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2018年12月07日
24003 大人のさび落とし 定積分（１）
雨の日の スローライフの部屋
定積分の計算
行ってみましょう
不定積分の時の 要領で
積分するんですが
インテグラルの
積分限界の上限 を 代入したものから
積分限界の下限 を 代入したものを
引き算する
不定積分の時は
積分定数ｃが 消えなかったんですが
今回は
積分定数は 消える
分かりずらいところも
あるんですが
丁度いい問題が
出たときに
あ～ これかになればね
公式と言うか
性質は こんなですよ
乗り換えは
こちら
浮気は ダメヨ！！！！
これがさ
大切なんですが
遇関数
ｙ軸に 対して 対称な形
ｆ（－ｘ）＝ｆ（ｘ）
この時は
下限界 と 上限界が
符号が
違うだけの 形になってるときに
遇関数は
こんな感じ
奇関数 ｆ（－ｘ）＝－ｆ（ｘ） は
こんな感じとの ときは 0になる
原点に対して 対称
では 行きますよ
四角かっこ にして
中身を 積分した形
積分定数 ｃ は 計算途中で
消えるので
書きません
積分限界 上端 下端 を かいて
ｘについての 積分なんで
ｘに 代入するでしょ
こんな感じ
簡単でしょ
全体的に
F(a）－F(b)
にしてもいいのだけれど
結果は 同じなんですが
ようりょよく やるんでしょと
誰かが 言ってらっしゃいましたね
よいところは
親しみ結んで
見習った方が
ねー
知恵を 見たら 姉妹だといって
喜びましょう
え あ～
彼だったか
で じゃナイスカ
次がさ
問題なんだけど
積分せよ
要領 よく のほかに
さらに 要領よく
展開するでしょ
まとめるでしょ
インテグラル -1 から 1
ここでしょ
ピーンときたら
デショ デショ
ショデスカ
そ～じゃなくって
遇関数 奇関数
の 性質を 使って
式を 軽くですよ
軽量化を するんですが
整関数は
遇関数と奇関数の和になってるので
分けちゃう
定数項は 遇関数のしっぽに
付けちゃう
ゴジラの しっぽに
リボンを つけてみたいなぁ＾～＾
冗談は ともかく
ソレゾレ
こんな感じに 式を
書き換えることができて
かなりな 軽量化になる
こんなだよ
軽いでしょ
ここで
さらに 要領よく
積分して
こ
コレダよ
次は
これはさ
しょうがないから
そのまま
計算だけ 要領を 使って
こんな感じで
積分だけど
マイナス なんてのも あるんだね
これはさ
遇関数 奇関数 が使えるよ
しかし
その前に
展開して
まとめて
奇関数 遇関数 に分けて
計算の要領を さらに 使って
こんな感じで
これは
ん
できるだけ
計算を 簡単にしたいので
その方が 計算ミスが 少ない
くっつけて
まとめて
計算
こんな感じで
次は
条件を 満たすように
定数aを 定めよ
積分したものが ＝０ になるんだって
兎も角
左辺積分
左辺は こんな感じで
これが ＝０ になるんだから
因数定理で
解を 探して
３を 頼りに
因数分解してくと
こんな感じだって
今度はこれ
成り立つように
定数aを 定めよ
右辺を
見てじゃナイスカ
奇関数 遇関数 に分けて
右辺が 定数に 成っちゃった
今度は
左辺を 積分してくと
計算して
出ましたよ
aは±√5
今度は
これはさ
手ごわそうだな
中身を 展開して
整理して
この形は
遇関数 奇関数 に 分けられるので
軽量化 できて
積分してくと
さきにさ
aを 放物線に まとめて
標準形にするでしょ
こんな感じで
全体は
こんなだから
これを 最小に する
a, b,は
どっちも 二乗が 効いてるので
こんな感じですか
お疲れ様です。
（ 晴れ部屋へ 家庭菜園と５Ｆ ４Ｆ ３Ｆ ２Ｆ 1 Fざっかや
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posted by moriamelihu at 21:57| 大人のさび落とし
24002 大人のさび落とし 積分定数と 関数の決定 （２）
雨の日の スローライフの部屋
積分定数と関数の決定（２）
数学には
独特な 表現があるのですが
微分に おいて
ある区間で関数ｆ（ｘ）が 微分可能な時
その区間では ｆ（ｘ）は 滑らかに
連続する
すべての ｘについて
微分可能な 関数ｆ（ｘ）が
1以下と １以上で
少し ちがった ｆ’（ｘ） に
成ってます
が
このｆ（ｘ）が存在するように
正の定数aを定め
ｆ（ｘ）を求めよ と言うものです
で
この関数は
1以上と 1以下で
ｆ’（ｘ）が ちがうんだけど
すべてのｘに対して 微分可能とあるので
すべてのｘの 区間で 微分可能
ならば
すべての 区間で 滑らかに 連続している
なめらかに レンゾク （ 連続 ）
なのだから
ｘ＝１で
ｆ’（ｘ）の 値が 等しいはず
なめらかに 連続
ｘ＝１を
ｆ’（ｘ）に 代入するデショ
デショ デショ
今日は まじめにやってます
で
因数分解などして
aを 求めるんですが
題意より
aは 正の定数なので
a＝２
ｆ（ｘ）を １以下と １以上で
求めるため
a＝２を 代入して
1以下から 見てきますと
こんな感じで
(イ)の条件に
ｆ（０）＝０
があるので
代入すると
C１=0
こんなか
１以上の時は
こんな感じ
なんだけど
今度はさ ｆ（０）＝０ が 使えない
ここは ｘが １以上の 区間だから
そこで
滑らかに 連続してるというので
１以上と １以下の
x＝１の時は
なめらかに 連続してるんだから
ｆ（ｘ）の値が 等しい
ｘ＝１を 代入してみると
C2=-4
ナタメ
ｆ（ｘ）は 連続してるんですが
分割して書いて
グラフを 書いてくと
計算は しょっちゅう
手を動かさないと
すぐ錆びてしまう
頭の いい人は
どんな風に 解くのか 知らないけど
うう～んと
ｘが １以上の時だから
滑らかに連させると
こんな感じに
なるようです
次は
滑らかに
連続ではないらしく
連続図形に したら
どうなるのか
という問題で
区間ごとに
積分してくじゃナイスカ
ここも ｃが付くから
C2にしとくか
ここは
ん
ここは C3だね
紛らわしいから
ｃ１、ｃ２、ｃ３を
a,b,c,に置き換えて
ここでさ
ｆ２（ｘ）が 原点を通る
数学では
0とか 1とかは
普通だけど
普通じゃないことが 多々あり
まー ふつうなんだけどさ
b＝０
ｆ１（ｘ）とｆ２（ｘ）
を
連続させると
a＝-３０
ｆ２（ｘ）とｆ３（ｘ）を 連続させると
ｃ＝27
こんな感じ
関数ｆ’（ｘ）の グラフが
右図のような 放物線の時
ｆ（ｘ）の 極大が ４
極小が 0で あるとき
ｆ（ｘ）を 求めよ
グラフは
f’(x)を
表してるのだから
ここから
増減表を 起してくると
ｘ＝0で 極大値4
ｘ＝2で 極小値0
ちょっとここで
微分のとこから
違う問題を見ると
微分の時は
ｆ（ｘ）を 一回微分して
ｘ＝0になるとこを
だして
その前後を 傾きを調べて
前後の 傾きの
符号が 異なっていれば
極値
なので
その逆を やって
ｆ（ｘ） を 求めるに
ｆ’（ｘ）＝ こんな感じで
これを
積分したら
こんなデショ
文字が ２つあるけど
f(0）＝4
ｆ（2）＝2
が使えるから
これを 代入して
ｃ＝４
⇒
a＝３
だいじょだった
こんな感じで
おつかれさまです。
さびおとしは
朝 ひる 晩 寝る前
次の日
覚えてしまってると
ラッキーです
実際に 手を動かして
わかんないときだけ
参考にしていただけると
効果が 期待できます。
受験対策でないときは
読んで 楽しんでください
数学は 面白いです。
（ 晴れ部屋へ 家庭菜園と５Ｆ ４Ｆ ３Ｆ ２Ｆ 1 Fざっかや
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posted by moriamelihu at 10:19| 大人のさび落とし
2018年12月05日
24001 大人のさび落とし 不定積分 ＆ 積分定数と関数の決定。
雨の日の スローライフの部屋
不定積分 ＆ 積分定数と関数の決定。
最近 やってなかったのを
久々に やったために
恐ろしく 錆びていました
どーしよう。
やるっきゃない！
いきなり？
ムリムリ
兎に角
行ってみましょう。
不定積分せよ
だから いきなりはさ
で ですよ
原始関数を F(x) としたら
一回微分したものを ｆ（ｘ）
とすると
F'(x) ＝ ｆ（ｘ）
これの 逆演算を 積分と言い
原始関数を 求めるのを
不定積分と言うのですよ
ところで
次のようなものを
微分したら
定数項が 消えるでしょ
F'(x)=f(x) しか 分かってないときは
積分すると
ゼロから 定数を 起してくるので
可能性が 無限に あるわけで
その 消えてしまった 定数を
C で 補って
Cは 積分定数 を 明記する。
にょろにょろ の読み方は
インテグラル
ムーミンに 出てくのは
ニョロニョロ だ～からさ
わ～かるよ ね
公式はさ
こんな感じで
で
問題に 戻って
今度こそ
行ってみましょう。
頭の 中で やってしまうと
ケアレスミスが
多くなるので
できるだけ 手を 動かして
計算用紙は 大切だ
公式が 分かってるときは
簡単に出るのだけれど
公式を 忘れてしまったときは
中身を 展開して
積分
計算してくでしょ
積分定数は
最後に
まとめて
Cにして
そうしたらさ
一目で
あってるか どうか
わかんないから
検算するじゃナイスカ
微分でしょ
こっちの 方は
公式で
簡単に 確認が 取れました
オオケイ
展開した方も
微分してって
で
これを 因数分解した
かっこ の形に したいのですが
（ ） の ３乗だからさ
組立除法で
３ 回
繰り返して
割り切れた ので
オオケイ
計算練習は 大切で
ｔ について 積分するときも
同じです
ね
公式を使う やり方
検算 で オオケイ
展開 したときも
検算してみますと
文字が 入ってても
組立除法で
３ 回繰り返して
割り切れてるから
かっこ ３乗 で 割り切れて
ね
オオケイ
これは どないだ
こないだじゃなくて
さっき 公式見たばかりだか～らさ
なかった
これはさ
展開して
これでいいのだ
これはさ
さっき見た 公式の 逆をやって
少しでも
計算を 楽にして
ね
かなり 簡単なところからの
スタートでしょ
これはさ
展開して
考えるけど
ｙについて 積分ののだから
ｘ は 定数扱い
こんな感じで
次は
積分定数C と言うのが あったですが
これって 何になるんだ
な時
条件が与えられてると
積分定数が 特定できてですよ
微分が 出てるので
積分すると 積分定数付きで
原始関数
で
この原始関数が ｘの値が １の時 １
だというので
ｘ＝１ を 代入して
それが ＝１ になるので
積分定数が 特定できて
原始関数が
求まったと
微分するのを
難しく 書くと こんな感じで
平易に 書き換えて
冷静さを 取り戻し
考えてみるに
こんな感じですか
不定積分したら
こんなになったから
ここに
条件を 代入したら
ｃ１
ｃ２ が もとまって
ん
ｆ（ｘ） 、 ｇ（ｘ）
を 求めよだから
②式を 因数分解して
整数解の時みたいに
検算して
条件を 満たしてるか
確認をしたところ
こんな感じで
次は
積分の 問題を
誤って 微分してしまいました
正しい答えは 何か
ゲンゴロウを 捕まえに行って
誤って
ガムシ を 捕まえてしまいました
ほんものの ゲンゴロウは
どんなものか みたいな
まず スタートライに
誤った答えを 積分して
不定積分で 積分定数Cが付いて
で
ｆ（０）＝１ なのだから
これを 入れれば
元の 関数が 見えてくる
で
今度こそ
不定積分で
こんな感じに
次は ｘの関数 u,v,
を 求めなさいなんですが
条件は これだって
平易な 書き方にして
別に 分かってれば
そのまま 行っていただいて
一向に かまいませんが
整理して
積分の計算
２つ あるから
もう一個 計算
また ちょっと 整理して
条件から
積分定数を
求めるでしょ
２本とも
積分定数を 求めて
ここからは
⑥の式を 使って
整数解の ときみたいに
ところがさ
ｘの3次だから
ぱっと 見て 分かればいいけど
因数定理で
（ｘ－１） を 因数に 持つから
組立除法で
こんな組み合わせに
なったけど
条件を 満たしてるか チェックすると
こんな感じですか
で
次はですね
ｆ（ｘ） は ｘの 関数で
5次式だって
ｘ－１の 括弧3乗で 割ると
３ 余り
ｘ+1の 括弧3乗で 割ると
余りが-1 になる
ｆ（ｘ）を
割ると 商がたって 余りも 出たと
➀ 、② 、
これを
微分するじゃナイスカ
③、④、
これがさ
次の もので
割り切れることを 示せ
ばいいのだから
じっさいに 割ってみれば
計算して
割ると
中かっこで
掛け算の形
割り切れるってことだよ
もう一つの方も
割り切れる
ｆ（ｘ） を 求めるに
ちょっと待ってください
元の式は
ｘの5次式
一回微分したら ｘの4次式になる
ということは
これは
いったい何？
この 中かっこの 中身は
定数でないと まずい
だから
これを ｛ ｝＝ aと置いちゃう
だから
ｆ’（ｘ） は こんな形
積分ですよ
シャ 、 シャ、
しゃ、 しゃ、
で
ふんっ
で
元の f（x）を 括弧の3乗で
割った時に 余りが でるのが
2つ
あったじゃナイスカ
それを てがかりに
ｆ（１）＝3、 ｆ（-1）＝-1
を ｆ（ｘ） に代入したら
わかんない 文字が 2つだけど
関係式が ２つ 出てくる
ね
だからさ
ｃ＝１
a＝15/4
ここだ
めでたしめでたし
かなり 錆びていたため
苦労いたしました。
お疲れ様です。
（ 晴れ部屋へ 家庭菜園と５Ｆ ４Ｆ ３Ｆ ２Ｆ 1 Fざっかや
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posted by moriamelihu at 21:53| 大人のさび落とし
2018年10月24日
23032 大人のさび落とし ４次関数が極値を持つ条件。
雨の日の スローライフの部屋
四次関数が
極値を 持つ条件
は という問題で
ｆ（ｘ） が
極大値を 持たないときは
極大値を 持つときは
こんな問題の出方をしていて
四次関数の 性質で
ｆ’（ｘ） ＝０ を
調べる時
正確には 極値と言うには 増減表を書いて
ｆ’（ｘ）＝０ の 前後の 傾きが
異なっていることを
確認しないといけないですが
経験的に
ｆ’（ｘ） ＝０
の 解が
４乗の係数が 正の時
異なる ３実解の時 → ｆ（X)は １つの極大値と
二つの 極小値
重解 または 虚解の時 → １つの 極小値のみ
形にすれば w字型 か U字形
ｘの４次の係数が 負ならば
逆w字形 逆U字形
そこで
問題の 関数ｆ（ｘ）の 傾きを 見るべく
一回微分
ｆ’（ｘ）＝０ になるとこが 極値に なる可能性
かっこ １の 問題は
極大値を 持たないとき
極大値を 持たないときは
４次の係数が 正の時は
ただ一つの 極小値のみ
ｆ’（ｘ）＝０ になるとこは
ｘ＝０ と 括弧の２次式が ＝０のところ
ｘ＝０ が 極小値かなと めぼしをつけ
二次式が 極値を持たないためには
判別式＝＜０
９－４a=<0
の時 極値を 持たない
だから
a＞＝9/4
の時
かっこの ２次式が 極値を 持たないから
ｘ二乗-３ｘのとこを
値が 変わらないように 式変形して
中かっこでくくって
そこに aが9/4以上だったら
実数の二乗は ０以上
後ろの aのところも ０以上
常に ０以上
増減表に 具体的に 数値を代入して
a＝＞9/4 の時
極大値を 持たない
ほんとは これでは 不十分ですが
かっこ２の
極大値を持つときを 考えると
今の逆だから
判別式D>0 の時
極大値一つと 二つの 極小値を 持つはず
aの範囲は a＜9/4
後ろの 括弧の ２次関数が 極値を持つので
（ 異なる ２実解 ）
4x と合わせて ３つの 異なる実解を持つ
こんなことしなくても いいかもしれませぬが
さらに a＜０の時
αと β に 当たるとこの
おおよその 位置を 調べると
α ＜ β とすれば
αは ゼロより小さく
βは ３よりおおきいので
α ＜ ０ ＜ β
これで
増減表を 作ると
ｘ＝０ のとこが 極大になる
つまり 極大値を 持つ
さっきの 極大値を持たないときは
一つの 極小値のみ に なる
a＜9/4で a＞０ の時は
α 、 β 、 の 大まかな 位置を 調べると
βは 難しい位置に いるのかな
今度は x＝αで 極大値
でa＝０ のとこも 調べれば
いいんですが
調べてみると
ここに
極大値を 持たない aが 潜んでいたため
かっこ １
かっこ ２
答えは こんな感じで
次は
極大値を 持つとき
点の 存在範囲を 調べよと
極大値を 持つんだから
ｆ’（ｘ）＝０が ３っの 異なる実数解を持つ
f’(x)＝０は ｘ＝０と 後ろの ２次式の解 α と β
解の 一つは ０
０ と α と β は 異なる
a、ｂ、のはいた ２次式の 判別式が D>0⇒
異なる ２実数解
なのだから
式変形したら
aと ｂの 関係は こんなでした
これは
aと bが この式を 満たす組み合わせ⇒ ok
で
ｘ＝０ の 点 以外の場所
次はさ
難しそうなんだけど
やってみますと
ｘ＝０ で 極大値 ２をとり
ｘ＝１と ｘ＝－２で 極小値を もつ
さらに 極小点を 結んだ 直線の傾きが 9
まず 微分しておいて
条件を
冷静に 見てくじゃナイスか
文字を 使って ４次関数を 表現して
ｆ（０）＝２
ｘ＝０ で 極大値 ２だからさ
代入したら
e＝２
ｆ’（０）＝０になるはずだから
代入したら
d=0
極小値の値
文字式が １個
も一つ 極小値の値
文字式が ２個目
極小点を 結ぶ 傾きから
極小点なんていうからさ
普段 聞きなれてないから
おーじーけー ずいちゃ うん だ
文字式 ３っ目
わかんない変数が ３に 式が ３
計算してきますと
a=3
ｃ＝－１２
ｂ＝４
こんなですか
お疲れ様です。
（ 晴れ部屋へ 家庭菜園と５Ｆ ４Ｆ ３Ｆ ２Ｆ 1 Fざっかや
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posted by moriamelihu at 20:04| 大人のさび落とし
2018年10月17日
23031 大人のさび落とし ３次関数が 極大値 極小値 を 持つ条件。
雨の日の スローライフの部屋
３次関数が 極値を 持つ条件
f(x) があって
この３次関数が 極大も 極小も
持たないように
ｋの範囲を 定めよ
３次関数を
一回微分すると ２次関数に なるですよ
この ２次関数は 傾きを 調べるためなんですが
２次関数のところで
判別式＝Dとしてですね
D>0 異なる ２実解
D=0 重解
D＜０ 虚解
ナタメ
３次関数の１回微分の ２次関数
ｆ’（ｘ）＝０ の 解は 極値なので
こんな感じで
それを 踏まえると
今回は
一回微分の判別式D＜＝０の範囲になるから
計算してですよ
判別式 Dが ＜＝０ 何だから
不等式を 解くと
わたしんとこは
数直線を 多用しています
こんな範囲で
今度は
逆に
極大値と 極小値を 持つには
aは どんな範囲でしょう
３次関数の 一回微分
普段 傾きを調べるところ
ですよね
＝０ になるときが
極値の 可能があるんですが
二次関数の 性質で
ｆ’（ｘ）＝０ の ２次関数のん判別式
D>0 の時は
異なる ２実解
この ２実解は ｆ’（ｘ）＝０ のところだから
極値
極大値 と 極小値
ｙ’を 求めて
判別式を とるでしょ
これがさ
D>0 になればいいのだから
数直線で
不等式を解いたら
こんなですか
次はね
３次関数が
極大値 極小値 を 持つ理由を述べ
極大値と 極小値を 結んだ
線分の ３等分点を P,Q,として
線分PQ （両端含む ） が
ｙ 軸と まじわるaの範囲を もとめよ
休む？
え いいから 行ってくれ
はい
ではですよ
ダイジョカナ
（１）はさ
極大と 極小を 持つだから
３次関数の 一回微分の ２次関数を
＝０ と置いて
判別式を とると
D>0 になるはずなんだよ
計算してくでしょ
四角で 囲った 変な 式を見ていただいて
D>０ になるから
極大と 極小を 持つ
つぎが 問題なんだけどさ
え
ちょっと やすんでもいい
あ～
今日は ゆるいな
チョメチョメを 入れない コーヒーなんて
？
ない
しょうがないな
ｘの ３乗の係数は 正だから
N字形
極大から
極小に
線を 引いて
ｘ座標の値で
極大を α 極小を β
Pを ｘ１
Qを ｘ２ とすれば
分点座標の 公式が あたじゃナイスカ
ｘ１ と ｘ２ を
分点座標表示するでしょ
それで
ｘ１ と ｘ２ が ｙ軸を挟んでいる
とすれば
ｘ座標の 符号が ちがうから
掛ければ マイナスになる または 0
そこで
分点座標 ｘ１とｘ２を 掛けると ０以下
ちょっと置いといて
α と β を 使いましたため
３次関数の 一回微分の ２次関数
これを ＝０ と置いて
極大と 極小 があるんだから
解と係数の関係で
２次方程式を 起してくると
係数比較から
α＋β＝-4a
αβ＝-4
これで
さっき 置いといたのを 持ってきて
展開するでしょ
αβ＝-4 を 代入して
今度は
α＋β と αβを 使って
α＋βは 文字aを 含んでいるので
aの入った 不等式が 出て来て
ソレゾレ
各因数＝０の値を
分母を 有理化して
有理化 （ １を 掛けても 値は 変わらない）
数直線を利用して
こんな感じですか
次はね
グラフが
図で示されていて
３次関数の 係数 a,b,c,d,の各符号を
調べなさい
まず 形状から
ｘの ３次の 係数は 正
だから
a＞０
このグラフは
極値が 二つある
ｘ座標で考えて
ソレゾレ α 、 β 、 とすれば
α＞０、 β＞０、
で
３次関数の 一回微分の２次関数を
＝０と 置いたものは
二つの 極値を持つのだから
係数比較で
先頭の 係数を 揃えて
諸条件から
a>0, b<0, C>0,
で
dは
ｘ＝０ f(x)に代入したらさ
dは ｙ 切片なんだね
d＞０
a>0 b<0 C>0 d>0
お疲れ様です。
（ 晴れ部屋へ 家庭菜園と５Ｆ ４Ｆ ３Ｆ ２Ｆ 1 Fざっかや
メニュウ ページ リターン ）
posted by moriamelihu at 02:33| 大人のさび落とし
2018年10月12日
23030 大人のさび落とし 極値と係数の決定。
雨の日の スローライフの部屋
極値と係数の決定
穴埋め問題です
ユンボで 穴を 掘るのが
工作員
穴で 仕事を しながら
カブトムシを 見て喜ぶのが
作業員
だれ？のこといってるんだ！
わたしだ。
仕事そっちのけで
植木鉢に 幼虫入れてですね
あれは なんねんまえだ？
もう あれ
８ 年くらい 前かな？
話を 元に戻して
f(x)が ｘ＝ αで
極値 β を持つ
ならば
f’(α）＝０ 、ｆ(α)＝β
四角の ア、イ、ウ、を a、ｂ、ｃ
とおいて
与式を 一回びぶん
極値を とる ｘ の 値を 代入すれば
ｆ’（ｘ） ＝０ なのだから
ｆ’（－１）＝０
ｆ（－１）＝ の時極大値7
それと
ｆ’（３） も 極小値だから
一回微分の ｘ＝３ を 代入したとこは
０
関係式が
３本
a＝3
ｂ＝9
ｃ＝2
出てきた
a、ｂ、ｃを 代入して
x＝３の時 極値だから
ｆ’（３）＝０
なるなー
これだけだと
必要条件だけで
前後の 傾きが 異なってる
を 確認しないと 十分では
ないのだけれど
省いてしまいました
で 穴埋めの エは
ｆ（３）だから -25
次には
3次関数が あってですね
極大値 極小値が
12、-4 になる様に
係数を 決定しなさい
文字を含んだまま
傾きを調べるように
一回微分
これが ＝０ の時
極値に なる 可能性があるのだから
＝０になる ｘを 調べると
与式が 3次関数なので
3次の係数が プラスならば
極大値 極小値の 順に 左から
出てくるから
さらに
aは 実数でないと 都合悪いので
a>0
極大値 極小値 を 計算するでしょ
これが 12 と -4 なのだから
ｂ＝4
指数の 公式を いじって
a＝4
a=4 ｂ=4
類題ですが
ポイントは なんだろ
行ってみましょう
ｘ＝１ 出極値 10なのだから
しかし
極大か 極小か は 書いてない
そこで
ｆ’（1）＝０
ｆ（１）＝10
関係式が 2つでて来て
➀ 式から bを aで表して
②に 代入したら
aは 4 または -3
それぞれの ｂの値を 求めて
二組
a＝4、ｂ＝-11
a=-3、ｂ＝3
A パターン
B パターン
ｘ＝1 で 極値10
はたして
Aパターンでは
x＝1の時
必要時要件ｆ’（１）＝０
前後の 傾きを 調べると
めでたく
ｘ＝１で 極小値
極値だと
ｆ（１）＝１０なので
Aパターンは OK
Bパターンの時
はたして
ｘ＝１で
ｆ’（１）＝０ の必要条件を 満たすか
見てみますと
必要条件は OK
前後の傾きを
調べたところ
+ ０ +
ナタメ
極値ではない
なので
ｘ＝１で 極値10を持つのは
a＝4 ｂ＝－11の時
ｘ＝１ で 極小値10を持つ
次の 二つの関数が
ア、 イ、の 二つの条件を
満たすように
a、ｂ、c、を 定めよ
ｆ（ｘ）
ｇ（ｘ）
と置けばですね
同じ ｘの値で
共に 極大値を取る
二つの関数
ｆ（ｘ）
ｇ（ｘ）
ｆ（ｘ） の方は 2次関数
ｇ（ｘ） の方は 3次関数
ということは
ｆ（ｘ） 、 2次関数で
極大があるならば
a<0
上に 凸で 下に 開いてる
標準形に直せば
頂点の座標と 頂点の値が 求まる
で
ここから
二つとも 同じｘの値で
共に 極大値だから
この 二次関数の頂点のｘ座標を
ｇ（ｘ）： 3関数の 一回微分に
代入すれば
極大に なってるはずだら
ｇ’（ｘ）＝０
ｂ＝０
ｇ（ｘ）は ｘ＝２で
極小値 0 を とるから
ｇ’（２）＝０
ｇ（２）＝０
a＝-3
ｃ＝4
元の 式に a,b,c,を 代入して
ｆ（ｘ）
ｇ（ｘ）
ここからは 検算で
ｆ（ｘ）は ｘ＝０で 極大値を持ち
ｇ（ｘ） は ｘ＝０で
ｘ＝０で 極大値
ｘ＝２で 極小値
ｘ＝２の ときの 極小値は 0
なので
これでいいのだ。
楽しみにしていてくださる
小数ファンの皆様
感謝したします
しかし
しかし
しかし
答えは のってるけど
途中は 全部でないため
解けなくて
困る 夜もあるため
ご了承ください。
ではでは。
（ 晴れ部屋へ 家庭菜園と５Ｆ ４Ｆ ３Ｆ ２Ｆ 1 Fざっかや
メニュウ ページ リターン ）
posted by moriamelihu at 17:56| 大人のさび落とし
2018年10月03日
23029 関数の増減と極値 （２） 2/2 大人のさび落とし
雨の日の スローライフの部屋
関数の増減と極値 （２）残り分
グラフを 書けなんですが
絶対値が入ってますため
場合分け
０以上の時から
絶対値が
０以上の時は
そのまま外れるから
傾きを 見るため さらに 一回微分して
因数分解で
傾きが ０のところ
絶対値を 外したときに
制限域ができるので
範囲内のものを
選択して
増減表を 作ってきますと
1/3のとこが 極値になると
それと
絶対値の かど のところ
極小値は
-5/27
絶対値 ０以上の時の
増減は こんなだから
グラフは
半分は こんなで
絶対値を
０ 未満で 外すときは
ｆ’（ｘ） が ＝０ になるとこを
見て
０ 未満の 制限域のものを
選択して
表の 間の 傾きを 調べるでしょ
-1の時 極小値
グラフを 書きやすくするため
ポイントの ｆ（ｘ） を 調べて
これをさ
表に 書き込んで
グラフは こんなですか
合成すると
極小値が 二つ
極大値が １つ
グラフを かけだから
ここまででいいのだけれど
次は ４次関数
絶対値を ０以上で外すとき
右側 ｘの制限域は 不等式を
解いて
こんなですか
ｆ’（ｘ）から 傾きを見るべく
ｆ（ｘ）を 一回微分
ｘの 制限域内の ｆ’（ｘ）＝０を 選択し
傾きを 調べて
表を 完成させていくと
ｆ’（ｘ）＝０ のとこは
絶対値の かど でもあるのだけれど
コレダと 分からない
そこで
今度は
絶対値を マイナスで外すとき
制限域を 調べ
その範囲内で
丁度 さっきの 絶対値を ０以上で外すときの
欠けてる部分
表にしてくでしょ
傾きを
適当なものを 代入して
（ 不適当 ： ふさわしくない）
（ 適当 ： これでいけるよ ）
ねー
表にしたら
極小値はある
絶対値の かど の値を 調べて
表にして じゃナイスカ
ちょっと整理して
グラフは
こんなですよ
この 絶対値の 角は 極値じゃない
なんで こんなことをいうかと言うと
次の 問題を 解いてった時に
ちと 困ることが発生し
行ってみましょう
絶対値を
場合分けで 外すでしょ
０以上の時の
関数の 傾きを調べて
増減表
ポイントになる ｆ（ｘ） の値を調べて
こんなですか
０未満の時も
関数の傾きを 調べて
増減表
傾きを 調べるでしょ
雰囲気が
見えてきたので
ポイントの ｆ（ｘ） を 調べて
これで いいと思ってると
んん？？？？
ちょっと違うんだね
ｘ＝０ は 接しているため
片方は ｆ’（ｘ）＝０
もう一方は 絶対値の 角
一見 極値では ないけれど
一個は 極値なんだって
接しているとき （ ｘの 二乗）
次は
まず ｆ（ｘ） を 求めて
それから
絶対値 ｆ（ｘ） のグラフを かけ
ax+b
ax+c
ここが できれば 半分できた
わたしは ヒントを 見ましたが
➀ ② が 等しいから
左辺に 集めて ＝０
これが 恒に 成り立つように するには
恒等式
a,b,c,を 求めてきますと
この辺は 数１ですが
最近 ご無沙汰しています
a,b,c,
出たとこで
代入して
ｆ（ｘ） を 求めると
どちらも
同じに なったとこで
このグラフの 絶対値付を 書けなので
ここから いつものように
場合分け
０以上の時の 制限域と
関数
一回微分して
増減表
表を
傾きから
穴埋めしてくでしょ
計算ちゅう
雰囲気が 見えたから
ポイントの ｆ（ｘ）の値を調べて
０未満の時も
不等式の 解き方は
いつも 数直線を 使ってます
この方が 分かりやすいから
０未満の 制限域
関数
一回微分
ぞうげんひょうに
穴埋めして
傾きから
雰囲気が 見えて来て
ポイントの ｆ（ｘ） を 調べて
増減表
合成したら
こんなですか
フリーハンド だ からさ
スミマセン
対称に なってるんだけど
お疲れ様です。
（ 晴れ部屋へ 家庭菜園と５Ｆ ４Ｆ ３Ｆ ２Ｆ 1 Fざっかや
メニュウ ページ リターン ）
posted by moriamelihu at 07:43| 大人のさび落とし
2018年10月01日
23028 関数の増減と極値（２） 1/2
雨の日の スローライフの部屋
ご無沙汰しております
さび落とし
微分の 辺に いるのですが
絶対値 が出てきたため
めんどうだから
そうしたら
忘れてた
ちょっとスミマセン
とか
あ
台風だ とかで
なものですから
ちょっとしかやってない
絶対値のついた ３次関数の グラフがあるんだって
概形を 書いて
という問題で
絶対値の ついてるときは
絶対値の 場合分けの 境目が あるんだけど
そこが 角に 成ったりするため
注意が 必要で
絶対値の 場合分けは
こんなでしたよ
グラフを
分割 するでしょ
それで
絶対の値が ０ になるとこも 見ておいて
絶対値を
０以上で 外すとき
範囲は -1 以下と １以上
このグラフを
一回微分して
傾きの 変化を 見るでしょ
ところで
ｘに 制限域が あるから
０ の時は
不適
増減表を 作ると
傾きを ｆ’（ｘ） に ｘを 代入して
調べて
+
+
-
-
+
まとめて
表にしてですよ
グラフに するには
傾きだけでは
ダメで
ｙの あたい ｆ（ｘ） も 求めると
ポイントを 抑えて
こんなですか
これさ
ｘ軸との 交点 出せますか
因数分解 できないときは
コンピュータの 数値 解析とかで
区切りを 細かく細かく していって
誤差が これ以下に 成ったら ストップとか
絶対値を
マイナスで 外すときは
今度は
-2が 範囲外だから
不適で
表にして
一回 微分に 数値を
（ 間の ）
代入して
傾きを 調べて
あ 極値が でてきた
ｆ（ｘ） の値を 調べて
グラフに するでしょ
絶対値を
０以上 と ０ 未満で
分けたものを
合成すると
こんな感じで
ｆ’（ｘ）＝０が あるとき
ｆ’（ｘ）＝０が ないとき
極値は
これが 条件
お疲れ様です
話は 全然違うんですが
自分は 絶対正しい
そういう自信は
悪くは ないけれど
自分が 罪人 だと
分かっていないと
よろしくないらしく
人を できるだけ 赦しましょう
罪を 犯していいというのではないですが
わたしは 人生の中で
間違ってるときに
今までは
多くの先輩に
恥を かかないように
かばっていてもらいましたが
今度は
後から 来るものを
みまもる ポジションに なってしまい
今の時代は
むかしより たいへんだね
まだまだ
ひとから かばってもらう方が おおいです
かっこよくなりたいですが・・・・
（ 晴れ部屋へ 家庭菜園と５Ｆ ４Ｆ ３Ｆ ２Ｆ 1 Fざっかや
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posted by moriamelihu at 10:15| 大人のさび落とし
2018年09月18日
23027 大人のさび落とし 関数の増減と極値（１）
雨の日の スローライフの部屋
関数の増減と極値に関しまして
グラフを 書きなさい
の問題なのですが
２次関数以上の場合は
極大値 極小値が
存在する場合があり
極値では
傾きが 0 になるので
その値と
その前後の 傾きから
極値を 見極めていくとですが
ｙ’＝ で 一回微分を
求めると
これが 変化率 傾きになってるので
ｙ’＝０になる点を しらべて
その前後の
符号が 異なっていたら
極値
下に 開いていて 上に 凸なら 極大
上に 開いていて 下に 凸なら 極小
関数が 連続でなくても
折れ線であったり
の 角は 極値
傾き ０ の 前後で
傾きの 符号が 同じならば
+0+ -0-
極値は 存在しない
それを 踏まえまして
なぜか
計算する前に
増減表がありますが
表に
傾きを 書き込んで
グラフの 概形を 探ろうと言う
ものです
もとの 関数は
因数分解できるので
かっこ 二乗は
ｘ軸に 接している
これで
x軸との 交点 接点 が ここら辺と
今度は
一回微分して
傾きの 変化率
今回は ３次関数なので
大体の 形状は 原点を とおって
半分 無意識に やってますが
増減表を作って
傾き0になる前後の 符号を
ｙ’の 符号を 調べると
具体的に 数値を
適当なものを
入れればですよ
日本語
不適とう 好ましくないこと
ぜんぜん 良く無い
適当 好ましいこと
これでいけますよ
0と1の間の 傾きは +
１と 3の あいだ 例えば 2
傾きは -
3より上 4のときは
傾き +
増減表が できてきて
山 と 谷
山が 極大
谷が 極小
その時の ｘを 元の関数に
代入したら
ｙ座標が 極大値 極小値
出て来て
元の関数より
x軸との 接点 交点
一回微分から
増減表を 使って
極大 極小
グラフは
こうですか
同様に
次の関数の グラフを書け
ｘ軸との 交点は
一つで
後は
虚数になってしまうので
ｘ＝0 ｙ＝0を 通り
傾きを 求めるべく
一回微分で
傾きが ０ になるとこは
あれれ
虚数に なってしまうので
これはですね
一回微分
つねに 正の値になるので
単調増加
3次関数の
概形は 知られていて
こんなで
ｘ＝０の ｙ’＝1になるので
原点で
ｙ＝ｘと接している
次の関数の 極値を調べ グラフを書け
一回微分して
増減表を 作成しますと
ｘの値を
適当なものを
代入すると
マイナス
プラス
プラス
プラス
マイナス
増減表から
極小値
極大値があり
概形は こんなですか
極値を 計算すると
x＝－3の時
極小値
-22
x＝1の時
極大値で
極大値10
原点は ５を 通り
これで良いカナ
余談ですが
（将棋が大好きな H ？ F? ）
先輩
さいきん この ジョークが
使えなくなってしまって
こんな 話題もありますが
BASIC
コンピュータで
プログラムを
組んだ方が
グラフだけなら いろいろ早い
この プログラムは
動かないと思いますが
区間を
圧倒的に
細かくしていけば
コンピュータは 計算が早いので
AI テレビでも
さいきん いろいろ 言われだしました
それ以外にも
危険が いっぱい
世界中に 危険の導火線が
張り巡らされていく
世のなかには
2種類の 人種がいる
バイクに 乗る人と 乗らない人だ
有名な 格言 一歩前ですが
いや
格言 一歩後カナ
話を 戻して
次の関数の 極値を 求め
グラフを書け
一回微分の傾き が
0になんないので
平方完成をやってみるじゃナイスカね
こんな感じで
はめ込んでくと
実数の範囲で
かっこ 二乗は 常に0以上
さらに
ぷらす 0より おおきいのがあるから
ｙ’は 常に正
この常に正は
y'は 傾きだから
つねに 右上がり
こんな感じで
今度は
4次関数
傾きを
求めるべく
一回微分するでしょ
うんまく 因数分解できて
傾きが ｙ’が ゼるになるのは
-1、0、2、
増減表を作って
極値を 判定してくと
敵となものを
代入するでしょ
傾きが
-
+
-
+
出て来て
極大が 一つに 極小が ２つ
極小値から
比較してくと
もう一つは
これ
こっちの方が 小さい
ちなみに
x＝0の時は
原点
指数の 計算は
たまに ドリルした方がいいらしい
こんな感じで
またも 類題
まず
傾きを 調べるべく
一回微分して
因数分解して
増減表を
作成して
+
-
-
+
ｘ＝０ の時は
前後の傾きが
同じなので
下がって 下がって
なので
極値でない
極大値をつるときの ｘ＝－１ を
元の関数に代入すると
その時の 極大値は 3
ｘ＝０ は 極値でなく
x＝1の時は
極小になり
極小値 -1
こんなかんじですか
指数計算の 復習
時々 忘れると 悩みなます
これを 踏まえて
問題
指数の 掛け算の 式変形で
ｍ と ｎ を 入れ替えても
同じだから
与式が こんな感じになって
関数ｆ（ｙ）＝ として
一回微分
ｆ’（ｙ）＝
で傾きを 調べると
因数分解できるから
こんな感じになって
増減表
こんな感じで
極大 極小があって
極大値 5
極大値 ５ になる ｙは ｙ＝１
ここから
ｘを求めると
ロガリズムを使って
いまだに
ここは
公式を 書いてから
ゆっくり
パズルをしています
極大値の ｘ＝0
ｙ＝３の時
極小値 1になり
ｙ＝３から
xを 求めると
ｘ＝LOG 10 ３
お疲れ様です。
（ 晴れ部屋へ 家庭菜園と５Ｆ ４Ｆ ３Ｆ ２Ｆ 1 Fざっかや
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posted by moriamelihu at 19:32| 大人のさび落とし
2018年09月03日
2B7013 大人のさび落とし 和を積に （２）三角関数
雨の日の スローライフの部屋
三角関数のとこで
和を積の形に （２）
まずですね
久しぶりで 公式を 忘れてるため
少しだけ掘ってきて
和を 積に する公式でしょ
平方 式と
倍角
負角 余角 補角の 変換表
これくらいあれば
で
問題ですが
A+B+C＝ πの時
次の 等式を 証明せよ
左辺は cos
和の形
右辺は sin
積の形
cos cosの足算は cosになって
しまうんだね
そこで
cosCを 倍角の公式から
sinを 作って
2乗が ついてるけど そのまま
A+B+C＝ πの時の 条件式を 使って
式変形から
両辺 cosを とると
余角の 公式で
cosの余角は sinになる
ナタメ
一つ 式が出て来て
代入じゃナイスカね
で
2乗を書き換えて
赤まるで くくるでしょ
かっこ内を ひく２ シン シン
すると
クローズアップして
負角で 修正して
元の式に 代入して 整理したら
右辺
証明終わり
類題
左辺が sin
右辺が cos
シンたすシンは２シンのコ
左辺を 順次 式変形して
sin Cを 倍角の公式から
式変形して
条件式からの 変形を 両辺 sin
を とると
余角の 変換で
cosが出てくる
あかまるで くくるでしょ
さっきは
条件式からの 変形に
sinを とったんだけど
今度は 変形式に
両辺 cosを とると
余角の変換から
sinが出て来て
代入したら
かっこ内が
和の形で
計算できるので
整理したら
右辺
証明終わり
類題
今度は
cos
から cos
2乗があるから
半角の公式で
左辺 初めの ２項を
変形して
整理して
cosの和を積に
条件式から
cos（A+B）を -cos C
(A+B) （A-B) を 消したいのだから
-cos Cでくくって
（ 内部を ） 和を積に すると
うまくできていて
負角で 修正して
整理したら
右辺
証明終わり
次はさ
かなり 苦しみましたが
右辺の 方が 複雑だから
右辺＝で
始めの ２項は
半角の公式で
ひだりから
整理してくでしょ
和の形を 積に
条件式を 使って
補角の 変換で
（B+C)を Aに
ここがさ
忘れてんだけど
加法定理って あったじゃナイスカね
赤いとこを
加法定理で
展開して
cos Aでくくって 整理すると
こんなでしょ
条件式の 変化を 使って
ここに
平方公式の cos２乗を入れたら
＝ うへん
証明終わり
次は
値を 求めなさいですが
方程式に なってるんですね
倍角の公式
から
を 使って
うまく 式変形してくと
共通項が 出て来そうで
cos ２θ で くくるでしょ
方程式を 解くので
因数分解の それぞれの 因数が ＝０
cos ２θ ＝ ０の時
Θの範囲があるので
範囲内で 修正して
０からパイで cosが =０は ９０度
なので
シータは π/4
計算すると
0.707
後ろ側の 式が ＝０の時
T とでも置いて
二次関数の 解の公式から
範囲内の コサインは
正なので
正に なる方の 解から 計算して
0.309
お疲れ様です
（ 晴れ部屋へ 家庭菜園と５Ｆ ４Ｆ ３Ｆ ２Ｆ 1 Fざっかや
メニュウ ページ リターン ）
posted by moriamelihu at 01:02| 大人のさび落とし
https://fanblogs.jp/moriamelihu/archive/52/0