スローライフの部屋　数学２＆花と野菜

大人のさび落とし

単振動の合成


01

半径ｒ　の　動径が

初期位相　α

角速度　ωｔ　で動くとき



動径の　ｙ軸への陰は

動径の　ｘ軸への陰は




sin　関数　cos 関数に　なる

円運動　⇔　振動

02


これを　単振動　と言い

ｒを　振幅

Ｔを　周期

ｎを　振動数

と言う



03

sin cos sec cosec

は2π　周期


tan cotは　π　周期

周期の　等しい単振動は

合成ができる



04


問題

原点を左右に　振動する

線分ＡＢ　があり


その線分上に

さらに　中点を左右に　振動する

点Ｐがある


点Ｐ　は　元の　

直線に対して

どのような　運動をするか



05


こんな　イメージですが


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Ｏに対する　Ｐは

ＯＭ+ＭＰ


07


この　二つを

合成すればいいじゃんかね

合成の　標準形に

成るように

加法定理で

展開して




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OＭ　=Ｘ


数値に　変えられるとこは

すぐ　数値に　してしまって


09

そうしたらば

合成の　

標準形に　なったデショ


10



次に　ＭＰ＝Ｘ’

方も


加法定理で　展開して


11

合成の標準形


12

これらを　足し合わせて


ＯＰ＝　が出て


13

ここから

初期位相をα

とすれば

OＰ　=（　3√３，　１）


14

ＯＰの絶対値を　求めて

角αは　図の位置なので

cosα sinα


は　こんなデショ



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ＯＰ＝　を　式変形して

行きますと



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これはさ

うまく　消える　事になってて


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合成でいました


この　単振動を

円運動で　みると

初期位相α

角速度　（π/６）ｔ


振幅は　2√７


周期　12


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角αは

tan　を　使って


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周期が　

よくわかんないと

いけないので


この　周期　１２って

言うのは


ｔが　秒だったらば　12秒

で　一回

ってことで


近似値を　計算すると


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おおよそ　こんな形に



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では

単振動の　合成


振幅は　違うけど

基本周期が　同じだから

合成できると



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合成したときの

初期位相を　α　とすれば

絶対値　ＯＰは　√74


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初期位相に　対する

cos sin

を　使って


式変形



24

うんまく消えて


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合成　できたでしょ

振幅は　√74

周期　2


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次の　合成は



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ｙ２　の方を

加法定理で

展開したらば


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足合わせて


初期位相　α　とすれば

その時の　

ＯＰは　ＯＰ　＝（5，4）



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絶対値　ＯＰ　は　√41



30

式変形をして


31

うんまく消えて


32

振幅は　√41


周期は　6



33

次の　合成

行ってみましょう



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ｙ１　から

加法定理を　使って　

展開していきますと


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同様に

ｙ２の方も

加法定理で　展開してきますと


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で　　P=　y1　+　ｙ２



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初期位相をα　として

単振動と　円運動　の

式を

求めると


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ＯＰ　と　∠α　は

こんなだから

ＯＰの　絶対値　13



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式変形して


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cos sin の混ざったものが

sin　の形に

なって　じゃナイスカ


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sinの　負角は


マイナスが　前　に出るので


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振幅　13

円運動では　半径１３


周期　12　（　１２で　一回転）



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ラスト　行ってみましょう


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y１　の方から

加法て理で

展開して

分かってるとこ

値を　入れて



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ｙ１



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次に　ｙ２は

今回は　cosなんだね

だけれど

同じようの

今度は　cosの　加法定理で


展開して

　　コスモス・コスモス

　　　　マイプラ　　

　　　　　　サイタ・サイタ



　

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ｙ２


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Ｐ＝　ｙ１　+　ｙ２


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OＰを　ｘｙ座標系に

取って


角α　π-β　＝　α

にすると





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式変形から


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いつものように


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振幅は　√１５１

周期　１０



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tan ですけど

補角を　使うと



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こんな風に　なるです。



お疲れ様です。