2B7016　大人のさび落とし　三角関数　三角関数の数列の和 : 　スローライフの部屋　数学２＆花と野菜

2023年06月03日

2B7016　大人のさび落とし　三角関数　三角関数の数列の和

　

　スローライフ　の　森　　　

　3.1シー　　メニュウ　ページ。
　　　@　　　?　　　前　　　休憩

大人のさび落とし　三角関数

三角関数の数列の和

01
あたえられた

関係式を　証明して

その関係式を　用い

三角関数の数列　の　和を　

もとめて　チョーだい

と言うもの

02

今回は　この辺りを　使いますが

関係式の　証明にあたり

積を　和（差）　に換える公式

階差数列の

和を　利用して

途中が　相殺されて

頭　と　しっぽ
　が残るから

和を　計算できる

03

関係式を　用いるにあたり

cosの数列の和　全体に

2倍のsin　ｘ/2

を　かけてみる

これを　関係式の　形に

アジャストすればさ

一つ　一つの　コサインが

サインの　階差数列　の　和に

変換できるので

04

これらを　踏まえまして

行ってみましょう

05

先ず　関係式の　左辺

先頭に　２があるけど

つづく　サイン　×　コサイン

は

1/2倍の｛　・・・　+　・・・｝

になるので

06

こんな形になるやナイスカ

07

後ろの　サインの中身を

マイナスで　くくると

サインの　負角は　

マイナス　サイン

なったデショ

08

関係式は　証明されたので

それじゃ　使っちゃおう

（　COSの　数列　の和に　）

2sin　ｘ/2　を　かけると

掛け算だから

一つ　一つに　かかってくるから

09

3っ　位

初めから　計算してみると

初めは　cos x

cos 2/2 x

にすれば

関係式に　はまるでしょ

すると　関係式の　

ｋにあたるとこは

ｋ＝２

初項の　cos x

に　

2sin　ｘ/2　を　かけたものは

サインの　階差で

出てきたでしょ

一段目

10

二段目　cos ２ｘ

cos 4/2 x

にして

関係式に　当てはめると

関係式の　ｋ　にあたるとこは

ｋ＝４

2段目

11

三段目　

cos ３ｘ

も

同様に

12

で　ここで

末項

を計算するでしょ

ｎ番目

第ｎ段

13

cos x

cos 2x

cos 3x

・
・
・
・
・

cos nx

ソレゾレに

2sin　ｘ/2　を掛けたものの

和は

途中が　相殺されて

残ってるとこを

書くと

14

整理するとですよ

それぞれに

2sin　ｘ/2　を　

掛けたものの

和

が

たった　2項の　和の形になって

これを

整理したら

こんな形

15

この

引算の　形のままだと

計算の時に

簡略でないので

ここで

和差を　積の公式で

くっつけると

16

こう言うのが　

あったじゃナイスカ

17

整理したら

こんな形で

18

これは　

まだ　答えではなくて

2sin　ｘ/2　倍されたものだから

2sin　ｘ/2　で　割ればさ

19

ｘは２ｍパイでは　無いより

分母は　ゼロにならないので

答は　コレ

要するに

一つ　一つの　項が

2sin　ｘ/2　を　かけたことに

よって

階差数列　を　形成したので

途中が消えて

頭と　しっぽの　項の　一部

だけが　が残るので

簡単に計算できる

と言うものでした

20

では

類題　行ってみましょう

21

さっき　

やったみたいに

増えて　行く　ｘ

の半分を

2sin　ｘ/2　を

掛ける形で

階差数列を

形成してくと

22

今度は

階差は　cosでできてくるけど

考え方は

同じ

23

以上を

踏まえまして

関係式の左辺を

積を　和（差）　に換える

公式で

展開してきますと

24

コサイン　の　負角は

マイナスが　外せるから

25

整理して

=右辺

証明したから

使っていいので

26

この関係式を　使って

サインの　数列の和を

階差数列を　形成することで

簡単に　求めていくと

27

階差数列　1段目

28

階差数列　2段目

29

階差数列　3段目

30

階差数列　ｎ段目

31

サイン関数の　数列の和を

Ｓとしておくと

Ｓに　　2sin　ｘ/2　を　

ソレゾレ

掛けたものが

コサインの　階差数列

に成ってるので

32

こんな感じに

簡単になるじゃナイスカ

頭と　しっぽ　が残っていて

33

差の形は　積の形の

なるから

より　安定な形に

和差を　積　の公式で

34

サイン関数の　負角は

マイナスが　前に出て

全体の　マイナスが　消えて

35

で

で　じゃないすか

これは

2sin　ｘ/2　倍

してあるものであるから

2sin　ｘ/2　で　割ると

分母は　ゼロには　ならないので

答は　コレ

36

サインは　周期関数だから

37

なのです

38

こんどは　

どうするんかな

39

関係式の左辺は

cot

tan の　逆関数　だからさ

これを

通分すると

40

ここで

分子だけ

積を　和（差）の公式で

変換すると

41

整理して

42

こんな感じで

43

今度は

頭を

柔らかくして

関係式が

さっきと　右　左の　関係が

入れ替わってるだけなので

サイン関数の　数列の

それぞれの項を

関係式の　左辺を　使って

階差数列に　変換すると

44

こんな感じでしょ

45

整理して

46

普段使わないから

苦手意識の方が

強いんだけど

こんなに　すんなり

ん？

だからさ

コレダよ

コレ

ね

こたえ

コレ

え

さっきと違う

cot

は　大変だから

これでいいんだって

47

問題

これはさ

家で　やってるときは

コーヒーブレイクを　入れて

最近　悲しいことがあり

ジャガーハニー
手に入んなくなっちゃって

スマトラ　マンデリン　もか

ん

おちは

親父的に

だからさ

酸味　の　美味し　コーヒー

にしてます。

数列は　どんな　感じに

なってるかと言うと