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posted by fanblog

2017年05月17日

21004 数列 類題 大人のさび落とし


久々の 更新ですが


極秘任務があったため

ほんとは ぜんぜん 極秘ではないのですが

食材とかですね

税金

などなど


遅くなってしまいました





予告通り

こないだの 類題からですが

二つの 数列があって

はじめて出る 共通項は


その共通項 で できてる数列の初めの 10項の和は


と言うものです



HPNX0003 (2).JPG



まず

数列の 一般項の形を

出してるるとですよ


HPNX0004 (2).JPG




初項 公差から

公式で

初めの方は

5m-4


もう一つは


初項3 公差 7なので



HPNX0005 (4).JPG


7n−4



HPNX0006 (2).JPG


この二つ数列で

作り出される

共通の数列は


イコールで 結んで


あー

n 番目 が 同じとは 限らないので

n と m で 表してあります



n、m、 は 整数





HPNX0007 (2).JPG



これが 新しい数列の形なんだけど


これじゃ

よくわからないので


ここから

一般項を

第 k 番目にして

取り出し来ると





HPNX0008 (2).JPG


mを n で 表すと

5分の7n


n、も mも

整数の 集合なので

分数では まずいです


丁度 整数に なる関係が

共通項


nが 5の 倍数ならば 整数に なるので




HPNX0009 (2).JPG



7,14,21、・・・・


n=5k を (K=1,2,3,4,5,・・・・・)


イコールで 結んだ 式に 代入すると



HPNX0010 (2).JPG



7n−4 のところに 入れるじゃナイスカ

35k−4


これが 一般項

HPNX0011 (2).JPG


だから

最初の 1項目

はじめて出る 共通項は

31


HPNX0012 (2).JPG


なので

ここで

システムを 見ていくと

イコール で結んだ式の 片方に




HPNX0013 (2).JPG



丁度 整数になる n=5 を

今度取り出す k の 一般項にすべく

n=5k で 代入して


Ck=35k−4な感じで




HPNX0014 (2).JPG



なので

新しくできた 数列は

これ

初項 31



HPNX0015 (2).JPG



公差は 35


初めの10項の和は

公式から


二通り

一つは

2分の 項数× ( 初項 + 末項)


HPNX0016 (2).JPG



コレダと 一般項の 公式で

第 10 項めを 求めてからでないとだめだか




HPNX0017 (2).JPG



10項目は 346


HPNX0018 (2).JPG



項数10 初項31 末項346

公式に 入れると


1885



HPNX0019 (1).JPG




もう一つの

方は


項数と 初項と 公差

が 分かれば出るので






HPNX0020 (1).JPG


代入いたしまして

これです


同じじゃないと やばいんだよ



HPNX0021 (1).JPG

ほっと一息 宣伝です


私は

聖霊と共に

やってます

私なんか

主がいなければ ごみ みたいなもんです





HPNX0022 (1).JPG



次はですね

二つの数列があってですね


なんか しゃべりが

野菜の 時間みたいに なっちゃ タカナ


初めの 2n−1項の 和の 比が


第n項め の 比と 同じであることを

証明してください と言うものです





HPNX0023 (1).JPG




一般項で

第 n項を 求めるとですよ

公式がこれだから


HPNX0024 (1).JPG



A,Bと するでしょ

数列を




Aは 初項が a 公差 d




HPNX0025 (1).JPG




Bは 初項が a' 公差が d'



なので





HPNX0026 (1).JPG



一般項 第n 番目 の比は こんな感じ



HPNX0027 (1).JPG



それぞれの

2n−1 項の 和は

公式に代入して

こんなだから

比にすると
HPNX0028 (1).JPG



同じになってるよねー

いいんでないかい


HPNX0029 (1).JPG


へてから

二つの数列があって

Bの 初めの 奇数個の和が

Aの ある 連続した 同じ奇数項 の 和になることを

示しなさいと





HPNX0030 (1).JPG



そこでですね

まず 奇数を 文字で表すと



普通に 全部 並べると

1,2,3,4,5・・・

奇数、偶数 まざってるから

2倍して

そしたら

全部 偶数になって

2,4,6,8、・・・・

そこから 1を 引くと

奇数に なるから



HPNX0031 (1).JPG




2n−1 で 奇数を 表現して


Bの 初めから 2n−1項の和は

公式にあてはめて






HPNX0032 (1).JPG


こんな感じに あてはめるじゃナイスカ



HPNX0033 (1).JPG




計算してって



HPNX0034 (1).JPG



まとめると 

こんなですよ






HPNX0035 (1).JPG




次に これが   Aの ある連続した

同じ奇数個の 和に 等しいので


ある数からの ある数を k とでもすると

Aの k番目は k

HPNX0036 (1).JPG



k番目から 同じ 奇数個の 連続の 和は




HPNX0037 (1).JPG



公式に こんな感じに

代入するじゃナイスカ




HPNX0038 (1).JPG



こんな 感じになりましたよ




HPNX0039.JPG





これがさ

等しくなるには


イコールにして

2n−1は 0でないから

やくして

整理すると




HPNX0040 (1).JPG



k=nだって

なので



HPNX0041 (1).JPG



題意に沿って

Aの k 番目から

始まる 2n−1 項の和は


kを 3で考えてみると

奇数の数は 5





HPNX0042 (1).JPG




試しに 計算するでしょ



HPNX0043 (1).JPG





なので

Bの 初めから 奇数個の和が

Aの ある数からの 同じ連続奇数個 の 和に


等しくなる  自然数が 存在する。



HPNX0044 (1).JPG






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