雨の日の スローライフの部屋
四次関数が
極値を 持つ条件
は という問題で
ｆ（ｘ） が
極大値を 持たないときは
極大値を 持つときは
こんな問題の出方をしていて
四次関数の 性質で
ｆ’（ｘ） ＝０ を
調べる時
正確には 極値と言うには 増減表を書いて
ｆ’（ｘ）＝０ の 前後の 傾きが
異なっていることを
確認しないといけないですが
経験的に
ｆ’（ｘ） ＝０
の 解が
４乗の係数が 正の時
異なる ３実解の時 → ｆ（X)は １つの極大値と
二つの 極小値
重解 または 虚解の時 → １つの 極小値のみ
形にすれば w字型 か U字形
ｘの４次の係数が 負ならば
逆w字形 逆U字形
そこで
問題の 関数ｆ（ｘ）の 傾きを 見るべく
一回微分
ｆ’（ｘ）＝０ になるとこが 極値に なる可能性
かっこ １の 問題は
極大値を 持たないとき
極大値を 持たないときは
４次の係数が 正の時は
ただ一つの 極小値のみ
ｆ’（ｘ）＝０ になるとこは
ｘ＝０ と 括弧の２次式が ＝０のところ
ｘ＝０ が 極小値かなと めぼしをつけ
二次式が 極値を持たないためには
判別式＝＜０
９－４a=<0
の時 極値を 持たない
だから
a＞＝9/4
の時
かっこの ２次式が 極値を 持たないから
ｘ二乗-３ｘのとこを
値が 変わらないように 式変形して
中かっこでくくって
そこに aが9/4以上だったら
実数の二乗は ０以上
後ろの aのところも ０以上
常に ０以上
増減表に 具体的に 数値を代入して
a＝＞9/4 の時
極大値を 持たない
ほんとは これでは 不十分ですが
かっこ２の
極大値を持つときを 考えると
今の逆だから
判別式D>0 の時
極大値一つと 二つの 極小値を 持つはず
aの範囲は a＜9/4
後ろの 括弧の ２次関数が 極値を持つので
（ 異なる ２実解 ）
4x と合わせて ３つの 異なる実解を持つ
こんなことしなくても いいかもしれませぬが
さらに a＜０の時
αと β に 当たるとこの
おおよその 位置を 調べると
α ＜ β とすれば
αは ゼロより小さく
βは ３よりおおきいので
α ＜ ０ ＜ β
これで
増減表を 作ると
ｘ＝０ のとこが 極大になる
つまり 極大値を 持つ
さっきの 極大値を持たないときは
一つの 極小値のみ に なる
a＜9/4で a＞０ の時は
α 、 β 、 の 大まかな 位置を 調べると
βは 難しい位置に いるのかな
今度は x＝αで 極大値
でa＝０ のとこも 調べれば
いいんですが
調べてみると
ここに
極大値を 持たない aが 潜んでいたため
かっこ １
かっこ ２
答えは こんな感じで
次は
極大値を 持つとき
点の 存在範囲を 調べよと
極大値を 持つんだから
ｆ’（ｘ）＝０が ３っの 異なる実数解を持つ
f’(x)＝０は ｘ＝０と 後ろの ２次式の解 α と β
解の 一つは ０
０ と α と β は 異なる
a、ｂ、のはいた ２次式の 判別式が D>0⇒
異なる ２実数解
なのだから
式変形したら
aと ｂの 関係は こんなでした
これは
aと bが この式を 満たす組み合わせ⇒ ok
で
ｘ＝０ の 点 以外の場所
次はさ
難しそうなんだけど
やってみますと
ｘ＝０ で 極大値 ２をとり
ｘ＝１と ｘ＝－２で 極小値を もつ
さらに 極小点を 結んだ 直線の傾きが 9
まず 微分しておいて
条件を
冷静に 見てくじゃナイスか
文字を 使って ４次関数を 表現して
ｆ（０）＝２
ｘ＝０ で 極大値 ２だからさ
代入したら
e＝２
ｆ’（０）＝０になるはずだから
代入したら
d=0
極小値の値
文字式が １個
も一つ 極小値の値
文字式が ２個目
極小点を 結ぶ 傾きから
極小点なんていうからさ
普段 聞きなれてないから
おーじーけー ずいちゃ うん だ
文字式 ３っ目
わかんない変数が ３に 式が ３
計算してきますと
a=3
ｃ＝－１２
ｂ＝４
こんなですか
お疲れ様です。
（ 晴れ部屋へ 家庭菜園と５Ｆ ４Ｆ ３Ｆ ２Ｆ 1 Fざっかや
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