルみたいなもんかな

平方の公式



54

2倍角の公式


55
積を和（差）　

数値を　代入して


56

ここまで来たらば


57
いつもの　手で


58

こんな感じ






お疲れ様です。

大人のさび落とし　三角関数

三角関数の数列の和



01
あたえられた

関係式を　証明して


その関係式を　用い

三角関数の数列　の　和を　

もとめて　チョーだい

と言うもの


02

今回は　この辺りを　使いますが

関係式の　証明にあたり

積を　和（差）　に換える公式


階差数列の

和を　利用して

途中が　相殺されて

頭　と　しっぽ
　が残るから

和を　計算できる


03



関係式を　用いるにあたり

cosの数列の和　全体に

2倍のsin　ｘ/2

を　かけてみる


これを　関係式の　形に

アジャストすればさ

一つ　一つの　コサインが

サインの　階差数列　の　和に

変換できるので



04

これらを　踏まえまして

行ってみましょう



05

先ず　関係式の　左辺

先頭に　２があるけど

つづく　サイン　×　コサイン

は

1/2倍の｛　・・・　+　・・・｝

になるので



06

こんな形になるやナイスカ



07

後ろの　サインの中身を

マイナスで　くくると

サインの　負角は　

マイナス　サイン

なったデショ



08

関係式は　証明されたので

それじゃ　使っちゃおう


（　COSの　数列　の和に　）

2sin　ｘ/2　を　かけると

掛け算だから

一つ　一つに　かかってくるから


09

3っ　位

初めから　計算してみると


初めは　cos x


cos 2/2 x

にすれば

関係式に　はまるでしょ

すると　関係式の　

ｋにあたるとこは

ｋ＝２


初項の　cos x

に　

2sin　ｘ/2　を　かけたものは


サインの　階差で

出てきたでしょ



一段目



10


二段目　cos ２ｘ


cos 4/2 x


にして

関係式に　当てはめると

関係式の　ｋ　にあたるとこは

ｋ＝４


2段目


11


三段目　

cos ３ｘ

も

同様に



12




で　ここで

末項

を計算するでしょ


ｎ番目

第ｎ段




13

cos x

cos 2x


cos 3x

・
・
・
・
・

cos nx


ソレゾレに

2sin　ｘ/2　を掛けたものの


和は


途中が　相殺されて


残ってるとこを

書くと




14


整理するとですよ

それぞれに

2sin　ｘ/2　を　

掛けたものの

和


が

たった　2項の　和の形になって


これを

整理したら

こんな形



15

この

引算の　形のままだと

計算の時に

簡略でないので


ここで

和差を　積の公式で

くっつけると


16

こう言うのが　

あったじゃナイスカ


17

整理したら

こんな形で


18

これは　

まだ　答えではなくて


2sin　ｘ/2　倍されたものだから


2sin　ｘ/2　で　割ればさ



19


ｘは２ｍパイでは　無いより


分母は　ゼロにならないので


答は　コレ


要するに

一つ　一つの　項が

2sin　ｘ/2　を　かけたことに

よって

階差数列　を　形成したので

途中が消えて

頭と　しっぽの　項の　一部

だけが　が残るので

簡単に計算できる

と言うものでした



20


では

類題　行ってみましょう



21

さっき　

やったみたいに

増えて　行く　ｘ

の半分を

2sin　ｘ/2　を

掛ける形で

階差数列を

形成してくと



22

今度は

階差は　cosでできてくるけど

考え方は

同じ


23

以上を

踏まえまして

関係式の左辺を

積を　和（差）　に換える

公式で

展開してきますと



24




コサイン　の　負角は

マイナスが　外せるから




25

整理して


=右辺


証明したから

使っていいので





26


この関係式を　使って

サインの　数列の和を


階差数列を　形成することで


簡単に　求めていくと



27


階差数列　1段目


28

階差数列　2段目


29


階差数列　3段目



30

階差数列　ｎ段目


31

サイン関数の　数列の和を

Ｓとしておくと


Ｓに　　2sin　ｘ/2　を　


ソレゾレ

掛けたものが


コサインの　階差数列

に成ってるので


32

こんな感じに

簡単になるじゃナイスカ


頭と　しっぽ　が残っていて


33

差の形は　積の形の

なるから

より　安定な形に

和差を　積　の公式で


34

サイン関数の　負角は

マイナスが　前に出て


全体の　マイナスが　消えて


35

で

で　じゃないすか


これは

2sin　ｘ/2　倍

してあるものであるから



2sin　ｘ/2　で　割ると


分母は　ゼロには　ならないので

答は　コレ



36

サインは　周期関数だから



37


なのです


38


こんどは　


どうするんかな



39

関係式の左辺は


cot


tan の　逆関数　だからさ

これを

通分すると



40



ここで

分子だけ

積を　和（差）の公式で

変換すると


41

整理して


42

こんな感じで


43

今度は

頭を

柔らかくして

関係式が

さっきと　右　左の　関係が

入れ替わってるだけなので



サイン関数の　数列の

それぞれの項を


関係式の　左辺を　使って


階差数列に　変換すると




44

こんな感じでしょ


45

整理して


46

普段使わないから

苦手意識の方が

強いんだけど


こんなに　すんなり





ん？


だからさ

コレダよ



コレ

ね

こたえ

コレ


え


さっきと違う


cot

は　大変だから

これでいいんだって




47

問題


これはさ

家で　やってるときは


コーヒーブレイクを　入れて


最近　悲しいことがあり

ジャガーハニー
手に入んなくなっちゃって


スマトラ　マンデリン　もか


ん

おちは

親父的に

だからさ


酸味　の　美味し　コーヒー

にしてます。





数列は　どんな　感じに

なってるかと言うと






48

この　βが　ふえて　行くんだけど


2sin　ｘ/2


だったとこを


今度は


2sin　β/2



を

掛けて


関係式を

作り出すと



49

こんな感じに



50

こう言う風に　なるんですよ


この　作りだした

関係式を　使って

　コサインの　階差数列を

項ごとに　形成するかたちで



51


ｋの値を

増やしてくと

各　項に　なることを

確認して


2sin　β/2

を　和に　かけたもので


階差を　作って


あとで


2sin　β/2

で　和って戻す


52


一段目


53


2段目


54

3段目


55

n-1 段目　何だけど

全体では

ｎ段目



56

こんな感じに


なって



57

差を　積の形にして



58

整えて

2sin　β/2　で　割ると




59

こんな感じなんですが


分母が　ゼロでないとき

ベータが　２ｍパイで　ないとき



ベータが　２ｍパイの時は


ベータの　項が　ゼロになるので



60

全体では

ｎ項　あるため

ｎsin α




こんな感じで


お疲れ様です。

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大人のさび落とし

三角関数　条件式つき証明問題




001

つぎのような　条件式があるときに





以下の　等式を　証明せよ


002

今回は　だいたい

この辺を　使って



比例式＝ｋと置く

三角関数の計算は　sin　cos　でやれ

コタンジェントって


003

積の形を　和の形に

これらを　踏まえまして



004

先ず　条件式を

変形して行くと


005

比例式になるので

＝ｋと置いて


006


今度は


与式
コタンジェントを

タンジェントにして

さらに　sin cos　で　表せば



007

これを　分母　分子　ともに

積を　和の形に

変形したらば



008


簡単になったデショ

ここへ


比例式　＝ｋ　で　

先に　求めておいた部品を

代入すると



009


こんな感じで


010

次も　証明問題


2行目の　式

右辺　今回は


sin cos 出と言ってましたが

cotの　加法定理を

導いて



011

tan　が　cotの　逆数だから

tanの加法定理をつかって



012

右辺を　加法定理で

展開したい


013

cotの　加法定理は


014

こんな感じになるから


015


これでさ


016

こんなになるでしょ


017

題意から　の条件を

代入して


018


よく似てるよね


019

マイナスにすれば

分子の　計算で


020

すごく簡単になって


021


条件式があるので


右辺=左辺


022

問題


次の　等式を　証明せよ




023

今回使うのは

大体　この辺


たすきにかけて
平らに

加法定理


024

sinΘ・cosΘ　＝　cosΘ・sinΘ

の時


すくなくとも　どちらか　一方は

ゼロではない


025


先ず　条件式の　分母を　払って



026
加法定理を　使って

展開したので

こんな形になりました



027

もう一方は


028

やはり

加法定理で　展開して

こんな感じに　なりました


029


➀を　さらに　整理して


030

➀’


031

�Aをさらに　整理して


032

�A’


033

➀’�A’　を　掛け合わせるでしょ


034

sin cosは　90度ずれているので

同時に　0には　ならない

そこで

どちらかが　０でないとして


約してしまうと


035

こんな感じになるので

これを　

展開して


036

積を　和に　を

考えながら


037

整理して


038

積を　和に　を　取り入れて


039

整理してきますと

なったですね


040


問題

次の　式を　証明せよ


条件が　付いてます



041

今回使うのは

この辺り



042


式の証明は

複雑な方から

簡単な　方へ

右辺イコール



左辺には　yがないので

ｙ　を　何とかせねば



043

倍角の公式を　使って


ちょっと細工して


044

こんな感じに


045

sin　が　tanになったデショ


cos もさ


046

こんな感じで


047

これで

sin 2y


cos 2y　　を tan

にして


048

条件式から
tan　ｙ　 を　出してくると



049

これで

ｙ　は　消えたよね


050

整理して


051

今度は

2乗を　展開して行くか


052

2乗を　展開　して　

整理すると




053

シャ　シャ



054

今度は　どこだ


055

こんな感じに



056

大分簡単になって



057

またやくせるから


058

倍角が隠れてる

見えますか



059


んん〜

これ以上行かないなぁ〜

な時


左辺が　歩み寄ってきて



060



めでたしめでたし



お疲れ様です。