スローライフの部屋　数学２＆花と野菜

等差数列の　和の最大　最小の問題

どこが　等差数列なのか


問題

行ってみましょう








読んでいただいたごとく

３０本の　旗が　５メートル　間隔で　立ててある


これを

片っ端から　１所に　集めるんですが

一本ずつ　集める　決まりなので


順に　集めてもいいし

行き当たりばったりに　集めてもいいし


兎に角

1所に　一本ずつ　取りに行っては　戻ってきて

また　取りに行っては　戻ってきて


ちょこまかちょこまか

全部　集めるんですよ








間隔が　５メートルで　３０本


第ｎ番目に　全部　集める

（１＜＝　ｎ　＜＝　３０）



どれくらい　歩くのカナ？


最小値は　どれくらいカナ？


何ですよ

そこで


第　ｎ　号の　左側と　右側に　分けて


距離を　求めことを　考えるでしょ









ｎ号の　左側を　集めるには

一番　近くが　５メートル先

次が　１０メートル先


間隔が　５メートルで


第ｎ号から　見たときに


第１号までは　ｎ−１　本　あるので

第ｎ号から　一番左端までは　５（ｎ−１）メートル


この　等差数列の和を


いって　とってくるんだから

往復分で

２倍　したものが　　第ｎ号より　左にある旗を

第ｎ号に　全部　

一本ずつ　集めるときに　歩く　距離です








これを

数式化すると

２倍の　（　左側　等差数列の和　）　　








公式に　入れるでしょ


初項　末項　項数が　わかってるので


ｎ,a,l,に　代入して


５ｎ（ｎ−１）









今度は　第ｎ号より　右側部分の　旗を

集めるとき


やっぱり　一本ずつ　ちょこちょこ

いっては　持ってきて

また　いっては　もて来て


第ｎ号に全部集めるに

右側に　一番最初は　５メートル先

次は　１０メートル先


一番右側は

５メートル間隔で

３０本から　ｎ本を　引いた分


５（３０−ｎ）メートル先

この数列の和を　往復分で　２倍すると








右側を　歩く距離は

５（３０−ｎ）（３１−ｎ）









ナタメ

第ｎ号に　左分　+　右分　＝　こんな感じの　ｎの二次関数








これが　第ｎ号に　一本ずつ　旗を全部　集めるときの

距離で

（　１　＜＝　ｎ　＜＝　３０　）


ｎは　１から　３０までなので

ソレゾレ　全部　代入して

計算結果を　出せば

最小値が

分かるんですが









ｎの２次関数に　なってるじゃナイスか


そこで

あたですよね

ほら

２次関数の　一般形を

標準形にして

グラフの　頂点の　座標を　求めると


このグラフは　上に　開いていて

頂点で　最小になっるから












括弧の　中を　標準形









で

前でに　１０倍があるから







括弧を　取っ払って　


ｎが　31/2　の時　15.5　の時　最小値


でもさでもさ

ｎは　自然数だジャン









ということは　一番近いとこは

１５号か　または　１６号　ってことか









実際に　ｎ＝１５の時

ｎ＝１６の　と時を　計算すると








答えは　同じで








２２５０