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2018年12月05日

24001 大人のさび落とし 不定積分 & 積分定数と関数の決定。




雨の日の スローライフの部屋


不定積分 & 積分定数と関数の決定。

最近 やってなかったのを

久々に やったために

恐ろしく 錆びていました


どーしよう。

やるっきゃない!

いきなり?


ムリムリ


兎に角

行ってみましょう。


不定積分せよ




HPNX0001.JPG


だから いきなりはさ

で ですよ

原始関数を F(x) としたら

一回微分したものを f(x)

とすると

F'(x) = f(x)

これの 逆演算を 積分と言い

原始関数を 求めるのを

不定積分と言うのですよ




HPNX0002.JPG




ところで

次のようなものを

微分したら

定数項が 消えるでしょ

HPNX0003.JPG




F'(x)=f(x) しか 分かってないときは

積分すると

ゼロから 定数を 起してくるので

可能性が 無限に あるわけで


その 消えてしまった 定数を

C で 補って

Cは 積分定数 を 明記する。




HPNX0004.JPG




にょろにょろ の読み方は

インテグラル


ムーミンに 出てくのは  

ニョロニョロ だ〜からさ

わ〜かるよ ね


公式はさ


HPNX0001 (1).JPG



こんな感じで



問題に 戻って


今度こそ

行ってみましょう。






HPNX0006.JPG



頭の 中で やってしまうと

ケアレスミスが

多くなるので

できるだけ 手を 動かして


HPNX0007.JPG




計算用紙は 大切だ


HPNX0008.JPG




公式が 分かってるときは

簡単に出るのだけれど


HPNX0009.JPG



公式を 忘れてしまったときは

中身を 展開して

積分




HPNX0010.JPG



計算してくでしょ



HPNX0011.JPG


積分定数は

最後に 


まとめて

Cにして




HPNX0012.JPG



そうしたらさ

一目で

あってるか どうか

わかんないから

検算するじゃナイスカ


微分でしょ


HPNX0013.JPG




こっちの 方は

公式で

簡単に 確認が 取れました

オオケイ




HPNX0014.JPG



展開した方も

微分してって




これを 因数分解した

かっこ の形に したいのですが

( ) の 3乗だからさ



HPNX0015.JPG


組立除法で


3 回

繰り返して

割り切れた ので

オオケイ




HPNX0016.JPG


計算練習は 大切で



HPNX0017.JPG



t について 積分するときも

同じです



HPNX0018.JPG







公式を使う やり方


HPNX0019.JPG



検算 で オオケイ


HPNX0020.JPG


展開 したときも


HPNX0021.JPG



検算してみますと
HPNX0022.JPG



文字が 入ってても

HPNX0023.JPG



組立除法で

3 回繰り返して

割り切れてるから

かっこ 3乗 で 割り切れて




オオケイ



HPNX0024.JPG




これは どないだ

こないだじゃなくて

さっき 公式見たばかりだか〜らさ

なかった

これはさ

展開して


HPNX0025.JPG




これでいいのだ

HPNX0026.JPG




これはさ

さっき見た 公式の 逆をやって

少しでも

計算を 楽にして


HPNX0027.JPG





かなり 簡単なところからの 

スタートでしょ





HPNX0028.JPG



これはさ

展開して

考えるけど


yについて 積分ののだから

x は 定数扱い




HPNX0029.JPG



こんな感じで


HPNX0030.JPG



次は

積分定数C と言うのが あったですが

これって 何になるんだ

な時


条件が与えられてると

積分定数が 特定できてですよ


微分が 出てるので

積分すると 積分定数付きで

原始関数


HPNX0031.JPG





この原始関数が xの値が 1の時 1

だというので

x=1 を 代入して

それが =1 になるので

HPNX0032.JPG



積分定数が 特定できて

原始関数が

求まったと



HPNX0033.JPG



微分するのを

難しく 書くと こんな感じで




HPNX0034.JPG



平易に 書き換えて

冷静さを 取り戻し


HPNX0035.JPG



考えてみるに

こんな感じですか



HPNX0036.JPG



不定積分したら

こんなになったから


ここに


HPNX0037.JPG



条件を 代入したら

c1


HPNX0038.JPG



c2 が もとまって





HPNX0039.JPG



f(x) 、 g(x) 

を 求めよだから



HPNX0040.JPG



A式を 因数分解して

整数解の時みたいに
HPNX0041.JPG



検算して

条件を 満たしてるか

確認をしたところ


HPNX0042.JPG



こんな感じで



次は

積分の 問題を

誤って 微分してしまいました


正しい答えは 何か


HPNX0043.JPG


ゲンゴロウを 捕まえに行って

誤って 

ガムシ を 捕まえてしまいました

ほんものの ゲンゴロウは

どんなものか みたいな

まず スタートライに


誤った答えを 積分して
HPNX0044.JPG


不定積分で 積分定数Cが付いて



f(0)=1 なのだから


これを 入れれば

元の 関数が 見えてくる





HPNX0045.JPG





今度こそ

不定積分で

HPNX0046.JPG


こんな感じに



次は xの関数 u,v,

を 求めなさいなんですが

条件は これだって



HPNX0047.JPG




平易な 書き方にして

別に 分かってれば

そのまま 行っていただいて

一向に かまいませんが


HPNX0048.JPG



整理して
HPNX0049.JPG


積分の計算




2つ あるから

もう一個 計算


HPNX0050.JPG


また ちょっと 整理して


条件から

積分定数を

求めるでしょ




HPNX0051.JPG



2本とも

積分定数を 求めて



HPNX0052.JPG


ここからは

Eの式を 使って

整数解の ときみたいに


HPNX0053.JPG



ところがさ

xの3次だから

ぱっと 見て 分かればいいけど

因数定理で

(x−1) を 因数に 持つから


HPNX0054.JPG



組立除法で



HPNX0055.JPG


こんな組み合わせに

なったけど

条件を 満たしてるか チェックすると




HPNX0056.JPG



こんな感じですか



次はですね

f(x) は xの 関数で

5次式だって


x−1の 括弧3乗で 割ると

3 余り


x+1の 括弧3乗で 割ると 

余りが-1 になる







HPNX0057.JPG


f(x)を

割ると 商がたって 余りも 出たと


➀ 、A 、


HPNX0058.JPG


これを

微分するじゃナイスカ

B、C、



HPNX0059.JPG



これがさ



次の もので

割り切れることを 示せ

ばいいのだから



じっさいに 割ってみれば



HPNX0060.JPG


計算して

割ると

中かっこで

掛け算の形




HPNX0061.JPG



割り切れるってことだよ

もう一つの方も



HPNX0062.JPG




割り切れる


HPNX0063.JPG




f(x) を 求めるに

ちょっと待ってください

元の式は

xの5次式

一回微分したら xの4次式になる




HPNX0064.JPG



ということは

これは 

いったい何?


この 中かっこの 中身は

定数でないと まずい

だから

これを {  }= aと置いちゃう


HPNX0065.JPG




だから

f’(x) は こんな形


積分ですよ


HPNX0066.JPG




シャ 、 シャ、

しゃ、 しゃ、





HPNX0067.JPG



ふんっ



HPNX0068.JPG






元の f(x)を 括弧の3乗で

割った時に  余りが でるのが

2つ 

あったじゃナイスカ

それを てがかりに



HPNX0069.JPG




f(1)=3、 f(-1)=-1

を f(x) に代入したら



HPNX0070.JPG




わかんない 文字が 2つだけど

関係式が 2つ 出てくる


HPNX0071.JPG






HPNX0072.JPG


だからさ


c=1



HPNX0073.JPG



a=15/4


HPNX0074.JPG



ここだ


HPNX0075.JPG



めでたしめでたし


HPNX0076.JPG

かなり 錆びていたため

苦労いたしました。


お疲れ様です。













( 晴れ部屋へ 家庭菜園5F 4F 3F 2F 1 Fざっかや

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