スローライフの部屋　数学２＆花と野菜

雨の日の　スローライフの部屋


四次関数が

極値を　持つ条件


は　という問題で


ｆ（ｘ）　が　

極大値を　持たないときは


極大値を　持つときは







こんな問題の出方をしていて


四次関数の　性質で

ｆ’（ｘ）　＝０　を

調べる時

正確には　極値と言うには　増減表を書いて

ｆ’（ｘ）＝０　の　前後の　傾きが

異なっていることを
　
確認しないといけないですが


経験的に


ｆ’（ｘ）　＝０
の　解が

４乗の係数が　正の時

異なる　３実解の時　→　ｆ（X)は　１つの極大値と

　　　　　　　　　　　　　　二つの　極小値

重解　または　虚解の時　→　１つの　極小値のみ






形にすれば　w字型　か　U字形








ｘの４次の係数が　負ならば

逆w字形　逆U字形








そこで

問題の　関数ｆ（ｘ）の　傾きを　見るべく

一回微分

ｆ’（ｘ）＝０　になるとこが　極値に　なる可能性





かっこ　１の　問題は

極大値を　持たないとき



極大値を　持たないときは　

４次の係数が　正の時は

ただ一つの　極小値のみ









ｆ’（ｘ）＝０　になるとこは

ｘ＝０　と　括弧の２次式が　＝０のところ


ｘ＝０　が　極小値かなと　めぼしをつけ


二次式が　極値を持たないためには

判別式＝＜０





９−４a=<0

の時　極値を　持たない





だから

a＞＝9/4

の時

かっこの　２次式が　極値を　持たないから





ｘ二乗-３ｘのとこを

値が　変わらないように　式変形して


中かっこでくくって

そこに　aが9/4以上だったら


実数の二乗は　０以上

後ろの　aのところも　０以上


常に　０以上






増減表に　具体的に　数値を代入して

a＝＞9/4　の時

極大値を　持たない






ほんとは　これでは　不十分ですが

かっこ２の

極大値を持つときを　考えると


今の逆だから

判別式D>0　の時

極大値一つと　二つの　極小値を　持つはず






aの範囲は　a＜9/4


後ろの　括弧の　２次関数が　極値を持つので

（　異なる　２実解　）


4x　と合わせて　３つの　異なる実解を持つ






こんなことしなくても　いいかもしれませぬが





さらに　a＜０の時

αと　β　に　当たるとこの

おおよその　位置を　調べると





α　＜　β　とすれば

αは　ゼロより小さく

βは　３よりおおきいので


α　＜　０　＜　β

これで






増減表を　作ると

ｘ＝０　のとこが　極大になる

つまり　極大値を　持つ




さっきの　極大値を持たないときは

一つの　極小値のみ　に　なる







a＜9/4で　　a＞０　の時は

α　、　β　、　の　大まかな　位置を　調べると




βは　難しい位置に　いるのかな







今度は　x＝αで　極大値





でa＝０　のとこも　調べれば

いいんですが


調べてみると

ここに


極大値を　持たない　aが　潜んでいたため






かっこ　１

かっこ　２　

答えは　こんな感じで







次は

極大値を　持つとき


点の　存在範囲を　調べよと







極大値を　持つんだから

ｆ’（ｘ）＝０が　３っの　異なる実数解を持つ

f’(x)＝０は　ｘ＝０と　後ろの　２次式の解　α　と　β






解の　一つは　０　

０　と　α　と　β　は　異なる

a、ｂ、のはいた　２次式の　判別式が　D>0⇒

異なる　２実数解

なのだから



式変形したら

aと　ｂの　関係は　こんなでした

これは

aと　bが　この式を　満たす組み合わせ⇒　ok

で

ｘ＝０　の　点　以外の場所





次はさ

難しそうなんだけど

やってみますと


ｘ＝０　で　極大値　２をとり

ｘ＝１と　ｘ＝−２で　極小値を　もつ


さらに　極小点を　結んだ　直線の傾きが　9








まず　微分しておいて




条件を

冷静に　見てくじゃナイスか





文字を　使って　４次関数を　表現して

ｆ（０）＝２


ｘ＝０　で　極大値　２だからさ

代入したら

e＝２

ｆ’（０）＝０になるはずだから

代入したら

d=0









極小値の値

文字式が　１個





も一つ　極小値の値

文字式が　２個目






極小点を　結ぶ　傾きから

極小点なんていうからさ

普段　聞きなれてないから

おーじーけー　ずいちゃ　うん　だ







文字式　３っ目








わかんない変数が　３に　式が　３

計算してきますと





a=3






ｃ＝−１２





ｂ＝４






こんなですか




お疲れ様です。







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