スローライフの部屋　数学２＆花と野菜

雨の日の　スローライフの部屋


倍角の公式（２）　なのですが


sinΘ　+ cosΘ　＝　a
　
が与えられたら

sin a cos a　を　作れ

だそうです

問題が　あってですね

式の値を求めなさい




(１)は　sin２Aを　求めよ

正弦の倍角の公式を使うじゃナイスカ

すぐさま　sin a cos a


が　入った式が　出て来て

sin２A＝２sin a cos a


題意から

sinA + cosA= 1/2

なので

これを　平方すると

sin二乗A 　　　cos二乗A　の　間に　

　２sin a cos a


これが　全体で　1/4なのだから

sin二乗A 　　　cos二乗A　は　１になって


２sin a cos a＝　-3/4











ここで

求めるのは

sin2A なのだから

sin2A　＝　２sin a cos a＝　-3/4







(２)は

３乗+３乗のかたち


因数分解の　方の　公式を使って









二乗　二乗は　1に


へてから

題意より

値が分かってる　とこと

（１）の　続きで

２sin a cos a＝　-3/4なのだから

sin a cos a＝　-3/8


これらを　代入して

11/16







tan2A　を　求めよ


これはさ

公式があるけど



sin cos　で　表す方法の方が

よさそうだから


じゃナイスカ








sin2A　＝　-3/4

が　わかてるから

平方公式を使って







cos２A=　±　√7/4







分子の　マイナスを　考えると


マイナスプラス　になって






分母の　ルートを　はじして

ルートを　分子に　持ってくと

マイナスプラス３√7/7






以上を　踏まえまして

少し　沖に行ってみましょう


深いですよ


sin Θ　-　cos Θ　＝　1　の時

sin 2Θ　、　sin Θ　+　cos　Θ　、

の値を求めなさい


まず

sinΘ　+ cosΘ　＝　a
　
が与えられたら

sin a cos a　を　作れ

で

sin2Θ　＝　２sinΘcosΘ


sin Θ　-　cos Θ　＝　1　を　平方すると


sin二乗Θ　　　cos二乗Θ　の　間に　

　-２sin ΘcosΘ

が　出て来て　これら　全体で　１なので






整理したら


0




次に

sinΘ　+　cosΘ

は

平方すると

sin二乗Θ　+　cos二乗Θ　+　２sin ΘcosΘで


（sinΘ　+　cosΘ）の二乗が


１+２sin ΘcosΘ　なのだから



さっき　２sin ΘcosΘ＝　0　だったので

１





で

ここで

答えでは　ありませんで


平方根を　求めてですよ

±1






sin2x=a の時　次の値を

求めよ


(1)sin x + cos x (2) tan x + cot x


まずですよ

（１）

２ｘ　と　ｘ　が　混在してるので

正弦の倍角の公式で

sin2x=２sin ｘ cos ｘ

題意より　これが　＝aなのだから

２sin ｘ cos ｘ＝a








(1)sin x + cos x

を　平方して

平方した式が　１+　２sin ｘ cos ｘ

になるので

（sin x + cos x）の二乗が　1+a







平方根は

プラスマイナスで√（1+a)




(2) tan x + cot x

は　sin cos

で　考えて　通分して







２sin ｘ cos ｘ＝aなのだから



sin ｘ cos ｘ＝a/2







結果はこちら







３乗―３乗＝１が　与えられてて




sinA　-　cosAを　求めよ

ここは

深かったんですよ

かなり　あぶなかってです


条件式の　因数分解でしょ

ここまでは　良いんだけど







ここでね

sinA　-　cosAを　ｘと置くんだって


さらに


sinA　-　cosAを平方するんだって








そしてですよ

整理してきますと






ｘの形の　３次方程式







整理して

出てきた式を　ｆ（ｘ）　とでもおくと


数２は　暗黙の了解で

数１の全範囲が　効いてきますので


やり残しが　あると　進めない　場合が　ありますが


ここは　だいじょだね

因数定理を使って

因数分解

ｘ＝１の時　f(x)＝０だから

（ｘ−１）　で　くくれる










係数を　分離して

ない２乗の項は　０にして

組立除法で

因数定理の　数字で　割る

ｆ（１）


（ｘ−１）＝０

言い方を　変えると　イコールゼロになる　ｘで　割ると






で

続く　後ろのかっこは

因数分解できそうで

答えは

ｘ＝1　または　-2　なのですが

ちょっと
待ったです


やな予感が








あのですね

関数の　合成のところで


これはさ

少し　違う形にも　書き換えられるんで

見てくれない！？になってて？？


あ〜〜〜〜


合成して






最大振幅は

±√2


あ〜〜〜〜

これは　式は　どうなるんだったかな







グラフから

半周期を　だして

普通周期は　sinは　２π　だからさ


絶対値a＝１

a＝±１


角度を

一般的なものを　求めた形に　するに






グラフから　グラフ上の１点を　代入

する方法で


A=0の時

sinA=0 cosA=1


を　代入して








sinA　-　cosA　＝　√2　・sin ( A - 45 )









なのですよ

ナタメ

最大振幅の　絶対値が　√2以下

√2は　　1.1421356　とかいうんですね

ｘ＝1　または　-2　で


-２は　不適

したがって

ｘ＝１

xは　sinA　-　cosA　＝ｘ　としてますので



sinA　-　cosA　＝1





次も　深いんでしょよ

これこれの　関係があるとき

cos2A+cos2B　の値を　求めよ







これはさ

パズルみたいな感じで

cosの２倍角を

崩してくでしょ






そこに

ここがさ

ややこしいんだけど

今度は

sinの　値を出すべく






整理してくと

倍角のsin


ではなくてさ

２倍のsin

だから

sinの値が出て来て







なんか　こんがらかりそうだけど

ここを　のりこえると

きゅうに　浅くなって








後は　代入して


１だよ






さんざん　深いとこで

怖い思いを　したので

注意深く　進んできますと







まず　　０から270度の　間である








cosを　使って

角度を　表現すると


加法定理を　やったばかりなので


それを　使って


そろそろ

深くなるのに　備えながら







条件を　見て　深さを　予測してですよ






できるだけ　急に　深くならないよに

式を　変形して

まわりが　見えなくならないように


目印は　ないカナ


ここはですよ

加法定理の　展開式の中


の　部分的なところ

条件式が　ここに　使えるよ







整理して


加法定理の　展開した　前半が　固まったから

後半を　見てくでしょ







部分的に見て来て

まだ使ってない条件から

変形してくと


全部　組みたてて　整理したら

＝0






ゼロ？

あー　


cosの　値が　ゼロ　なんだから

行けそうですね


角度を足した　動径がですね

ｘ軸に　作る影は




９０度











ひとさし指と　親指で

チョキを　作ってですね


これか




お疲れ様です。






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