メニュウ ページ リターン ）
調和数列 というのが
あるザンスですが
どんなものかというと
逆数からできてる数列で
尚かつ 調和数列の
逆数は 等差数列を なしているというんですね
文字で書いてあるので
これを
そのまま 調和数列と
思ってください
このままだと
厄介ですが
これの 逆数を とると
等差数列におなります
等差数列で 処理して
結果を ひっくり返して 戻す
分かりずらいかもしれないけど
逆数を とると
等差数列
これの さらに 逆数は 元の 調和数列
等差数列⇒
一般項の公式があったでしょ
その 初項を 調和数列の とこから 初項を逆数で
公差は 逆数に した ２項めから１項めを 引いて
これを 公式に 代入してくと
式変形で
だいｎ項めがですね
等差数列の方の だいｎ項め
元の 調和数列の 逆数の集まりの 数列が 等差数列になってるから
分数に 書いてありますですが
これを ひっくり返して
戻すと
元の 調和数列の 第ｎ項目になってる
と言うものです。
そこで
問題ですが
a1 a2 a3 .....
が 調和数列なんだって
だい ｎ 項を a1 a2 を 使って現しなさい
今やってしまいましたが
調和数列は 逆数に すると
等差数列
等差数列なので 項と項の 差は 一定
そこで
一般項の 等差数列にしておいて
一般項の公式から
第ｎ項を もとめて
ひっくり返すんでしたね
(２)は
証明なんですが
元の調和数列の逆数で
等差数列を 起してくるでしょ
それで
項と 項の差が 一定だから
ｄとおいてですねー
少し 公差を 式で 持ってきておいて
これを 一通り 計算したことにして
全部 足すんですよ
そうすると
左辺で
連鎖反応のごとく
消去が できてしまって
残ったのが
左辺は a1-an
右辺は ｄで くくると なんか 見たことある形に なってる
そこで
この 見たことある形を 左辺にして
右辺は a1-an
ここで
調和数列を 等差数列のにしたときの 一般項を
公式で 見ると
これを 少し変形すれば a1-an
に 似た形になる
式変形してくと
dが ０でない⇒ 約せて オッケイ
ｄが ０⇒ 全部 ＝になてしまうから
成り立つ
実際に 数字で 見てみますと
これはですね
調和数列なんだって
逆数を 数列に すると 等差数列になるよ
等差 数列の 公差を 求めて
等差数列の 一般項を 求めて
一般項が分かった時に
この逆数が
元の 調和数列の 一般項になってる
次も 調和数列なんだけど
一般項を 求めるには
まず
逆数で 等差数列にして
さらに 今回は
初項と 公差が わかってないので
等差数列ときたら
まず
初項と公差
一般項の 公式から
分かってるとこを 代入して
分からないものが 二つ
式が二つ
➀ ② から
引き算で
公差から出すと
1/21
一つ上の 式に 代入して
初項は
1/21
で 一般項の （ 等差数列 ） 公式に
初項 公差 を 代入して
でてきた 第ｎ項は 等差数列だから
逆数をとって
元の 調和数列の 第ｎ項にすると
21/ｎ
等差数列 と
調和数列 が
あるんだって
で ｑｘ：ｐｙ の値を 求めなさい
良く見ると
a,b、で
それぞれ ｘ、ｙ
ｐ、ｑを
表現して
比を求めれば
よさそうですよ
等差数列の方から
等差数列なんだから
公差 一定
全部 そこんとこを
式にするでしょ
で
全部足すと
これ
さらに 等差数列なんだからさ
ｘを a,bで 表現
yも
こっちは ｘ、ｙ、を a,bで表現できたと
調和数列の方も
ｐ、ｑを a,bで 表現したいんですが
調和数列は
一回 ひっくり返して
等差数列にして 処理するので
そこから
公差一定
さっきの様に
公差を
全部 式で だしておいて
足してくでしょ
公差が 出たと
これを 使って
等差数列から
1/ｐ と1/ｑ を 求めて
これが
うまく
a,bで でてきたから
元の 調和数列に なる様に ひっくりかえしで
ここからは
ｑｘ：ｐｙを 計算すると
ab:ab
つまり
１：１
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