スローライフの部屋　数学２＆花と野菜

雨の日の　スローライフの部屋


不定積分　＆　積分定数と関数の決定。

最近　やってなかったのを

久々に　やったために

恐ろしく　錆びていました


どーしよう。

やるっきゃない！

いきなり？


ムリムリ


兎に角

行ってみましょう。


不定積分せよ







だから　いきなりはさ

で　ですよ

原始関数を　F(x)　としたら

一回微分したものを　ｆ（ｘ）

とすると

F'(x)　＝　ｆ（ｘ）

これの　逆演算を　積分と言い

原始関数を　求めるのを

不定積分と言うのですよ









ところで

次のようなものを

微分したら

定数項が　消えるでしょ






F'(x)=f(x)　しか　分かってないときは

積分すると

ゼロから　定数を　起してくるので

可能性が　無限に　あるわけで


その　消えてしまった　定数を

C　で　補って

Cは　積分定数　を　明記する。









にょろにょろ　の読み方は

インテグラル


ムーミンに　出てくのは　　

ニョロニョロ　だ〜からさ

わ〜かるよ　ね


公式はさ






こんな感じで

で

問題に　戻って


今度こそ

行ってみましょう。










頭の　中で　やってしまうと

ケアレスミスが

多くなるので

できるだけ　手を　動かして







計算用紙は　大切だ







公式が　分かってるときは

簡単に出るのだけれど






公式を　忘れてしまったときは

中身を　展開して

積分








計算してくでしょ






積分定数は

最後に　


まとめて

Cにして








そうしたらさ

一目で

あってるか　どうか

わかんないから

検算するじゃナイスカ


微分でしょ







こっちの　方は

公式で

簡単に　確認が　取れました

オオケイ








展開した方も

微分してって


で

これを　因数分解した

かっこ　の形に　したいのですが

（　）　の　３乗だからさ






組立除法で


３　回

繰り返して

割り切れた　ので

オオケイ







計算練習は　大切で







ｔ　について　積分するときも

同じです









ね

公式を使う　やり方






検算　で　オオケイ





展開　したときも






検算してみますと




文字が　入ってても





組立除法で

３　回繰り返して

割り切れてるから

かっこ　３乗　で　割り切れて

ね


オオケイ








これは　どないだ

こないだじゃなくて

さっき　公式見たばかりだか〜らさ

なかった

これはさ

展開して







これでいいのだ






これはさ

さっき見た　公式の　逆をやって

少しでも

計算を　楽にして






ね

かなり　簡単なところからの　

スタートでしょ









これはさ

展開して

考えるけど


ｙについて　積分ののだから

ｘ　は　定数扱い








こんな感じで






次は

積分定数C　と言うのが　あったですが

これって　何になるんだ

な時


条件が与えられてると

積分定数が　特定できてですよ


微分が　出てるので

積分すると　積分定数付きで

原始関数






で

この原始関数が　ｘの値が　１の時　１

だというので

ｘ＝１　を　代入して

それが　＝１　になるので





積分定数が　特定できて

原始関数が

求まったと







微分するのを

難しく　書くと　こんな感じで








平易に　書き換えて

冷静さを　取り戻し






考えてみるに

こんな感じですか







不定積分したら

こんなになったから


ここに






条件を　代入したら

ｃ１






ｃ２　が　もとまって


ん






ｆ（ｘ）　、　ｇ（ｘ）　

を　求めよだから







�A式を　因数分解して

整数解の時みたいに




検算して

条件を　満たしてるか

確認をしたところ






こんな感じで



次は

積分の　問題を

誤って　微分してしまいました


正しい答えは　何か





ゲンゴロウを　捕まえに行って

誤って　

ガムシ　を　捕まえてしまいました

ほんものの　ゲンゴロウは

どんなものか　みたいな

まず　スタートライに


誤った答えを　積分して



不定積分で　積分定数Cが付いて

で

ｆ（０）＝１　なのだから


これを　入れれば

元の　関数が　見えてくる









で

今度こそ

不定積分で




こんな感じに



次は　ｘの関数　u,v,

を　求めなさいなんですが

条件は　これだって








平易な　書き方にして

別に　分かってれば

そのまま　行っていただいて

一向に　かまいませんが






整理して



積分の計算




２つ　あるから

もう一個　計算





また　ちょっと　整理して


条件から

積分定数を

求めるでしょ








２本とも

積分定数を　求めて






ここからは

�Eの式を　使って

整数解の　ときみたいに






ところがさ

ｘの3次だから

ぱっと　見て　分かればいいけど

因数定理で

（ｘ−１）　を　因数に　持つから






組立除法で






こんな組み合わせに

なったけど

条件を　満たしてるか　チェックすると








こんな感じですか

で

次はですね

ｆ（ｘ）　は　ｘの　関数で

5次式だって


ｘ−１の　括弧3乗で　割ると

３　余り


ｘ+1の　括弧3乗で　割ると　

余りが-1　になる










ｆ（ｘ）を

割ると　商がたって　余りも　出たと


➀　、�A　、





これを

微分するじゃナイスカ

�B、�C、







これがさ



次の　もので

割り切れることを　示せ

ばいいのだから



じっさいに　割ってみれば






計算して

割ると

中かっこで

掛け算の形








割り切れるってことだよ

もう一つの方も








割り切れる







ｆ（ｘ）　を　求めるに

ちょっと待ってください

元の式は

ｘの5次式

一回微分したら　ｘの4次式になる








ということは

これは　

いったい何？


この　中かっこの　中身は

定数でないと　まずい

だから

これを　｛　　｝＝　aと置いちゃう







だから

ｆ’（ｘ）　は　こんな形


積分ですよ







シャ　、　シャ、

しゃ、　しゃ、


で






ふんっ







で


元の　f（x）を　括弧の3乗で

割った時に　　余りが　でるのが

2つ　

あったじゃナイスカ

それを　てがかりに








ｆ（１）＝3、　ｆ（-1）＝-1

を　ｆ（ｘ）　に代入したら








わかんない　文字が　2つだけど

関係式が　２つ　出てくる






ね





だからさ


ｃ＝１







a＝15/4






ここだ






めでたしめでたし




かなり　錆びていたため

苦労いたしました。


お疲れ様です。













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