スローライフの部屋　数学２＆花と野菜

雨の日の　スローライフの部屋





速度（２）

位置情報　とか　距離とか

が　時刻ｔの関数で　表現で来ていれば


それを

ｔ　で　一回微分したら　速度になる









こんな感じの　式なんですが


で

さらに　それを　ｔ　で　微分すれば

増加する速度の変化率

加速度になる








ここでは

ｘの　軸方向だけなのですが

（　問題が　控えてるんですよ　）


微分の　公式は







こんなだったから

定数は　消えてしまう

指数は　前に出て　係数になって

指数のあったところは　元の指数-1


ｘ　とかの　関数の　塊の　微分が

足し算だったら　個々に　微分



ｘとかの　関数の　掛け算　だったら

順番に　微分・そのまま　　+　　そのまま・微分


のような感じで


ｘの　関数　に　指数が付いてるとき

ｙ＝（Ｕ）ｎ乗の時は

ｎ（　　）ｎ-1乗・（　　）’　








身長160センチの人が

高さ4メートルの　街灯の下から

毎分60ｍで　遠ざかるとき


影ができるんですが

歩いてく方向に



その先端の　速度は

また　影の長さは　どんな速度で

伸びるか








影の先端までの　距離を

街灯の下にいるときは　ゼロ


歩きだすと

影が　動きだすので


街灯の下から　影、頭の先端　までの　


距離の伸び方を


時刻ｔの入った式で　表現できれば






これを　一回微分したら

速度になるので







図にしてみますと




距離を　時間の関数にするでしょ







ＡＰは　60ｔ


距離　＝　速さ　×　時間





知りたい　影の先端の距離を

ｘとすれば




ｘ＝ＡＰ　+　ＰＣ

これじゃ

まだできないので

三角形の相似を　使って







ＡＢ：ＰＱ　＝　ＡＣ：ＰＣ






ＡＢが　4メートルで

ＰＱが　1.6メートル　だから



ＡＣ分のＰＣも　同じ　比率

ＡＣはＡＰ＋ＰＣだから






ＰＣは　ｘ-60ｔだから





たすき掛けで


ｘ＝100ｔ






　
これを　一回　微分すると








速度が　出て来て

この　速度と言うのは


街灯の下から　影の先端までの距離を

　時間変化を　使って　あらわしたものなので


影の　先端の速度に　なっている





同様に

伸びつつある　影の　速度は

影の部分は

ＰＣであるから






ＰＣの　長さが　時刻ｔを使って

表現で来ているものを

一回　微分したら


伸びつつある　影の速度







今度は

物理がくですか

垂直　投げ上げ


素速度Ｖ0　で　物体を　投げ上げたとき



投げ上げれば　また　降ってくるんですが


その時の　高さを　ｈとしたら

ｈの(　高さの　）変化は　次のような　式になるんだって





その時に

速度の二乗　+　2倍の重力加速度　×　高さ　は

時間　ｔ　に　関係なく　つねに　一定であることを

証明しなさい





高さｈが

時間の関数になってるから

これを　一回　微分したら

速度になるから






微分するでしょ

これがさ


ｔ秒後の速度






証明しなさいの式に

速度を　代入して

計算するでしょ






ねー




題意から　ｈ＝を代入したら

ｔの　項が　消えてしまったから

ｔに　無関係で

値も　変化しないので
　　

つねに　一定





次は

直交軸があって

その上に　同時に　動く　動点が二つ






（１）　二つの動点　Ｐ、Ｑ、の

中点　Ｒの　座標は　直線状を　動く

ことを　示せ


（２）Ｒの　動く速さは


（３）ＰＱと　ｙ＝ｘの交点　Ｓの

速度を　求めよ






図を　書いて




座標を　ｔを　使って　書いて

中点だから





ＯＲ　の傾きを　計算したら

ｔが　消えて　定数のになったから


直線状に　動くと





その速さは

原点からＲの　距離を

ピタゴラスで




ｔは　０以上だから

プラス側






これが

ＯＲの　距離を　時間の関数ｔを　使って

表現したものだから

一回微分して

原点から　見た　Ｒの速度は

これ







直線ＰＱと　ｙ＝ｘの　交点を

求めるに


直線が

ｘ軸、ｙ軸、の　両方と交わってるときは

その　ｘ切片、　ｙ切片を　a,b,

とすれば





こんな感じで

方程式が　求まる　と言う

公式から





連立して

交点を　出すと






Ｓは　ｘ＝ｙ＝　12/7　ｔ

この　Ｓを　時刻ｔを　含んだ式で

表現して




ＯＳの距離を　ピタゴラス







これを




一回　微分したら

速度




次は

曲線上に　動点Ｐから

ｘ軸とは　異なる　接線を　引いて


その　接点から　垂線を下した　ｘ軸との交点

足を　Ｑとする時に


動点Ｐの　ｘ座標が　何か　式で

与えられていて





この時の　Ｑの　速度を求めなさい



図は　こんな感じで


ナタメ

まず　接線から　求めていくと

公式は　これです







この公式に

接点の座標を　Ｘ＝アルファとして

代入したら






こんな感じで






この接線上に　動点Ｐがあるから

Ｐは　この接線上で　ｙ＝０




なんだから

Ｐ＝が出て

これがね

題意に　与えられている　式に　等しい






イコールに　した式を

式変形すると　　α＝





ところで

Ｑという点は

ｘ軸上の点

ｙ＝０


ｘ座標は　曲線上の接点と同じ


ということは

Ｑ（　α、０　）

Ｑの位置情報が　ｔを　ふくんだ式で

表せたから

一回微分したら

Ｑの速度







微分の　公式に　そって





こんな感じですか




お疲れ様です。









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