スローライフの部屋　数学２＆花と野菜

二つの数列　ということで

等比数列と

等差数列があるんですよ


で

きょうはね

等比数列の　初めの　ｎ　項の和が


等差数列の　初めの　何項　かの　和に　等しいことを

証明せよです


行ってみましょう











等比数列の方から

初めの　ｎ　項の和の公式は


公比　ｒ　が　１でなければ

縦に　並んでる

上の公式







与えられてる

等比数列　は　1.9.81.729.・・・・・

初項は　これだと　１だから

一般項の　公式に　入れていって

２項目








３項目


２項間の比を　分数にして

求めてくと





初項の　aは　約すと

消去できるから




こんな感じで

リバースして

9








公比９の　等比数列

初項は１

一応

検算で

ｎ＝　１

ｎ＝　２








ｎ＝　３


ｎ＝　４


なるね







第ｎ項までの　和を　求めると

一般項の　公式は

使わないけーどさ

公比とか　初項とか

しらべたかったからさ



で

公式に入れて








これが　等比数列の

初めの　ｎ　項の和






かたや

等差数列の方は


1.2.3.4.・・・・


なので

公差　１

初項１

一応

一般項は








公式から

ｎ

この数列の

第　ｎ　項までの和は

公式から






だからにして

代入して

整理すれば


これ


で

問題は







等比数列の　第　ｎ　項までの和が


等差数列の　第　何項目　かまでの　和に

等しいことの　証明

だから

このさ

見た目の　問題だけど

第ｎ　項を　

第ｍ　項にして


もう　文字が　違うから

殆どの場合　値が　違います








等比数列の　ｎ項までの和　＝S


等差数列の　ｍ項までの和　＝T

とすれば







S=Tになるときの

ｍを　求めて

（　ｎの式で　）






ｍの　二次式になったでしょ






指数の

因数分解など

準備して










ｍの２次式を　因数分解して









＝０を　解いて






で　初めの括弧の中は

これはさ

０とかに　ならず

つねに　正だから

不適


後ろの括弧の中は

＝０になるとこを　見て








分子は

いつも　計算すると　偶数になってるので

（　３の倍数　−　１　で　偶数　）

それを　２で割れば

整数


正の整数

ｍは　これです









なんかすっきりしないからさ

このなんだ

ｎ＝４　だったら

ｍは　いくつか見るでしょ


４０　だって





これを

ソレゾレ　数列の和の公式に代入して

等比数列の　初めの４項の和が

等差数列の　初めの４０項の和になったと

だから

この　ｍの式は　あってると


これを　満たす　正の整数







二つの変数　ｘ、ｙ　があって

関係式が　これです


ｘを　１から　１００まで

順次　代入して

ｙの値の　総和を求めなさい







すぐに

公式に　入れられれば　楽なんだけど







まともに　やらずにですね


少し　分解して

一つづつ　分解して　並べたら

前半は　等差数列


分解した　後半は　等比数列に　なってるじゃナイスカ

そこで

それぞれの

和の公式で








計算してきますと

電卓　どこ行ったかな

ん

まー　こんなの　電卓で

数字　出したとて

さ








指数は　そのままでいいということで


これ

怖いのは

うっかりしてると

電卓に　頼ってるから

引き算が　怪しい

みな様は　計算力　錆びてませんか？







次はね

これは

数学の　センセとか　好きそうな問題ですよね


ずいぶん昔んだから

出る可能性は　高い




等差数列


等比数列

があるんだけど

連続する　３数が　そうなんだって


これはさ

なんか　決まりがあるんだけど


一回　やっておけば

これは　そんなに　いじれないから

テストに　出る可能性は　高いと思うけど

で








等差数列だから

公差一定

公差を　ｄと置いてですね



で　四角で囲んだ式






等比数列だから

公比が　一定

公比をｒとしてですね





四角で　囲んだ　式


この　二つを　連立して







一文字　消去すると








二次関数を　因数分解でしょ






aと　bの　関係が　またはで

２通り







a＝−２ｂ　の時は　ｃ＝　４ｂ

a:b:c = -2:1:4








a=bの時は

ｃ＝ｂで

a=b=c


a:b:c ＝　１：１：１





なので

答えは　２通り







次はですね

二つの　数列が　あるんですが


この数列の

２ｎ番目と　　ｎ番目　と　１を　たした　√が

或る整数に　なることを　証明せよ






aの数列は

２ｎ番目は　１が　２ｎ個並んだ形だから

等比数列の　和の形で

あらわせて


こんなで








公式に　入れて計算すれば　こう








ｂの方も

ｎ番目は　

４が　ｎ個並んだ形だから

式変形すれば

ある　等比数列のｎ項までの和の　４倍





公式に　入れれば

こ





√　の　式に　代入じゃナイスカ






で

分母は

３になって







分子は　何と　因数分解で来て

括弧の　２乗だから


√が　外れて






で

式変形すると







３で　割り切れて　整数に　なるものに　１を足す形なので

整数になる




これでいいとしてください

で　次はさ








等差数列an


等比数列bn

があって

ｃｎ　という数列は

ｃｎ　＝　an + bn


で

ｃ１＝　２　、　　ｃ２＝　５、　ｃ３＝１７　、何だって

ｃｎ　うを　ｎ　の式で


表せ


ただし　bnの　初項　公比は

共に整数で

公比は　０ではない









そんなに　難しく考えなくても

よさそうだと

たぶん　公式を　いじってけば

と

たかをくくっていきますと






ね

そんなに　難しく　なさそう









順次　式に　値を代入してくと







連立な　式が出て来て

でもさ

なんか　困ったことがある


文字の数より

連立の式の数が

一つ少ない


？






ここから　どーするかな








問題文に　公比　初項は　整数で

（bnの　初項　公比は　整数で

公比は　０ではない）


もしかしてですが

これわさ


正数解

のもんだい







二つの整数を　掛けて　９になるもので

条件を　満たすものを　探すと








ｂ初項　ｒ公比

ｂｎの　初項　公比は　整数で

rは　０では　ない


なため

なんか　二つか　３っつ　出て来そうで








四つでてきたけど

条件に　適さないものを

見て






３通り


んー　サントリー






ここまでの　放送は

ファンブログ　

A８ネット


楽天　


・・・






ちょっとさ

延長ですか

出て来てた　連立の式に

順次　ｂ　、　ｒ　を　代入して

a,d　を　を　求めて

an bn の　一般項を　完成し


ｃｎ　＝　an + bn


で

３とうり　書けば　答えです






⓵’を　�A式に　代入して

ｂ　ｒ　に　それぞれ

値を　３通り代入してけば








１通り目

a=1

ｄ＝０

ｄは

０でも　オッケイ






一組目

次に

ｂ＝１　ｒ＝-2の時








a＝１

ｄ＝　６


二組目は　これ








３組目

ｂ＝９　ｒ＝２の時

a＝-7



ｄ＝-6


３組目はこれ








全部　出そろったとこで






ｃｎ　の　式に　代入してくと







さんとうりー

だからさ






少し　最近　サミーになってきてるけど

すみません

思い出して

センチに　なっててね







戦争と　戦争のい噂が　聞こえてきました

主に　信頼するものは


幸いです

あなた方に　わたしの平安を

残していく

わたしが　与えるものは


世が　与えるものとは　違う

あなた方は

心を　騒がせては　ならない


落ち着きを　なくさないように