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2017年09月04日

21009 大人のさび落とし 調和数列

( 晴れ部屋へ 家庭菜園5F 4F 3F 2F 1 Fざっかや

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調和数列 というのが

あるザンスですが


どんなものかというと

逆数からできてる数列で

尚かつ 調和数列の

逆数は 等差数列を なしているというんですね




文字で書いてあるので


これを

そのまま 調和数列と

思ってください


このままだと

厄介ですが


これの 逆数を とると

等差数列におなります


等差数列で 処理して

結果を ひっくり返して 戻す



HPNX0001.JPG




分かりずらいかもしれないけど

逆数を とると

等差数列


これの さらに 逆数は 元の 調和数列



HPNX0002.JPG



等差数列⇒

一般項の公式があったでしょ


その 初項を 調和数列の とこから 初項を逆数で

公差は 逆数に した 2項めから1項めを 引いて



HPNX0003.JPG




これを 公式に 代入してくと

式変形で


だいn項めがですね


HPNX0004.JPG



等差数列の方の だいn項め

元の 調和数列の 逆数の集まりの 数列が 等差数列になってるから

分数に 書いてありますですが




HPNX0005.JPG



これを ひっくり返して

戻すと


元の 調和数列の 第n項目になってる

と言うものです。

HPNX0006.JPG



そこで

問題ですが


a1 a2 a3 .....

が 調和数列なんだって


だい n 項を a1 a2 を 使って現しなさい





HPNX0007.JPG




今やってしまいましたが


調和数列は 逆数に すると

等差数列



等差数列なので 項と項の 差は 一定 

そこで


一般項の 等差数列にしておいて

一般項の公式から

第n項を もとめて





HPNX0008.JPG


ひっくり返すんでしたね




HPNX0009.JPG


(2)は 
証明なんですが


元の調和数列の逆数で

等差数列を 起してくるでしょ


それで


HPNX0010.JPG


項と 項の差が 一定だから

dとおいてですねー


少し 公差を 式で 持ってきておいて




HPNX0011.JPG



これを 一通り 計算したことにして


HPNX0012.JPG



全部 足すんですよ


そうすると

左辺で

連鎖反応のごとく

消去が できてしまって




HPNX0013.JPG



残ったのが

左辺は a1-an


右辺は dで くくると なんか 見たことある形に なってる



HPNX0014.JPG


そこで

この 見たことある形を 左辺にして

右辺は a1-an



ここで

調和数列を 等差数列のにしたときの 一般項を

公式で 見ると



HPNX0015.JPG



これを 少し変形すれば a1-an
 

に 似た形になる

式変形してくと



HPNX0016.JPG



dが 0でない⇒ 約せて オッケイ




HPNX0017.JPG



dが 0⇒ 全部 =になてしまうから

成り立つ




HPNX0018.JPG



実際に 数字で 見てみますと


これはですね

調和数列なんだって

逆数を 数列に すると 等差数列になるよ





HPNX0019.JPG


等差 数列の 公差を 求めて




HPNX0020.JPG




等差数列の 一般項を 求めて




HPNX0021.JPG



一般項が分かった時に

この逆数が

元の 調和数列の 一般項になってる



HPNX0022.JPG



次も 調和数列なんだけど

一般項を 求めるには

まず

逆数で 等差数列にして

さらに 今回は

初項と 公差が わかってないので



HPNX0023.JPG



等差数列ときたら

まず

初項と公差

HPNX0024.JPG



一般項の 公式から

分かってるとこを 代入して


分からないものが 二つ

式が二つ



HPNX0025.JPG




➀ A から




HPNX0026.JPG

引き算で



HPNX0027.JPG



公差から出すと

1/21





HPNX0028.JPG


一つ上の 式に 代入して

初項は 






HPNX0029.JPG



1/21



HPNX0030.JPG




で 一般項の ( 等差数列 ) 公式に


初項 公差 を 代入して

でてきた 第n項は 等差数列だから




HPNX0031.JPG





逆数をとって

元の 調和数列の 第n項にすると

21/n





HPNX0032.JPG



等差数列 と 

調和数列 が 

あるんだって


で qx:py の値を 求めなさい



HPNX0033.JPG




良く見ると

a,b、で 

それぞれ x、y


    p、qを 


表現して

比を求めれば

よさそうですよ







HPNX0034.JPG




等差数列の方から

等差数列なんだから

公差 一定




HPNX0035.JPG




全部 そこんとこを


式にするでしょ




全部足すと

これ



HPNX0036.JPG

さらに 等差数列なんだからさ




HPNX0037.JPG





xを a,bで 表現

yも


こっちは x、y、を a,bで表現できたと




HPNX0038.JPG




調和数列の方も



p、qを a,bで 表現したいんですが

調和数列は

一回 ひっくり返して

等差数列にして 処理するので

そこから

公差一定



HPNX0039.JPG


さっきの様に

公差を

全部 式で だしておいて


足してくでしょ



HPNX0040.JPG


公差が 出たと

これを 使って

等差数列から

1/p と1/q を 求めて




HPNX0041.JPG




これが

うまく

a,bで  でてきたから

元の 調和数列に なる様に ひっくりかえしで



HPNX0042.JPG



ここからは

qx:pyを 計算すると



HPNX0043.JPG



ab:ab



HPNX0044.JPG


つまり

1:1




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