スローライフの部屋　数学２＆花と野菜

雨の日の　スローライフの部屋



曲線外　の点から

放物線に　引いた　接線,法線の　類題

行ってみましょう。



３次曲線があって　原点から　引いた

接線を　求めよ


放物線上の　接点の座標は

分からないですが

x＝aとでもして

曲線上の　点で　仮定して

接線の　方程式を　作って

通過点　原点を　代入すれば

ｘ、ｙ、aの　式に

ｘ＝０　ｙ＝０　を　入れたんですから

接点の　座標　aが　出るですよね






因数定理で

あったじゃナイスカ

適当に　数を　入れて見て　＝０になるならば

その数は　因数に　含まれている


a＝１の時が

ｆ（a）＝０　なので







組立除法で

初めは　２を　そのまま下へ

左の　１と　２を　掛けて　次の位の　―３の下へ　２

―３と2を　足して　下に　-1

左の　１と　−１を　掛けて　次の　位の下へ　-1

0と　-1を　足して　下に　-1

左の　１と　−１を　掛けて　次の　位の　+1の下に　-1

＋１と　-1を　足して　下に　0


３次を　１次で　割ったから

出てきた　係数の　先頭は２次

２次　１次　定数　余り







さらに　後ろを　因数分解したじゃナイスカ

aは　１または　-1/2






それぞれ

接点の　座標を　求めるでしょ






原点を　通るんだから

ｙ＝aｘ　のグラフ






傾きを求めて

接線は　２本





次は　法線ですので

接線に垂直に　交わっちゃうやつですね

接線と　法線の　傾きの　積は　-1





点Pは　曲線上の点なので

（ｐ、　p二乗）


とでもおいてですよね


曲線の　微分に　pを　代入して出るのは

接線の傾きなので

法線は　　その　傾きの　-　逆数






傾きが　出たので

ｙ＝　ax + b

の形にして


通過点

（-1,2）
　
ｘ＝-1　　ｙ＝2　を　代入すれば　

ｂがでると





で　ですよね






出てきた　法線の　式に

もう一つの　通過点

ｐ　を　代入すれば


ｘ＝ｐ　ｙ＝p二乗

pだけの　式になるから

出るはずじゃナイスカ

x座標だけでいいって







３次式のようですが






因数定理で


ｆ（ｐ）＝　にしておいて

ｆ（１）　の時　０　になるから

p＝１は　答えの一つ






組立除法で




解の公式で






x座標だけなので

こんな感じで





次からは　　少し　厄介です

今回は　曲線外の　点が　かっちりと　数に表せないので

文字が　残ります。


曲線外　の点から　２本の　接線が　引けるんですが

それが　直交することを

証明せよ

直交　だから　傾きの　積が　-1　


接線が　でれば　簡単になはずなんですが








今まで通り　や手くじゃナイスカ

接点の　座標を　曲線上に　仮定ですよね






接線の　方程式を　求めて

ここへ

曲線がいの点

x＝チョメチョメ　、ｙ＝　ほにゃララ

を　代入すれば

仮定した　接点　αが　出ると








ところが

？？？


曲線外の点は　ｙ＝-1


上の点で

x座標は　特定されない

そこで

（a、-1）　としましたため








文字が　残っちゃう


ズバリ出てこない







このままでは　無理なので

そこで

何か　やらないといけなくて








曲線がいの　点に　（　または　曲線が　）文字を　含んでるときは

解と係数野　関係を　使って


兎に角　　２点で　接してるから

α１　　、　　α２　と置いて










そうすれば

傾きは

1/2　×α１


と

1/2　×α２







接線の　傾きの積は

（α１α２）/4








接線の方程式に　曲線外の点を　代入した

式が　２次式　ですよね

接点が　二つあるよって　事ですね


その　

α１、　　α２、を　

二つの　接点にしたので
　
解と係数の関係から

因数分解を　展開してくと


α１+α２＝2a


α１α２＝-4






接線の　傾きの積は

（α１α２）/4

に

α１α２＝-4

を　代入すると

傾きの積は　　-1

よって　直交する。







次は

曲線外の　点は　はっきりと　わかってるんですが

曲線の　方に　未定な　係数が　含まれてるとき

曲線外の　点から　２本の接線が引けるときに

接点を　結ぶ直線が


定点を通る　事を　証明せよです。







いつものように

曲線外の　点からの　接線だから

曲線上に　接点を　仮設して

接線の　公式から

接線の　方程式








これが

曲線外　の点　（１，０）　を　通るんですから

代入すると






ｘ、ｙ、α　の式に　　ｘ＝1　ｙ＝0を

代入したので

α　が　出るんですが

良く見ると

未定な係数　aが　xに　くっついてるので

文字が　残ってしまう








そこで

接線の方程式に　通過点を　代入して

接線が　２本あるよ　な　


２次式を　おいておいて







放物線上の

接点を

ｘ１、ｘ２　と　置けば








x１、x２を　結ぶ　直線の　傾きは



計算で来てしまうので

文字を　含んだまま

こうでしょ






直線の　方程式なので
ｙ　＝　ax　+　ｂ　な形だから







通過点の　片方　ｘ１を　代入して






ｂは　こうだよと





さっき置いといた

接点が　二つあるよ　の式の　解は


ｘ１　と　ｘ２　を　使って







表現すると

二つの　式が　


同値だから


ｘ１+ｘ２＝2

ｘ１ｘ２＝-1/a






代入したら

直線の　方底式が出て来て







傾きは　変化するけど

ｙ　切片は　変わらず

なので

（0、１）　を　常に　通る。












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