スローライフの部屋　数学２＆花と野菜

倍数の問題の　類題です

行ってみましょう


１から５００までの　正の整数のうちで

８または１２で　割り切れるものの

和を求めよ


です








なので

弁図じゃナイスカね

斜線の　部分なんだけど


個数定理　ってのが　ありました







弁図の　真ん中の　部分が

ダブってるので

A と　Bを　足して

そこから

ダブリを　１回引くと









ダブリの部分は

８と１２の最小公倍数なので


頻繁に　書てますが

公式から










８と１２を　それずれ分解してくと


Gは　最大公約数


そのあとに　続くa,bは　素数なので








共通部分を　G　それに続いて

素数な形にすると

最大公約数は　４


（　素数は　１と　その数自身でしか　やくせない数　）

｛　１，２，３，５，７，１１、・・・・・）








最大公約数が　出てくれれば

公式から

８×１２を　最大公約数の４で割って


24


２４が　最初公倍数

これがさ

弁図のAとBの　交わり








ナタメ

弁図のAとBの　または　（　斜線部分の　）

重複しない　要素の　和は


Aの和　足す　Bの和　マイナス　AとBの交わりの和


言い換えると


８の倍数の和　足す　１２の倍数の和　

マイナス　２４の倍数の和


筆記　ミスが　あります　





大変ですが

計算してまいりましょう


まず　１から５００までの

８の倍数の和

８の倍数だから

８ｎ　ｎは自然数　（　１，２，３，４，５，６、・・・）


辺々　８で　割るとさ

ｎ　が　いくつあるか　見当が　ついて


ｎは　自然数だから

条件に合わせて　補正じゃナイスカ








１項から　６２項まであると


１項めは　８

６２項めは　496


当然項数は　６２項だから


和の公式に　代入して











めんどうだから

電卓など

たたき増してですね


テイ！　ってやると

15624






１２の方も　求めなきゃですよね

おんなじく


１２の倍数で　考えて


１２×　　　（１〜　？項目　）ここんとこを　（ｎにして）


ｎを　求めると


４１項あると










電卓　テイテイテイ！で







10332

大学とか　だったりすると

期末試験に　プログラム解除で

電卓持ち込み可　とか　あるからさ


大切な　プログラムが　入ってて

セーブ　してないときなんか

使ってないです

とは　言う者の

疑われては　まずい

冷や汗もんで








大切な　ぴウログラムって何なんだ

ゲームが　入ってた


で


無罪を　主張したとこで

ダブリの交わり部分

２４の倍数は










項数が　２０項


初項２０

末項４８０


公式から







5040


で








求める　和は

15624+10332-5040＝20916


20916











ティー　は　茶　ですが

わたしは

皆様と　同じ　生徒ですので



暑くてしんどいので

レモンティー　など


なんでか？


コーヒーを　切らしているため


で


似たような　問題なんですが

数学と言えども

文章の

読解力は　必要で


しかしながら

大体　パターンが　きまっている


２ケタって言うからさ

ちと　考えてですね











問題文を　図に書くと

全体がこんなで

四角のなかから

弁図の　または　を　引けばいいので









四角　全体は　いくつか計算するとですよ

１０から　９９までは

１０からだからさ


９９引く　９　＝　９０


９０項

初項１０　

末項９９













公式から
4905







で

３または　５の　倍数は

暗黙の了解で

個数定理から

３の倍数の和　足す　５の倍数の和

マイナス　３と５の最小公倍数の倍数の和








しょうがないじゃナイスカ

計算ですよね


３の倍数から

さっきみたいに

考えてくでしょ










公式から

1665









５の倍数も

おんなじく

考えて








945









で

３と５の　最小公倍数なんですが


３も５も　互いに　素

素数なんですよ

最大公約数は

ない？？？


あったじゃナイスカ

１







なので　そのまま

かけて　１５








疲れても

うっかり　


わー


などと　叫んでしまわないようにですね

どうするんだっけ



倍数で　現して

ｎが　いくつあるか　みて


初項

末項


項数から












公式に代入して

315








出てきた　数字のデータはですね

4905




1665

945

315



これらを



使って　計算しますと

2295









で

これで　答えじゃなくて

2295は　３または５の倍数の和

これを

全体から　引くと


2610







次はさ

計算が　大変なんだよ


問題文を

読んでみますと


２００より小さい

正の整数のうち

３，５，７の　少なくとも

１つの　倍数となる　全ての数の　和を求めよ









A,B,Cを　使って

弁図で　書くと

この斜線の部分


この要素の　個数を

個数定理で

見ると

さっきより　少し　複雑になって

こんな感じで








内容は

３で割り切れるもの

５で割り切れるもの

７で割り切れるもの


３または５で　割り切れるもの
５または７で　割り切れるもの
７または３で　割り切れるもの

３と５と７で　割り切れるもの

これらの　どれでもよく


重複しないように

個数定理から

正しく

要素を　合計すると







３の倍数の和　+　５の倍数の和　+　７の倍数の和

-（３と５の最小公倍数の倍数の和）

-（５と７の最小公倍数の倍数の和）

-（７と３の最小公倍数の倍数の和）

+（３と５と７で割れる数の和　）









図にするとこんなで





大変だけどさ

ひたすら　計算


２００より　小さい　正の整数だから

１〜１９９


数学って　こういうとこが

うっかり　できないでしょ


で

３の　倍数から

いくつあるか見てくと


６６項









初項　

末項

項数が分かれば　公式から

6633








５の倍数の時は

辺々　５で　割ってく形で

項数を　割り出して







初項　

末項

項数が出れば　


それらの和は　公式から


3900













７の倍数も

７ｎにして

ｎを　自然数にして　（ｎ＝１，２，３，４，５，６，７、・・・）


辺々を　７で　割って

ｎは　自然数だから

補正して

項数が　２８項







初項

末項

項数

公式から

和は　2842









３と５の　最小公倍数

今回は　　３も５も７も

全部　互いに　素なので


そのまま　掛ければ
　
いいのだけれど


やってきたように

書きますと


G　最大公約数が　１ナタメ










最小公倍数は　１５









１５の倍数の和は　　１〜１９９までの

間だから


不等式を　使ってですね

さっきみたいにですね


で


辺々　１５で　割って



ｎは　自然数ですから　条件に合うとこを

探すと


項数が１３










初項

末項

項数を　求めて

公式に　代入すると


1365









５と７も

最小公倍数は

３５






３５の　倍数の和は


１〜１９９の間のものだけだから

不等式に

はさんで


項数ｎは　になるよに

辺々

左　中　右　　３５で　割って


項数は　５か


和は　525













７と３も


最大公約数が１だから









公式から

そのまま


７と３を　掛けて

２１










２１の　倍数の和は


初項　２１かける１＝２１


末項　２１かける９＝189


項数９






公式から


9/2（21+189）

＝　945








３と５と７の　交わりは

全部　互いに　素なので

そのままかけて


105

一個だけだからさ








ここまでの計算を

順次　あてはめていきますと


２００より小さい

正の整数のうち

３，５，７の　少なくとも

１つの　倍数となる　全ての数の　和は











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