教育現場での出来事

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毎年、何人かの生徒が、「正負の数の計算」で落ちこぼれる。
場合によっては、それが中３にまで響き、さまざまな障害を生む。
というわけで、今回中１学年の数学の授業をコントロールできる立場になったので、「正負の計算」を工夫して教えることにした。

まずは加法と減法なのだが、（　）をつけない計算から始めた。
つまり、(-3)+(+2)などの括弧つき符号つきの計算ではなく、-3+2をいきなり教えるという方法である。

例えば、3+2の計算系には４パターンある。
3+2=5
-3+2=-1
3-2=1
-3-2=-5

これと本質的には同じだが、2+3にも４パターンがある
2+3=5
-2+3=1
2-3=-1
-2-3=-5

これらの計算を、温度計の変化で説明して、ひたすら演習する。

できたら、見た瞬間に答えが浮かんでくるようになるまで、何度も練習して、さらにスピードもアップする。

この計算を全員が習得したら、次の段階として括弧つき符号付きの計算を行い、
括弧、符号を省略して、この計算に帰着させる、という作戦である。

最初から括弧や符号つきを教えると、いろいろな規則があって、なかなか一斉理解が難しいのだ

この方法なら、温度計の説明だけで生徒を納得させることができる。

ちょっと荒技かも知れないが、まずは「分かる」、「解ける」を目指して、その後のテストで、「取れる」状態に持ち込みたい。

この方法で、どれだけ正負の数の計算ができるようになるか。
６月の中間試験の結果がどうなるかは、後日ご報告ということで…。

中３の夏期講習では、「数学�T」の三角比の解説をしてみた。
「２次関数」の授業が終われば、すぐに学習する分野ではあるが、三角比の導入とその利用法および基礎について３回の講義で扱ってみたのだ。

私が教員になった頃との違いは、中学生が筆記体の学習を必須ではなくなったことである。
私の学校では筆記体も教えるが、通常ほとんど利用することがないので、ブロック体と大きく異なるsやzはあまり覚えてはいない。

以前は小学校で教えていたリットルの記号（小文字のエルの筆記体）も大文字のブロック体で表すようになったが、直線を表すときはやはり筆記体を使うことになる。このとき、mとnの区別もつきにくい、という弊害もある。

私は数学の授業では旧態依然としてbも筆記体で書くが、新学期には、「先生、その記号は何ですか？」、ということにもなる。
その都度、数学で使う筆記体を説明することになる。

直角三角形でサインの式を覚えるには、sの筆記体による覚え方がとても便利なので、ここでもう一度確認ということになるのだろう。

直角三角形による三角比の定義は、平方根と三平方の定理を学んだ上での単元なので、これ以上の前倒しはできないが、数学が測量等、いろいろな計測に使われるとてもわかりやすい例なので、授業展開がなかなか面白くなる。

三角比の値は、今でこそ関数電卓を使って一発で求められるが、私の中高生の頃には、まだ本屋に「三角関数真数表」なるものが売っていた。
有効桁数と角度の精度を上げれば上げるほど、その冊子は厚くなる。
今ほど安価に関数電卓が手に入らなかったのだろう。
のちに、パソコンが現れ、桁数に制限はあったものの、三角関数の値も瞬時に求められるようになった。

三コマの講義では、単位円の定義には及ばないが、三角比の有用性は理解させることができたのではないだろうか。

実際、正規の授業でもう一度取り扱うので、この口座の反省点を生かして、授業に備えよう。

そういえば、かつてNHKのみんなの歌で紹介されていた『算数チャチャチャ』では２番で三角比が登場する。
残念ながら、三角関数の相互関係を３コマ目に習った彼らには、問題を解くことは未だ困難であろう。

sinθという記号は、彼らにとって初めての複数文字による数学記号。
何となく、高度な数学を学んでいるようで、楽しいではないか…。

私がいつも持っている授業の道具に、指示棒がある。
指示棒と言っても既製品ではなく、ホームセンターで売っている直径１センチくらいの丸棒を半分に切って、40センチくらいにしてある。
全部で４本。
普段は、１本だけ持ち歩くが、空間座標の導入時には３本＋１本、空間内の直線や平面の位置関係の授業時には、３本持って行く。
通称、『相（愛）棒』、英語ではラブスティックと呼ぶ。

空間座標の導入には、併せて４次元座標の話もするので、そのための余分の１本である。

教員人生の中で、相棒を持たなかった時は、ほとんどないのだが、昨年の授業アンケートに、
「丹澤先生の棒が黒板とぶつかる音で、繊細なカルタ耳が壊れるのでやめてください。」
と、書かれてしまった。
以来、そのクラスでは、『愛棒』を授業で使うことはなくなった。

今日は、中１の空間内の直線や平面の位置関係の授業。
昨年のクレームを受けたクラスとも違うし、「よし、久しぶりの『愛棒』だ」、と、私は楽しく授業に臨んだ。

私の『愛棒』は、直線を意味する。
平面は、下敷きだったり、ノートだったり、時に机でもいい。

生徒たちは、モノを見ることで、記憶に定着する。

この辺りの教材は、CG動画もあるので、それを併用しながら、空間内の図形の位置関係を説明し、実際に演習を行った。


教具があると、生徒の目を一点に集中させることができる。
既製品は目が飛び出るほど高価だが、工夫すれば、いくらでも代表できるものはある。

それに併せて、昨今流行のCGがあれば、鬼に金棒だろう。

だが、「目で見て分かったつもり…」、では実際の問題が解けないこともあるので、私は、「見たらすぐに解く」、ことをさせている。

これも、モノで釣ることになるのかな…。
ふと、チーズやサツマイモを欲しがる愛犬の姿を思い出した。

中１の数学の授業での話。
αクラスだったら、何でもない教科書の例題も、βクラスでは苦戦する。
今日は、幾何で、円周率をπで表し、円がらみの面積や、その周の長さを求めようというもの。

「面積は？
「πｒ２乗」
「円周は？」
「２πｒ」

と、ここまではＯＫ。
ここで半径をａに変える。
これも大丈夫。

だが、半径がa/2になると、途端に躓く。

私の学校では代数と幾何を同時並行で授業しているのだが、代数で習った文字式の計算が、まだまだ怪しいのである。

だから、a/2の2乗にπを掛けて、半径aの円の半分の面積と合わせるとなると、いきなり文字式の通分になり、これまたハードルが上がる。

「通分すれば計算できますね。」
などと、手抜きの説明をしていたαクラスの時の授業とは全く違う展開が求められる。

中２でもルート２マイナス三分のルート２の計算が厳しい生徒がいた。
計算方法は、a−a/3と同じなのだが、1−1/3と同じようには計算できないのだ。

さすがに中２はαクラスなので、そういう生徒は一人だけだが、中１ではそうした生徒を作らないように、工夫せねば…。

久しぶりのβクラスに、思わぬ落とし穴にはまってしまった。

授業後、ある生徒が、
「先生、どうやったら幾何が分かるようになりますか？」
と声を掛けてきた。

今日の授業にはついてこれなかったのである。
私の敗北である。

また明日、仕切り直しだ。

新年度の数学の授業が始まっているが、私は授業中に、いろいろな話をする。
特にこの時期は、勉強の仕方やコツ、取り組む姿勢などを矢継ぎ早に伝えている。

その中で、最近重要視しているのが、『知的正直さ』だ。
英語では、"intellectual honesty”、いわゆる「知的廉直」のことである。

要は、「自分を誤魔化さずに学ぼう」、ということである。

私は、数学は、「分かるか分からないかのどちらかしかない」、と教えている。
だから、「少し分かる」とか、「何となく分かる」、「分かったような気がする」などというのは、すべて、本当は『分からない』ということなのだ。

少しでも分からなければ、分からないとするのは、多少乱暴ではあるが、一方で、勇気がいる。
分からないことを自覚する勇気だ。

数学に限らず、およそ学問に関しては、「分からない部分をつぶしていく」、という方法が、学びのスタイルだ。だから、自分が分かった部分と、分からなかった部分を明らかにして、分からない部分を減らし、なくしていくという作業が求められる。

数学では、初めて読む証明ならば、おそらく一行一行を追いかけて、自分自身で理解できるか、納得できるかを検証していく。もし、「あやしい」部分があえば、そこが自分自身で「分からない」部分であり、正直に分からないと認め、その部分を潰していかなければ、その証明を理解したとは言えないわけだ。

学習活動をする上で、「どこの部分が分からないか」、をピックアップすることはとても大切である。
ある意味、そうしたあぶり出しができれば、解決への道は、確実に近づいていると言える。

数学では、分かったつもり」が一番危険で、そのままにしておくと、たいていは途中で土台ごと崩れ去ってしまうのだ。

『知的正直さ』をもって、数学を学習すれば、漫然と学習するより何十倍の効果を得るだろう。

だから、「分からない」という恐怖に耐え、克服していくという戦いを繰り返さなければならないのだ。

また、「分かる」、「納得できる」、「理解できる」、「自分で解ける」、「人に説明できる」、というプロセスも大切だ。

いずれにせよ、『知的正直さ』を持って、取り組まなければ、世の数学嫌いと同じ道をたどることになるわけだ。

さらには、「私の話を聞けば分かる」、とも言っている。
傲慢に聞こえるかも知れないが、「真剣に授業を聞く」、という姿勢があれば、ほとんどは理解できるような授業を、私は実践しているからだ。

そんな風に、熱く語りながら、新年度の授業が進んでいく。

私の話した言葉のフレーズが、いろいろなノートや生活記録表にメモされる喜びを感じながら、
「さて、明日はどんな話をしようかな…。」
と、考えている昨今。

中３の数学で、初めての数列分野の授業を行った。
まず、数列の定義、記号の使い方を説明し、一般項を与えて、初項から第５項までを列挙させる練習。
そののち、ある規則で並んでいる数の並びから、一般項を自ら予想するという練習を行った。

数列の種類については触れていない。
それがたとえ、等差数列であろうが、等比数列であろうが、累乗系であろうが、何も言わずに、規則を見つけさせる。

「数学を学ぶ意味の一つに、『規則性を見つける』という目的があります。一見雑然としたなかから、一定の法則を探し出すということは、数学的な思考なのです。」
と、力説しながら、生徒たちに規則を見つけさせる。

プラスとマイナスが交互に現れる数列の扱い。
分数の形をした数列の規則性の見つけ方。
差をとったり、商を考えたりすること。
など、これまでの数学で学んだことが、どんどん活用される。
平方数だって、活用できる。

私は数列を書くときは、その上に�@、�A、�B…と追記する。
これが、初項、第二項、第三項で、第ｎ項は、ｎを○で囲む。
こうすることで、丸数字と、数との関係が見やすくなるのだ。
この丸数字から、その下の数列との関係式を見つけることができれば、一般項を探し出すことはたやすい。

生徒たちは、必死になって規則を見つけようとする。
計算が得意な生徒だからといって、規則性を見つけることも得意だとは限らない。
計算間違いが多いが、こういう規則を見つけることに長けている生徒もいる。

せっかくなので、授業の終了７分前から、「自分で問題を作って、隣の人に出題せよ」、という課題を与えた。

こういう時の生徒は、特に燃える。
作問している時は、絶対に見つけさせまいと必死になり、問題を与えられたときは、自分は絶対に解いてやると、また必死になる。

おもしろい。

「いやはや、問題に出題者の性格が現れますね…。」
と、私はニコニコしながら見守っている。

分数系で、約分してしまえば、規則を見つけるのはかなり困難になる。

私が高校生のときに聞いた話。
ある生徒が、真面目な先生に、数列の問題を出す。
「先生、どんな規則か分かりますか？」
その数列は、
　　1, 3, 4, 6, 8, 10, 12
というものであったと言う。
先生は、一晩必死で考えるも、規則を見つけることはできなかった。

この数列は、何のことはない、アナログ時代の関東圏のテレビ局の番号である。

頭が固い数学の教師は、こういうパズルが解けない、という一例である…。

中２の数学授業で、ちょうど組合せ（nCr）の基本が終わったので、残り５分で、
『８人を２組に分ける方法は何通りか』
という問題を出し、「時間が来たら宿題ね」、と言って考えさせてみた。


この問題は有名問題で、数研出版の数学�Tの問題集4STEPの例題にもなっている。

解き方は二通りある。

一つ目は、８人を、１人と７人、２人と６人、３人と５人、４人と４人に分けて、その組合せを合計する方法。
この方法では、４人と４人に分けたときに、入れ替え分まで含めて余分にカウントされてしまうので、ここの部分だけ1/2にしなくていけない。

もう一つは、とにかくＡとＢ２グループに分けてしまい、全部Ａ、全部Ｂに入ってしまった分を引く。さらに、ＡとＢの区別をなくして計算するという方法だ。

生徒たちは、両方の方法を見つけたようで、休み時間になっても、あれこれと議論していた。

授業中は、正しく計算できた生徒はいなかったが、おそらく考えているうちに、正しい値を導き出すことができるだろう。

場合の数の問題は、ある意味、発想の転換が必要になる。
授業で、先生が説明ばかりしてしまえば、生徒はそれに気づくことなく、ただ例題の解法暗記になってしまう。だから、こんな宿題も時には面白い。

授業中、
『男子６人、女子４人から４人を選ぶとき、少なくとも１人女子が含まれる選び方は何通りか』
という問題を解いた。

その時、9Ｃ3で求められないか、という解答があった。

実際は、余事象で解く。「『全員男子』ではない」と考え、全体から全員男子の場合を引く。
または、女子が１人のとき、女子が２人のとき、女子が３人のとき、女子が４人のときを、それぞれ求めて合計する。

どう考えても良いのだが、大切なことは、
『要するにどういうこと？』
という自問自答をすることだ。

かつて私が高校３年生だったとき、予備校で寺田文行氏の講義を受けたことがある。

そのとき、
『〜とは』
を考えよ。と、何度も強調されていた。

つまり、この場合で言えば、「少なくとも１人が女子であるとは…」どういうことなのかを、自分の言葉で翻訳せよということだ。

この変換ができれば、場合の数は怖くない。
思い込みの勘違い以外は…。