モナド ── 定義と随伴により引き起こされるモナド,
随伴から導かれるモナドの例 ── maybe モナド
モナドから導かれる随伴 (1) ── Eilenberg-Moore 圏
モナドから導かれる随伴 (2) ── Kleisli 圏
モナド ── Kleisli 圏の例 (続き) の続き.
圏 $\mathrm{C}$ 上の与えられたモナド $(T,\eta,\mu)$ に対して, $T$ 上の随伴のなす圏 $\mathbf{Adj}_T$ を次のように定義する.
$\mathbf{Adj}_T$ の対象は, 随伴
\begin{equation*}
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\newdir{ >}{{ }*!/-5pt/@{>}}
\begin{xy}
\xymatrix@=32pt {
\rC \ar@<1ex>[r]^F \ar@{}[r]|{\bot} & \rD \ar@<1ex>[l]^U
}
\end{xy}
\qquad
\eta : \Un{\rC} \Rightarrow UF,
\quad
\epsilon : FU \Rightarrow \Un{\rD}
\end{equation*}
で, モナド $(T,\eta,\mu)$ を導くもの ($T=UF, \mu = U \epsilon F$) の全体とする.
そのような 2 つの随伴
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix@=32pt {
\rC \ar@<1ex>[r]^F \ar@{}[r]|{\bot} & \rD \ar@<1ex>[l]^U
}
\end{xy}
\qquad
\eta : \Un{\rC} \Rightarrow UF,
\quad
\epsilon : FU \Rightarrow \Un{\rD}
\end{equation*} \begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix@=32pt {
\rC \ar@<1ex>[r]^{F'} \ar@{}[r]|{\bot} & \rD' \ar@<1ex>[l]^{U'}
}
\end{xy}
\qquad
\eta' : \Un{\rC} \Rightarrow U'F',
\quad
\epsilon' : F'U' \Rightarrow \Un{\rD'}
\end{equation*} の間の射 $K : F \dashv U \rightarrow F' \dashv U'$ は関手 $K : \rD \rightarrow \rD'$ で, 左随伴と右随伴に対して共に可換, つまり $KF=F'$, $U'K=U$ を満たすものとする:
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix@=32pt {
\rD \ar@<1ex>[dr]^U \ar[rr]^K
\ar@{}[dr]|{\style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\dashv}}
&
& {\rD'} \ar@<1.8ex>[dl]^{U'}
\ar@{}[dl]|{\style{display: inline-block; transform: rotate(-45deg)}{\dashv}}
\\
& \rC \ar@<1.2ex>[ul]^F \ar@<0.4ex>[ur]^{F'} &
}
\end{xy}
\end{equation*}
$\Adj_T$ に対して, 次が成り立つ.
命題. $(T,\eta,\mu)$ を圏 $\rC$ 上のモナドとする. このとき, Kleisli 圏 $\rC_T$ は随伴の圏 $\Adj_T$ の始対象であり, Eelenberg-Moore 圏 $\rC^T$ は $\Adj_T$ の終対象である. すなわち, $\rC$ 上でモナド $(T,\eta,\mu)$ を導く任意の随伴 $F \dashv U$ に対して, 一意的な関手 $J : \rC_T \rightarrow \rD$, $K : \rD \rightarrow \rC^T$ が存在して, それぞれ左随伴関手, 右随伴関手と可換になる.
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix@=32pt {
\rC_T \ar@{-->}[r]^J_{\exists!}
\ar[dr]|(.3){U_T}
\ar@{}@<-0.9ex>[dr]|{\style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\dashv}}
& \rD \ar@{-->}[r]^K_{\exists!}
\ar@<1ex>[d]^U
\ar@{}[d]|{\dashv}
& \rC^T \ar@<2.2ex>[dl]^{U^T} \\
& \rC \ar@<1ex>[u]^F
\ar@<2.2ex>[ul]^{F_T}
\ar[ur]|(.6){F^T}
\ar@{}@<-0.6ex>[ur]|{\style{display: inline-block; transform: rotate(-45deg)}{\dashv}}
&
}
\end{xy}
\end{equation*} 証明は省略するが, 以下のことが成り立つ.
・ $JF_T = F$, $U^TK=U$.
・ 関手 $J : \rC_T \rightarrow \rD$ は $\rC_T$ の対象 $c$ に対して
\begin{equation*}
Jc = Fc
\end{equation*} と定義され, $\rC_T$ の射 $f : c \rightsquigarrow c'$, つまり $\rC$ の射 $f : c \rightarrow Tc'$ に対して
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix@=32pt {
Jf := Fc \ar[r]^(.4){Ff} & FTc'=FUFc' \ar[r]^(.65){\epsilon_{Fc'}} & Fc'
}
\end{xy}
\end{equation*} と定義される.
・ 関手 $K : \rD \rightarrow \rC^T$ は, $\rD$ の対象 $d$ に対して
\begin{equation*}
Kd = (Ud,U{\epsilon_d})
\end{equation*} と定義され, $\rD$ の射 $f : d \rightarrow d'$ に対して
\begin{equation*}
Kf := Uf : (Ud,U\epsilon_d) \rightarrow (Ud',U{\epsilon_{d'}})
\end{equation*} と定義される.
この結果によれば, 圏 $\rC$ 上の Kleisli 圏 $\rC_T$ から Eilenberg-Moore 圏 $\rC^T$ への一意的な関手 $K : \rC_T \rightarrow \rC^T$ が存在することになるが, これは次のように定まる.
Kleisli 圏 $\rC_T$ の対象 $c\in\rC_T$ (つまり $c\in\rC$) に対して,
\begin{equation*}
Kc = (U^TF^Tc,U^T\epsilon_{F^Tc}) = (Tc,U^T\epsilon_{F^Tc}) = (Tc,\mu_c)
\end{equation*}
であり, $\rC_T$ の射 $f : c \rightsquigarrow c'$ つまり $\rC$ の射 $f : c \rightarrow Tc'$ に対して
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix@=32pt {
Kf := (Tc,\mu_{c}) \ar[r]^{Tf} & (T^2c',\mu_{Tc'}) \ar[r]^{\mu_{c'}} & (Tc'\mu_{c'})
}
\end{xy}
\end{equation*} である.
この関手 $K : \rC_T \rightarrow \rC^T$ について, 次の命題が成り立つ.
命題. 圏 $\rC$ 上の随伴からなる圏 $\Adj_T$ における, 一意的な関手 $K : \rC_T \rightarrow \rC^T$ は充満忠実 (full and faithful) であり, $K$ は $\rC_T$ とその $\rC^T$ における像の間の圏同型を与える. すなわち, Kleisli 圏 $\rC_T$ は Eilenberg-Moore 圏 $\rC^T$ に埋め込まれる.
2023年09月12日
2023年07月21日
数学: モナド ── Kleisli 圏の例 (続き)
数学: モナドから導かれる随伴の圏 (3)$
モナド ── 定義と随伴により引き起こされるモナド,
随伴から導かれるモナドの例 ── maybe モナド
モナドから導かれる随伴 (1) ── Eilenberg-Moore 圏
モナドから導かれる随伴 (2) ── Kleisli 圏 の続き.
集合 $S$ を固定する. $S$ の各元を「状態」と呼ぶことにする.
与えられた集合に対して, 状態 $S$ との直積を与える関手 $S\times- : \mathbf{Set} \rightarrow \mathbf{Set}$ と, $S$ から集合 $A$ への関数の集合 (これを $A^S$ と記す) を与える関手 $(-)^S : \mathbf{Set} \rightarrow \mathbf{Set}$ は随伴関係 $S\times- \dashv (-)^S$ をなす.
この随伴からモナド $((S\times-)^S,\eta,\mu)$ が導かれる.
単位 (unit) $\eta : 1_{\mathbf{Set}} \Rightarrow (S\times-)^S$ は各集合 $A$ に対して
\begin{equation*}
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\newcommand{\Abs}[1]{\lvert{#1}\rvert}
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\newdir{ >}{{ }*!/-5pt/@{>}}
\eta_A : A \rightarrow (S \times A)^S, \qquad (\eta_A(a))(s) = (s,a)
\end{equation*} と定義される. 結果の $(s,a)$ を, 入力 $a \in A$ と現在の状態 $s \in S$ の対と考える.
また, 余単位 (counit) $\epsilon : S \times (-)^S \Rightarrow \Un{\Set}$ は 状態 $s \in S$ と, 各状態における入力を与える関数 $f : S \rightarrow A$ とに対して,
\begin{equation*}
\epsilon_A : S \times A^S \rightarrow A, \qquad \epsilon_A(s,f) = f(s)
\end{equation*} と定義される. つまり, 各 $\epsilon_A : S \times A^S \rightarrow A$ は各状態における入力を与える評価関数 (evaluation function) と見なせる.
3 つ組 $((S\times-)^S,\eta,\mu)$ は図式に対する計算により
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix@=36pt {
(S\times(S\times(S \times A)^S)^S)^S
\ar[r]^(.55){(S\times\mu_A)^S}
\ar[d]_{\mu_{(S \times A)^S}}
& (S\times(S \times A)^S)^S ->
\ar[d]^{\mu_A} \\
(S\times(S \times A)^S)^S
\ar[r]_{\mu_A}
& (S \times A)^S
}
\end{xy}
\qquad
\begin{xy}
\xymatrix@=36pt {
(S \times A)^S \ar[r]^(.4){\eta_{(S \times A)^S}} \ar[dr]_{\Un{(S \times A)^S}}
& (S\times(S \times A)^S)^S \ar[d]^{\mu_A}
& (S \times A)^S \ar[l]_(0.4){(S\times\eta_A)^S} \ar[dl]^{\Un{(S \times A)^S}} \\
& (S \times A)^S &
}
\end{xy}
\end{equation*}
を可換にし, 実際にモナドになっていることがわかる.
この余単位 $\epsilon$ を用いて, モナド $S\times(-)^S$ の積 (multiplication) $\mu : (S\times(S\times(-)^S))^S \Rightarrow (S\times-)^S$ を明示的に書き下してみる.
$\mu=(-)^S\epsilon(S\times-) : (S\times(S \times -)^S)^S \rightarrow (S\times-)^S$ である. $u \in (S\times(S \times A)^S)^S$ をとり, 状態 $s \in S$ に対して,
\begin{equation*}
u(s) = (u_1(s),u_2(s))
\end{equation*} とおく. $u_1(s) \in S$, $u_2(s) : S \rightarrow S \times A$ である.
$u_1(s)$ は状態 $s$ に対する新しい状態, $u_2(s)$ は状態 $s$ に対する新たな状態と入力の対を与える.
このとき,
\begin{equation*}
\mu_A(u)(s) = ((-)^S\epsilon(S\times-))_A(u))(s) = ((\epsilon_{S \times A})^S(u))(s) = \epsilon_{S \times A}(u(s)) = \epsilon_{S \times A}(u_1(s),u_2(s)) = u_2(s)(u_1(s))
\end{equation*} となる.
Kleisli 圏における対象は集合であり, この集合を状態の集まりであると考える.
Kleisli 圏 $\Set_{(S\times-)^S}$ における射 $f : A \rightsquigarrow B$ は $\rC$ における関数 $f : A \rightarrow (S \times B)^S$ であるが, この関数 $f$ は $f : A \times S \rightarrow B \times S$ と見なせる.
入力 $a$ と現在の状態 $s$ の対 $(a,s) \in A \times S$ に対して
\begin{equation*}
f(a,s) = (f_s(a), s'(a,s))
\end{equation*} とおく. このとき, $f_s(a)$ は入力と状態の対 $(a,s)$ によって決まる出力 $f_s(a) \in B$ と, アップデートされた状態 $s'(a,s) \in S$ の対と考えられる.
たとえば, 関数型プログラミング言語 Haskell においては, このアップデートされた状態 $s'(a,s)$ は計算 $f$ の「副作用 (side effect)」として扱われる.
**数学: モナドから導かれる随伴の圏 (3)$
モナド ── 定義と随伴により引き起こされるモナド,
随伴から導かれるモナドの例 ── maybe モナド
モナドから導かれる随伴 (1) ── Eilenberg-Moore 圏
モナドから導かれる随伴 (2) ── Kleisli 圏 の続き.
集合 $S$ を固定する. $S$ の各元を「状態」と呼ぶことにする.
与えられた集合に対して, 状態 $S$ との直積を与える関手 $S\times- : \mathbf{Set} \rightarrow \mathbf{Set}$ と, $S$ から集合 $A$ への関数の集合 (これを $A^S$ と記す) を与える関手 $(-)^S :z \mathbf{Set} \rightarrow \mathbf{Set}$ は随伴関係 $S\times- \dashv (-)^S$ をなす.
この随伴からモナド $((S\times-)^S,\eta,\mu)$ が導かれる.
単位 (unit) $\eta : 1_{\mathbf{Set}} \Rightarrow (S\times-)^S$ は各集合 $A$ に対して
\begin{equation*}
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\newdir{ >}{{ }*!/-5pt/@{>}}
\eta_A : A \rightarrow (S \times A)^S, \qquad (\eta_A(a))(s) = (s,a)
\end{equation*} と定義される. 結果の $(s,a)$ を, 入力 $a \in A$ と現在の状態 $s \in S$ の対と考える.
また, 余単位 (counit) $\epsilon : S \times (-)^S \Rightarrow \Un{\Set}$ は 状態 $s \in S$ と, 各状態における入力を与える関数 $f : S \rightarrow A$ とに対して,
\begin{equation*}
\epsilon_A : S \times A^S \rightarrow A, \qquad \epsilon_A(s,f) = f(s)
\end{equation*} と定義される. つまり, 各 $\epsilon_A : S \times A^S \rightarrow A$ は各状態における入力を与える評価関数 (evaluation function) と見なせる.
3 つ組 $((S\times-)^S,\eta,\mu)$ は図式に対する計算により
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix@=36pt {
(S\times(S\times(S \times A)^S)^S)^S
\ar[r]^(.55){(S\times\mu_A)^S}
\ar[d]_{\mu_{(S \times A)^S}}
& (S\times(S \times A)^S)^S ->
\ar[d]^{\mu_A} \\
(S\times(S \times A)^S)^S
\ar[r]_{\mu_A}
& (S \times A)^S
}
\end{xy}
\qquad
\begin{xy}
\xymatrix@=36pt {
(S \times A)^S \ar[r]^(.4){\eta_{(S \times A)^S}} \ar[dr]_{\Un{(S \times A)^S}}
& (S\times(S \times A)^S)^S \ar[d]^{\mu_A}
& (S \times A)^S \ar[l]_(0.4){(S\times\eta_A)^S} \ar[dl]^{\Un{(S \times A)^S}} \\
& (S \times A)^S &
}
\end{xy}
\end{equation*}
を可換にし, 実際にモナドになっていることがわかる.
この余単位 $\epsilon$ を用いて, モナド $S\times(-)^S$ の積 (multiplication) $\mu : (S\times(S\times(-)^S))^S \Rightarrow (S\times-)^S$ を明示的に書き下してみる.
$\mu=(-)^S\epsilon(S\times-) : (S\times(S \times -)^S)^S \rightarrow (S\times-)^S$ である. $u \in (S\times(S \times A)^S)^S$ をとり, 状態 $s \in S$ に対して,
\begin{equation*}
u(s) = (u_1(s),u_2(s))
\end{equation*} とおく. $u_1(s) \in S$, $u_2(s) : S \rightarrow S \times A$ である.
$u_1(s)$ は状態 $s$ に対する新しい状態, $u_2(s)$ は状態 $s$ に対する新たな状態と入力の対を与える.
このとき,
\begin{equation*}
\mu_A(u)(s) = ((-)^S\epsilon(S\times-))_A(u))(s) = ((\epsilon_{S \times A})^S(u))(s) = \epsilon_{S \times A}(u(s)) = \epsilon_{S \times A}(u_1(s),u_2(s)) = u_2(s)(u_1(s))
\end{equation*} となる.
Kleisli 圏における対象は集合であり, この集合を状態の集まりであると考える.
Kleisli 圏 $\Set_{(S\times-)^S}$ における射 $f : A \rightsquigarrow B$ は $\rC$ における関数 $f : A \rightarrow (S \times B)^S$ であるが, この関数 $f$ は $f : A \times S \rightarrow B \times S$ と見なせる.
入力 $a$ と現在の状態 $s$ の対 $(a,s) \in A \times S$ に対して
\begin{equation*}
f(a,s) = (f_s(a), s'(a,s))
\end{equation*} とおく. このとき, $f_s(a)$ は入力と状態の対 $(a,s)$ によって決まる出力 $f_s(a) \in B$ と, アップデートされた状態 $s'(a,s) \in S$ の対と考えられる.
たとえば, 関数型プログラミング言語 Haskell においては, このアップデートされた状態 $s'(a,s)$ は計算 $f$ の「副作用 (side effect)」として扱われる.
モナド ── 定義と随伴により引き起こされるモナド,
随伴から導かれるモナドの例 ── maybe モナド
モナドから導かれる随伴 (1) ── Eilenberg-Moore 圏
モナドから導かれる随伴 (2) ── Kleisli 圏 の続き.
集合 $S$ を固定する. $S$ の各元を「状態」と呼ぶことにする.
与えられた集合に対して, 状態 $S$ との直積を与える関手 $S\times- : \mathbf{Set} \rightarrow \mathbf{Set}$ と, $S$ から集合 $A$ への関数の集合 (これを $A^S$ と記す) を与える関手 $(-)^S : \mathbf{Set} \rightarrow \mathbf{Set}$ は随伴関係 $S\times- \dashv (-)^S$ をなす.
この随伴からモナド $((S\times-)^S,\eta,\mu)$ が導かれる.
単位 (unit) $\eta : 1_{\mathbf{Set}} \Rightarrow (S\times-)^S$ は各集合 $A$ に対して
\begin{equation*}
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\newdir{ >}{{ }*!/-5pt/@{>}}
\eta_A : A \rightarrow (S \times A)^S, \qquad (\eta_A(a))(s) = (s,a)
\end{equation*} と定義される. 結果の $(s,a)$ を, 入力 $a \in A$ と現在の状態 $s \in S$ の対と考える.
また, 余単位 (counit) $\epsilon : S \times (-)^S \Rightarrow \Un{\Set}$ は 状態 $s \in S$ と, 各状態における入力を与える関数 $f : S \rightarrow A$ とに対して,
\begin{equation*}
\epsilon_A : S \times A^S \rightarrow A, \qquad \epsilon_A(s,f) = f(s)
\end{equation*} と定義される. つまり, 各 $\epsilon_A : S \times A^S \rightarrow A$ は各状態における入力を与える評価関数 (evaluation function) と見なせる.
3 つ組 $((S\times-)^S,\eta,\mu)$ は図式に対する計算により
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix@=36pt {
(S\times(S\times(S \times A)^S)^S)^S
\ar[r]^(.55){(S\times\mu_A)^S}
\ar[d]_{\mu_{(S \times A)^S}}
& (S\times(S \times A)^S)^S ->
\ar[d]^{\mu_A} \\
(S\times(S \times A)^S)^S
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& (S \times A)^S
}
\end{xy}
\qquad
\begin{xy}
\xymatrix@=36pt {
(S \times A)^S \ar[r]^(.4){\eta_{(S \times A)^S}} \ar[dr]_{\Un{(S \times A)^S}}
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& (S \times A)^S &
}
\end{xy}
\end{equation*}
を可換にし, 実際にモナドになっていることがわかる.
この余単位 $\epsilon$ を用いて, モナド $S\times(-)^S$ の積 (multiplication) $\mu : (S\times(S\times(-)^S))^S \Rightarrow (S\times-)^S$ を明示的に書き下してみる.
$\mu=(-)^S\epsilon(S\times-) : (S\times(S \times -)^S)^S \rightarrow (S\times-)^S$ である. $u \in (S\times(S \times A)^S)^S$ をとり, 状態 $s \in S$ に対して,
\begin{equation*}
u(s) = (u_1(s),u_2(s))
\end{equation*} とおく. $u_1(s) \in S$, $u_2(s) : S \rightarrow S \times A$ である.
$u_1(s)$ は状態 $s$ に対する新しい状態, $u_2(s)$ は状態 $s$ に対する新たな状態と入力の対を与える.
このとき,
\begin{equation*}
\mu_A(u)(s) = ((-)^S\epsilon(S\times-))_A(u))(s) = ((\epsilon_{S \times A})^S(u))(s) = \epsilon_{S \times A}(u(s)) = \epsilon_{S \times A}(u_1(s),u_2(s)) = u_2(s)(u_1(s))
\end{equation*} となる.
Kleisli 圏における対象は集合であり, この集合を状態の集まりであると考える.
Kleisli 圏 $\Set_{(S\times-)^S}$ における射 $f : A \rightsquigarrow B$ は $\rC$ における関数 $f : A \rightarrow (S \times B)^S$ であるが, この関数 $f$ は $f : A \times S \rightarrow B \times S$ と見なせる.
入力 $a$ と現在の状態 $s$ の対 $(a,s) \in A \times S$ に対して
\begin{equation*}
f(a,s) = (f_s(a), s'(a,s))
\end{equation*} とおく. このとき, $f_s(a)$ は入力と状態の対 $(a,s)$ によって決まる出力 $f_s(a) \in B$ と, アップデートされた状態 $s'(a,s) \in S$ の対と考えられる.
たとえば, 関数型プログラミング言語 Haskell においては, このアップデートされた状態 $s'(a,s)$ は計算 $f$ の「副作用 (side effect)」として扱われる.
**数学: モナドから導かれる随伴の圏 (3)$
モナド ── 定義と随伴により引き起こされるモナド,
随伴から導かれるモナドの例 ── maybe モナド
モナドから導かれる随伴 (1) ── Eilenberg-Moore 圏
モナドから導かれる随伴 (2) ── Kleisli 圏 の続き.
集合 $S$ を固定する. $S$ の各元を「状態」と呼ぶことにする.
与えられた集合に対して, 状態 $S$ との直積を与える関手 $S\times- : \mathbf{Set} \rightarrow \mathbf{Set}$ と, $S$ から集合 $A$ への関数の集合 (これを $A^S$ と記す) を与える関手 $(-)^S :z \mathbf{Set} \rightarrow \mathbf{Set}$ は随伴関係 $S\times- \dashv (-)^S$ をなす.
この随伴からモナド $((S\times-)^S,\eta,\mu)$ が導かれる.
単位 (unit) $\eta : 1_{\mathbf{Set}} \Rightarrow (S\times-)^S$ は各集合 $A$ に対して
\begin{equation*}
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\end{equation*} と定義される. 結果の $(s,a)$ を, 入力 $a \in A$ と現在の状態 $s \in S$ の対と考える.
また, 余単位 (counit) $\epsilon : S \times (-)^S \Rightarrow \Un{\Set}$ は 状態 $s \in S$ と, 各状態における入力を与える関数 $f : S \rightarrow A$ とに対して,
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\epsilon_A : S \times A^S \rightarrow A, \qquad \epsilon_A(s,f) = f(s)
\end{equation*} と定義される. つまり, 各 $\epsilon_A : S \times A^S \rightarrow A$ は各状態における入力を与える評価関数 (evaluation function) と見なせる.
3 つ組 $((S\times-)^S,\eta,\mu)$ は図式に対する計算により
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(S\times(S \times A)^S)^S
\ar[r]_{\mu_A}
& (S \times A)^S
}
\end{xy}
\qquad
\begin{xy}
\xymatrix@=36pt {
(S \times A)^S \ar[r]^(.4){\eta_{(S \times A)^S}} \ar[dr]_{\Un{(S \times A)^S}}
& (S\times(S \times A)^S)^S \ar[d]^{\mu_A}
& (S \times A)^S \ar[l]_(0.4){(S\times\eta_A)^S} \ar[dl]^{\Un{(S \times A)^S}} \\
& (S \times A)^S &
}
\end{xy}
\end{equation*}
を可換にし, 実際にモナドになっていることがわかる.
この余単位 $\epsilon$ を用いて, モナド $S\times(-)^S$ の積 (multiplication) $\mu : (S\times(S\times(-)^S))^S \Rightarrow (S\times-)^S$ を明示的に書き下してみる.
$\mu=(-)^S\epsilon(S\times-) : (S\times(S \times -)^S)^S \rightarrow (S\times-)^S$ である. $u \in (S\times(S \times A)^S)^S$ をとり, 状態 $s \in S$ に対して,
\begin{equation*}
u(s) = (u_1(s),u_2(s))
\end{equation*} とおく. $u_1(s) \in S$, $u_2(s) : S \rightarrow S \times A$ である.
$u_1(s)$ は状態 $s$ に対する新しい状態, $u_2(s)$ は状態 $s$ に対する新たな状態と入力の対を与える.
このとき,
\begin{equation*}
\mu_A(u)(s) = ((-)^S\epsilon(S\times-))_A(u))(s) = ((\epsilon_{S \times A})^S(u))(s) = \epsilon_{S \times A}(u(s)) = \epsilon_{S \times A}(u_1(s),u_2(s)) = u_2(s)(u_1(s))
\end{equation*} となる.
Kleisli 圏における対象は集合であり, この集合を状態の集まりであると考える.
Kleisli 圏 $\Set_{(S\times-)^S}$ における射 $f : A \rightsquigarrow B$ は $\rC$ における関数 $f : A \rightarrow (S \times B)^S$ であるが, この関数 $f$ は $f : A \times S \rightarrow B \times S$ と見なせる.
入力 $a$ と現在の状態 $s$ の対 $(a,s) \in A \times S$ に対して
\begin{equation*}
f(a,s) = (f_s(a), s'(a,s))
\end{equation*} とおく. このとき, $f_s(a)$ は入力と状態の対 $(a,s)$ によって決まる出力 $f_s(a) \in B$ と, アップデートされた状態 $s'(a,s) \in S$ の対と考えられる.
たとえば, 関数型プログラミング言語 Haskell においては, このアップデートされた状態 $s'(a,s)$ は計算 $f$ の「副作用 (side effect)」として扱われる.
2023年07月13日
数学: モナドから導かれる随伴 (2) ── Kleisli 圏
モナド ── 定義と随伴により引き起こされるモナド,
随伴から導かれるモナドの例 ── maybe モナド
モナドから導かれる随伴 (1) ── Eilenberg-Moore 圏 の続き.
与えられたモナド $(T,\eta,\mu)$ から導かれる随伴として Eilenberg-Moore 圏を取り上げた.
ここでは, $(T,\eta,\mu)$ から導かれる別の随伴として, Kleisli 圏を定義する.
定義. $\mathrm{C}$ をモナド $(T,\eta,\mu)$ を持つ圏とする. Kleisli 圏 (Kleisli category) $\mathrm{C}_T$ は次のように構成される.
・ $\mathrm{C}$ の対象を $\mathrm{C}_T$ の対象とする.
・ $A$, $B$ を $\mathrm{C}_T$ の対象 (つまり圏 $\mathrm{C}$ の対象) とする. $\mathrm{C}_T$ における $A$ から $B$ への射 $f : A \rightsquigarrow B$ は, $\mathrm{C}$ における射 $f : A \rightarrow TB$ と定義する.
・ $\mathrm{C}_T$ の各対象 $A$ 上の恒等写像 (identity) は, 単位 $\eta_A : A \rightarrow TA$ とする.
・ $\mathrm{C}_T$ の 2 つの射 $f : A \rightsquigarrow B$, $g : B \rightsquigarrow C$ の合成 (これを $g \circ f$ と記すことにする) $g \circ f : A \rightsquigarrow C$ は, $\mathrm{C}$ における射の合成
\begin{equation*}
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\begin{xy}
\xymatrix@=32pt {
A \ar[r]^f & TB \ar[r]^{Tg} & T^2C \ar[r]^{\mu_C} & TC
}
\end{xy}
\end{equation*} と定義する.
これで $\rC_T$ は圏になる.
たとえば実際に各 $\eta_A$ が $\rC_T$ の恒等射になっていることは以下のようにしてわかる.
$f : A \rightsquigarrow B$ を $\rC_T$ の任意の射とする. $\eta : \Un{\rC} \Rightarrow T$ が自然変換であることより, 図式
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix@=32pt {
A \ar[r]^{\eta_A} \ar[d]_f & TA \ar[d]^{Tf} \\
TB \ar[r]_{\eta_{TB}} & T^2B
}
\end{xy}
\end{equation*} は可換である. また, モナドの定義から図式
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix@=32pt {
TB \ar[r]^{\eta_{TB}} \ar[dr]_{\Un{TB}} & T^2B \ar[d]^{\mu_B} & TB \ar[l]_{T\eta_B} \ar[dl]^{\Un{TB}} \\
& TB &
}
\end{xy}
\end{equation*} は可換である. これらの図式の可換性により
\begin{gather*}
f \circ \eta_A = \mu_B \cdot Tf \cdot \eta_A = \mu_B \cdot \eta_{TB} \cdot f = \Un{TB} \cdot f = f, \\
\eta_B \circ f = \mu_B \cdot T\eta_B \cdot f = \Un{B} \cdot f = f
\end{gather*} が成り立つ. よって各 $\eta_A : A \rightarrow TA$ は Kleisli 圏 $\rC_T$ の恒等射である.
例. 集合の圏 $\Set$ 上の maybe モナド $(T,\eta,\mu)=((-)_+,\eta,\mu)$ に対する Kleisli 圏 $\Set_{(-)_+}$を考える.
$\Set_{(-)_+}$ の対象は $\Set$ の対象, すなわち集合である.
$\Set_{(-)_+}$ の射 $f : A \rightsquigarrow B$ は $\Set$ の関数 $f : A \rightarrow B_+=B\amalg\{\bot_B\}$ である. この $f$ は, 次のようにして $A$ から $B$ への部分関数 (partial function), つまり $A$ の部分集合上で定義された関数と解釈することができる. $f$ を $A$ の部分集合
\begin{equation*}
A' = \{ a \in A \mid f(a) \in B \}
\end{equation*} 上でのみ定義された関数として考える. このとき補集合 $A \Bs A'$ の元は全て $\bot_B$ に移される. これらの元に対しては $f$ は未定義 (undefined) であると考える. これによって, $A'$ の元をプログラム $f$ への正常な入力, $A \Bs A'$ の元を $f$ への予期せぬ入力と見ることができる. 正常な入力 $a \in A'$ に対して $f$ は正常な出力 $f(a) \in B$ を返し, 予期せぬ入力 $a \in A \Bs A'$ に対して $f$ はエラー $\bot_B \in B_+$ を返す.
したがって, maybe モナドの Kleisli 圏は, 集合と部分関数からなる圏 $\Set^{\partial}$ と見なせる.
随伴から導かれるモナドの例 ── maybe モナド
モナドから導かれる随伴 (1) ── Eilenberg-Moore 圏 の続き.
与えられたモナド $(T,\eta,\mu)$ から導かれる随伴として Eilenberg-Moore 圏を取り上げた.
ここでは, $(T,\eta,\mu)$ から導かれる別の随伴として, Kleisli 圏を定義する.
定義. $\mathrm{C}$ をモナド $(T,\eta,\mu)$ を持つ圏とする. Kleisli 圏 (Kleisli category) $\mathrm{C}_T$ は次のように構成される.
・ $\mathrm{C}$ の対象を $\mathrm{C}_T$ の対象とする.
・ $A$, $B$ を $\mathrm{C}_T$ の対象 (つまり圏 $\mathrm{C}$ の対象) とする. $\mathrm{C}_T$ における $A$ から $B$ への射 $f : A \rightsquigarrow B$ は, $\mathrm{C}$ における射 $f : A \rightarrow TB$ と定義する.
・ $\mathrm{C}_T$ の各対象 $A$ 上の恒等写像 (identity) は, 単位 $\eta_A : A \rightarrow TA$ とする.
・ $\mathrm{C}_T$ の 2 つの射 $f : A \rightsquigarrow B$, $g : B \rightsquigarrow C$ の合成 (これを $g \circ f$ と記すことにする) $g \circ f : A \rightsquigarrow C$ は, $\mathrm{C}$ における射の合成
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\newdir{ >}{{ }*!/-5pt/@{>}}
\begin{xy}
\xymatrix@=32pt {
A \ar[r]^f & TB \ar[r]^{Tg} & T^2C \ar[r]^{\mu_C} & TC
}
\end{xy}
\end{equation*} と定義する.
これで $\rC_T$ は圏になる.
たとえば実際に各 $\eta_A$ が $\rC_T$ の恒等射になっていることは以下のようにしてわかる.
$f : A \rightsquigarrow B$ を $\rC_T$ の任意の射とする. $\eta : \Un{\rC} \Rightarrow T$ が自然変換であることより, 図式
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix@=32pt {
A \ar[r]^{\eta_A} \ar[d]_f & TA \ar[d]^{Tf} \\
TB \ar[r]_{\eta_{TB}} & T^2B
}
\end{xy}
\end{equation*} は可換である. また, モナドの定義から図式
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix@=32pt {
TB \ar[r]^{\eta_{TB}} \ar[dr]_{\Un{TB}} & T^2B \ar[d]^{\mu_B} & TB \ar[l]_{T\eta_B} \ar[dl]^{\Un{TB}} \\
& TB &
}
\end{xy}
\end{equation*} は可換である. これらの図式の可換性により
\begin{gather*}
f \circ \eta_A = \mu_B \cdot Tf \cdot \eta_A = \mu_B \cdot \eta_{TB} \cdot f = \Un{TB} \cdot f = f, \\
\eta_B \circ f = \mu_B \cdot T\eta_B \cdot f = \Un{B} \cdot f = f
\end{gather*} が成り立つ. よって各 $\eta_A : A \rightarrow TA$ は Kleisli 圏 $\rC_T$ の恒等射である.
例. 集合の圏 $\Set$ 上の maybe モナド $(T,\eta,\mu)=((-)_+,\eta,\mu)$ に対する Kleisli 圏 $\Set_{(-)_+}$を考える.
$\Set_{(-)_+}$ の対象は $\Set$ の対象, すなわち集合である.
$\Set_{(-)_+}$ の射 $f : A \rightsquigarrow B$ は $\Set$ の関数 $f : A \rightarrow B_+=B\amalg\{\bot_B\}$ である. この $f$ は, 次のようにして $A$ から $B$ への部分関数 (partial function), つまり $A$ の部分集合上で定義された関数と解釈することができる. $f$ を $A$ の部分集合
\begin{equation*}
A' = \{ a \in A \mid f(a) \in B \}
\end{equation*} 上でのみ定義された関数として考える. このとき補集合 $A \Bs A'$ の元は全て $\bot_B$ に移される. これらの元に対しては $f$ は未定義 (undefined) であると考える. これによって, $A'$ の元をプログラム $f$ への正常な入力, $A \Bs A'$ の元を $f$ への予期せぬ入力と見ることができる. 正常な入力 $a \in A'$ に対して $f$ は正常な出力 $f(a) \in B$ を返し, 予期せぬ入力 $a \in A \Bs A'$ に対して $f$ はエラー $\bot_B \in B_+$ を返す.
したがって, maybe モナドの Kleisli 圏は, 集合と部分関数からなる圏 $\Set^{\partial}$ と見なせる.
2023年06月24日
数学: モナドから導かれる随伴 (1) ── Eilenberg-Moore 圏
モナド ── 定義と随伴により引き起こされるモナド,
随伴から導かれるモナドの例 ── maybe モナド の続き.
随伴が与えられたとき, そこからモナドが構成されることを見た.
ではその逆, つまりモナドが与えられたときに何らかの仕方でそのモナドを導くような随伴を構成できるかという問題が生じる.
これに対しては, 圏 $\mathrm{C}$ 上の与えられたモナドから少なくとも 2 種類の随伴を構成できることが示せる.
1 つは Eilenbert-Moore 圏と $\mathrm{C}$ の間の随伴であり, もう 1 つは Kleisli 圏と $\mathrm{C}$ の間の随伴である.
これらは, モナド $T$ を導く全ての随伴からなる圏 $\mathbf{Adj}_T$ を考えたときに, それぞれそこにおける終対象と始対象になっている.
Eilenberg-Moore 圏を定義する.
定義. $\mathrm{C}$ をモナド $(T,\eta,\mu)$ を持つような圏とする. $T$ 上の Eilenberg-Moore 圏 (Eilenberg-Moore category) または $T$-代数の圏 (category of $T$-algebras) $\mathrm{C}^T$ を次のように構成する.
・ $\mathrm{C}$ の対象 $A$ と射 $a : TA \rightarrow A$ で, 図式
\begin{equation*}
\label{Eilenberg-Moore-category}
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\begin{xy}
\xymatrix@=24pt {
A \ar[r]^{\eta_A} \ar[dr]_{\Un{A}} & TA \ar[d]^a \\
& A
}
\qquad
\xymatrix@=24pt {
T^2A \ar[r]^{\mu_A} \ar[d]_{Ta} & TA \ar[d]^a \\
TA \ar[r]_a & A
}
\end{xy} \tag{1}
\end{equation*} を可換にするものの対 $(A,a)$ を $\rC^T$ における対象とする.
$(A,a)$, $(B,b)$ を $\rC^T$ の 2 つの対象とするとき, $\rC$ の射 $f : A \rightarrow B$ で, 図式
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix@=24pt {
TA \ar[r]^{Tf} \ar[d]_a & TB \ar[d]^b \\
A \ar[r]_f & B
}
\end{xy}
\end{equation*} を可換にするものを圏 $\rC^T$ における射 $f : (A,a) \rightarrow (B,b)$ とする.
例. 集合の圏 $\Set$ 上の maybe モナド $(T,\eta,\mu)=((-)_+,\eta,\mu)$ を考える. 簡単のために
\begin{equation*}
TA=A_+=A \amalg \{\bot_A\}
\end{equation*} と記すことにする. ここで $\bot_A$ は $A$ の元以外の元である. 具体的にはたとえば集合 $A$ 自体を考えればよい ($A_+ = A \amalg \{A\}$). このモナドから構成される Eilenberg-Moore 圏 $\Set^T$ において, 対象 $(A,a)$ は, $\rC$ の対象 $A$ と, 図式 (\ref{Eilenberg-Moore-category}) を可換にする $\rC$ の射 $a : A+ \rightarrow A$ により構成される. (\ref{Eilenberg-Moore-category}) の左の三角形の図式は, $a$ が $A \subset A_+$ 上では恒等写像であることを示している.
また, $a$ による $\bot_A \in A_+$ の移り先は $A$ のいずれかの点であり, $(A,a(\bot_A)) \in \Set_+$, より簡潔に $(A,a)$ と記すことができる.
$\Set^T$ における射 $f : (A,a) \rightarrow (B,b)$ は $\Set$ における関数 $f : A \rightarrow B$ で図式
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix@=24pt {
A_+ \ar[r]^{f_+} \ar[d]_a & B_+ \ar[d]^b \\
A \ar[r]_f & B
}
\end{xy}
\end{equation*} を可換にするものである. したがって $f(\bot_A) = \bot_B$ であり, $a(\bot_A$), $b(\bot_B)$, を単に $a,b$ と書けば $f(a) = b$ となる.
つまり, meybe モナド $(T,\eta,\mu)$ 上の Eilenberg-Moore 圏 $\Set^T$ は点付き集合の圏 $\Set_+$ と同一視できる.
Eilenberg-Moore 圏において次の補題が成り立つ.
補題. 圏 $\rC$ 上の任意のモナド $(T,\eta,\mu)$ に対して, $\rC$ と Eilenberg-Moore 圏の間の随伴
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix@=32pt {
\rC \ar@<1ex>[r]^{F^T} \ar@{}[r]|{\bot} & \rC^T \ar@<1ex>[l]^{U^T}
}
\end{xy}
\end{equation*} が存在し, この随伴から導かれるモナドは $(T,\eta,\mu)$ である.
証明は省略するが, $U^T : \rC^T \rightarrow \rC$ は忘却関手 (forgetful functor) として定まり, $F^T : \rC \rightarrow \rC^T$ は $\rC$ の対象 $A$ に対してその像を
\begin{equation*}
F^TA := (TA,\mu_A : T^2A \rightarrow TA)
\end{equation*} として, $\rC$ の射 $f : A \rightarrow B$ に対して
\begin{equation*}
F^Tf := (TA,\mu_A) \xrightarrow{Tf} (TB,\mu_B)
\end{equation*} として定まる.
定義より
\begin{equation*}
U^T F^T A = TA,
\end{equation*} すなわち $U^T F^T = T$ である.
この随伴における単位 (unit) $\eta : \Un{\rC} \Rightarrow U^T F^T$ は, モナド $(T,\eta,\mu)$ における $\eta$ そのものであり, 余単位 (counit) $\epsilon : F^T U^T \Rightarrow \Un{\rC^T}$ は $\rC^T$ の各対象 $(A,a)$ に対して
\begin{equation*}
\epsilon_{(A,a)} := a : F^T U^T A = TA \rightarrow A
\end{equation*} である. この $\epsilon$ に対して $U^T \epsilon F^T = \mu : T^2 \Rightarrow T$ が成り立つ.
随伴から導かれるモナドの例 ── maybe モナド の続き.
随伴が与えられたとき, そこからモナドが構成されることを見た.
ではその逆, つまりモナドが与えられたときに何らかの仕方でそのモナドを導くような随伴を構成できるかという問題が生じる.
これに対しては, 圏 $\mathrm{C}$ 上の与えられたモナドから少なくとも 2 種類の随伴を構成できることが示せる.
1 つは Eilenbert-Moore 圏と $\mathrm{C}$ の間の随伴であり, もう 1 つは Kleisli 圏と $\mathrm{C}$ の間の随伴である.
これらは, モナド $T$ を導く全ての随伴からなる圏 $\mathbf{Adj}_T$ を考えたときに, それぞれそこにおける終対象と始対象になっている.
Eilenberg-Moore 圏を定義する.
定義. $\mathrm{C}$ をモナド $(T,\eta,\mu)$ を持つような圏とする. $T$ 上の Eilenberg-Moore 圏 (Eilenberg-Moore category) または $T$-代数の圏 (category of $T$-algebras) $\mathrm{C}^T$ を次のように構成する.
・ $\mathrm{C}$ の対象 $A$ と射 $a : TA \rightarrow A$ で, 図式
\begin{equation*}
\label{Eilenberg-Moore-category}
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\newdir{ >}{{ }*!/-5pt/@{>}}
\begin{xy}
\xymatrix@=24pt {
A \ar[r]^{\eta_A} \ar[dr]_{\Un{A}} & TA \ar[d]^a \\
& A
}
\qquad
\xymatrix@=24pt {
T^2A \ar[r]^{\mu_A} \ar[d]_{Ta} & TA \ar[d]^a \\
TA \ar[r]_a & A
}
\end{xy} \tag{1}
\end{equation*} を可換にするものの対 $(A,a)$ を $\rC^T$ における対象とする.
$(A,a)$, $(B,b)$ を $\rC^T$ の 2 つの対象とするとき, $\rC$ の射 $f : A \rightarrow B$ で, 図式
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix@=24pt {
TA \ar[r]^{Tf} \ar[d]_a & TB \ar[d]^b \\
A \ar[r]_f & B
}
\end{xy}
\end{equation*} を可換にするものを圏 $\rC^T$ における射 $f : (A,a) \rightarrow (B,b)$ とする.
例. 集合の圏 $\Set$ 上の maybe モナド $(T,\eta,\mu)=((-)_+,\eta,\mu)$ を考える. 簡単のために
\begin{equation*}
TA=A_+=A \amalg \{\bot_A\}
\end{equation*} と記すことにする. ここで $\bot_A$ は $A$ の元以外の元である. 具体的にはたとえば集合 $A$ 自体を考えればよい ($A_+ = A \amalg \{A\}$). このモナドから構成される Eilenberg-Moore 圏 $\Set^T$ において, 対象 $(A,a)$ は, $\rC$ の対象 $A$ と, 図式 (\ref{Eilenberg-Moore-category}) を可換にする $\rC$ の射 $a : A+ \rightarrow A$ により構成される. (\ref{Eilenberg-Moore-category}) の左の三角形の図式は, $a$ が $A \subset A_+$ 上では恒等写像であることを示している.
また, $a$ による $\bot_A \in A_+$ の移り先は $A$ のいずれかの点であり, $(A,a(\bot_A)) \in \Set_+$, より簡潔に $(A,a)$ と記すことができる.
$\Set^T$ における射 $f : (A,a) \rightarrow (B,b)$ は $\Set$ における関数 $f : A \rightarrow B$ で図式
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix@=24pt {
A_+ \ar[r]^{f_+} \ar[d]_a & B_+ \ar[d]^b \\
A \ar[r]_f & B
}
\end{xy}
\end{equation*} を可換にするものである. したがって $f(\bot_A) = \bot_B$ であり, $a(\bot_A$), $b(\bot_B)$, を単に $a,b$ と書けば $f(a) = b$ となる.
つまり, meybe モナド $(T,\eta,\mu)$ 上の Eilenberg-Moore 圏 $\Set^T$ は点付き集合の圏 $\Set_+$ と同一視できる.
Eilenberg-Moore 圏において次の補題が成り立つ.
補題. 圏 $\rC$ 上の任意のモナド $(T,\eta,\mu)$ に対して, $\rC$ と Eilenberg-Moore 圏の間の随伴
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix@=32pt {
\rC \ar@<1ex>[r]^{F^T} \ar@{}[r]|{\bot} & \rC^T \ar@<1ex>[l]^{U^T}
}
\end{xy}
\end{equation*} が存在し, この随伴から導かれるモナドは $(T,\eta,\mu)$ である.
証明は省略するが, $U^T : \rC^T \rightarrow \rC$ は忘却関手 (forgetful functor) として定まり, $F^T : \rC \rightarrow \rC^T$ は $\rC$ の対象 $A$ に対してその像を
\begin{equation*}
F^TA := (TA,\mu_A : T^2A \rightarrow TA)
\end{equation*} として, $\rC$ の射 $f : A \rightarrow B$ に対して
\begin{equation*}
F^Tf := (TA,\mu_A) \xrightarrow{Tf} (TB,\mu_B)
\end{equation*} として定まる.
定義より
\begin{equation*}
U^T F^T A = TA,
\end{equation*} すなわち $U^T F^T = T$ である.
この随伴における単位 (unit) $\eta : \Un{\rC} \Rightarrow U^T F^T$ は, モナド $(T,\eta,\mu)$ における $\eta$ そのものであり, 余単位 (counit) $\epsilon : F^T U^T \Rightarrow \Un{\rC^T}$ は $\rC^T$ の各対象 $(A,a)$ に対して
\begin{equation*}
\epsilon_{(A,a)} := a : F^T U^T A = TA \rightarrow A
\end{equation*} である. この $\epsilon$ に対して $U^T \epsilon F^T = \mu : T^2 \Rightarrow T$ が成り立つ.
2023年06月06日
数学: 随伴から導かれるモナドの例 ── maybe モナド
モナド ── 定義と随伴により引き起こされるモナド では, 任意の随伴からモナドが構成されることを見た.
そのようなモナドの例として maybe モナドについて簡単にまとめる.
$\mathbf{Set}_*$ を点付き集合 (pointed set) のなす圏とする.
忘却関手 (forgetful functor) $U : \mathbf{Set}_* \rightarrow \mathbf{Set}$ は左随伴
\begin{equation}
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\begin{xy}
\xymatrix@=16pt {
(-)_+ \,:\, \mathbf{Set} \ar[r] & \mathbf{Set}_* \\
}
\end{xy}
\end{equation} を持つ.
関手 $(-)_+$ は各集合 $A$ に対して点付き集合
\begin{equation*}
A_+ = A \amalg \{ A \} = (A \amalg \{A\}, A)
\end{equation*} を対応させ, 関数 $f : A \rightarrow B$ に対して $f_+ : A_+ \rightarrow B_+$ を
\begin{equation*}
f_+(a) = \begin{cases}
f(a) & (a \in A) \\
B & (a = A)
\end{cases}
\end{equation*} として対応させる.
また, これに伴う単位 (unit) $\eta : \Un{\Set} \Rightarrow U(-)_+$ は, 各集合 $A$ に対して
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix@=16pt@R=0pc {
\eta_A \,:\, A \ar[r] & A_+ \\
\hspace{2em}a \ar@{}[r]|(.6){\mapsto} & a
}
\end{xy}
\end{equation*} により, また余単位 (counit) $\epsilon : (-)_+ U \Rightarrow \Un{\Set_+}$ は, 各点付き集合 $(A,a_0)$ に対して
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix@=16pt@R=0pc {
\epsilon_A \,:\, A_+ \ar[r] & (A,a_0) & \\
\hspace{1.6em}a \ar@{}[r]|(.6){\mapsto} & a & (a \in A) \\
\hspace{1.6em}A \ar@{}[r]|(.6){\mapsto} & a_0 & (a = A)
}
\end{xy}
\end{equation*} により与えられる.
この随伴
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix@=32pt {
\Set_* \ar@<1ex>[r]^{(-)_+} \ar@{}[r]|{\bot} & \Set \ar@<1ex>[l]^{U}
}
\end{xy}
\end{equation*} から導かれるモナドを maybe モナドと呼ぶ.
maybe モナドを実際に構築してみる.
関手 $T : \Set \rightarrow \Set$ は $T=U(-)_+$ によって与えられる. 集合 $A$ に対して
\begin{equation*}
TA = A_+ = A \amalg \{A\}
\end{equation*} であり, 関数 $f : A \rightarrow B$ に対して
\begin{equation*}
Tf = f_+ : A_+ \rightarrow B_+
\end{equation*} である.
単位 (unit) は $\eta : \Un{\Set} \Rightarrow T$ で定まる.
積 (multiplication) は, 各集合 $A$ に対して
\begin{equation*}
(A_+)_+ = (A \amalg \{A\}) \amalg \{A \amalg \{A\}\} = (A \amalg \{A\}) \amalg \{A_+\}
\end{equation*} であるが
\begin{equation*} .
\begin{xy}
\xymatrix@=16pt@R=0pc {
\mu \,:\, (A_+)_+ \ar[r] & A_+ & \\
\hspace{2em}a \ar@{}[r]|(.6){\mapsto} & a & (a \in A) \\
\hspace{2em}A \ar@{}[r]|(.6){\mapsto} & A & (a = A) \\
\hspace{2em}A_+ \ar@{}[r]|(.6){\mapsto} & A & (a = A_+) \\
}
\end{xy}
\end{equation*} により定まる.
$(T,\eta,\mu)$ が実際にモナドになっていることを示す. 図式
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix@=24pt {
T^3A \ar[r]^{T\mu_A} \ar[d]_{\mu_{TA}} & T^2A \ar[d]^{\mu} \\
T^2A \ar[r]_{\mu} & T
}
\qquad
\xymatrix {
TA \ar[r]^{\eta_{TA}} \ar[dr]_{\Un{TA}} & T^2A \ar[d]^{\mu} & TA \ar[l]_{T\eta_A} \ar[dl]^{\Un{TA}} \\
& TA &
}
\end{xy}
\end{equation*} を考える.
$a \in T^3A = ((A_+)_+)_+ = ((A \amalg \{A\}) \amalg \{A_+\}) \amalg \{(A_+)_+\}$ に対して
\begin{equation*}
T\mu_A(a) = \begin{cases}
a & (a \in (A_+)_+) \\
A_+ & (a = (A_+)_+),
\end{cases}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\mu_{TA}(a) = \begin{cases}
a & (a \in A_+) \\
A_+ & (a = A_+, (A_+)_+),
\end{cases}
\end{equation*} だから
\begin{equation*}
\mu_A T\mu_A(a) = \begin{cases}
a & (a \in A) \\
A & (a=A, A_+, (A_+)_+)
\end{cases}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\mu_A \mu_{TA}(a) = \begin{cases}
a & (a \in A) \\
A & (a=A, A_+, (A_+)_+)
\end{cases}
\end{equation*} となり, 左の図式は可換である.
また, $a \in TA$ に対して
\begin{equation*}
\eta_{TA}(a) = \begin{cases}
a & (a \in TA)
\end{cases}
\end{equation*}
\begin{equation*}
T\eta_A(a) = \begin{cases}
a & (a \in A) \\
A & (a = A)
\end{cases}
\end{equation*} だから
\begin{equation*}
\mu \eta_{TA}(a) = \begin{cases}
a & (a \in A) \\
A & (a = A)
\end{cases}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\mu T\eta_A(a) = \begin{cases}
a & (a \in A) \\
A & (a = A)
\end{cases}
\end{equation*} となり, 右側の図式も可換である.
したがって maybe モナド $(T,\eta,\mu)$ は確かにモナドである.
プログラミングとの関係で言えば, 任意の関数 $f : A \rightarrow B$ を実装したプログラム $f_+ : A_+ \rightarrow B_+$ は, 入力 $a \in A$ に対しては出力として正常値 $f(a) \in B$ を返し, 予期せぬ入力 $a=A$ に対してはエラー値 $f_+(A) = B$ を返すということになる.
そのようなモナドの例として maybe モナドについて簡単にまとめる.
$\mathbf{Set}_*$ を点付き集合 (pointed set) のなす圏とする.
忘却関手 (forgetful functor) $U : \mathbf{Set}_* \rightarrow \mathbf{Set}$ は左随伴
\begin{equation}
\DeclareMathOperator{\Aff}{Aff}
\DeclareMathOperator{\Ar}{Ar}
\DeclareMathOperator{\Arccos}{Arccos}
\DeclareMathOperator{\Arcsin}{Arcsin}
\DeclareMathOperator{\Arr}{Arr}
\DeclareMathOperator{\arr}{arr}
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\DeclareMathOperator{\Auto}{Auto}
\DeclareMathOperator{\Axiom}{Axiom}
\DeclareMathOperator{\Bilin}{Bilin}
\DeclareMathOperator{\card}{card}
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\DeclareMathOperator{\Cocone}{Cocone}
\DeclareMathOperator{\Cod}{cod}
\DeclareMathOperator{\Codomain}{cod}
\DeclareMathOperator{\Coin}{coin}
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\DeclareMathOperator{\Colim}{colim}
\DeclareMathOperator{\comp}{comp}
\DeclareMathOperator{\Conf}{Conf}
\DeclareMathOperator{\Conj}{Conj}
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\DeclareMathOperator{\Domain}{dom}
\DeclareMathOperator{\Edge}{Edge}
\DeclareMathOperator{\Ev}{ev}
\DeclareMathOperator{\GCD}{gcd}
\DeclareMathOperator{\Gr}{Gr}
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\DeclareMathOperator{\Id}{id}
\DeclareMathOperator{\IM}{Im}
\DeclareMathOperator{\im}{im}
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\DeclareMathOperator{\INIT}{init}
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\DeclareMathOperator{\Map}{Map}
\DeclareMathOperator{\mor}{arr}
\DeclareMathOperator{\Nat}{Nat}
\DeclareMathOperator{\Ob}{Ob}
\DeclareMathOperator{\ob}{ob}
\DeclareMathOperator{\ord}{ord}
\DeclareMathOperator{\Path}{Path}
\DeclareMathOperator{\PConf}{PConf}
\DeclareMathOperator{\Point}{Point}
\DeclareMathOperator{\Prob}{Prob}
\DeclareMathOperator{\RE}{Re}
\DeclareMathOperator{\Res}{res}
\DeclareMathOperator{\Sect}{Sect}
\DeclareMathOperator{\SF}{SF}
\DeclareMathOperator{\SkelCat}{sk}
\DeclareMathOperator{\Spec}{Spec}
\DeclareMathOperator{\Sq}{Sq}
\DeclareMathOperator{\Struct}{Struct}
\DeclareMathOperator{\Sub}{Sub}
\DeclareMathOperator{\Sym}{Sym}
\DeclareMathOperator{\TERM}{term}
\DeclareMathOperator{\Vertex}{Vert}
\newcommand{\Abs}[1]{\lvert{#1}\rvert}
\newcommand{\Bs}{\backslash}
\newcommand{\Cdot}{\,\cdot^{\mathrm{op}}}
\newcommand{\Comma}[2]{{{#1}\!\downarrow\!{#2}}}
\newcommand{\CommaCat}[2]{(#1/#2)}
\newcommand{\Complement}[1]{{\smash[t]{\mathstrut #1}}^{\mathrm{c}}}
\newcommand{\Emph}[1]{\textit{#1}}
\newcommand{\Eqclass}[4]{{#1#2#3}_{#4}}
\newcommand{\EqCls}[2]{{\left[#1\right]}_{#2}}
\newcommand{\Eqcls}[1]{\left[#1\right]}
\newcommand{\Expt}[2]{{\smash[t]{\mathstrut #1}}^{\mathstrut #2}}
\newcommand{\FnRest}[2]{{#1}|{#2}}
\newcommand{\Func}[2]{\mathrm{Func}(#1,#2)}
\newcommand{\g}{\varg}
\newcommand{\Inc}[2]{\mathrm{incl}\left(#1,#2\right)}
\newcommand{\Incl}[2]{\mathrm{incl}_{#1}^{#2}}
\newcommand{\InclArrow}[2]{\morphism(0,0)/>->/<450,0>[\Incl{#1}{#2} : {#1}\,\,`{#2};]}
\newcommand{\Ip}{\amalg}
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\newcommand{\LH}{\mathrm{LH}}
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\newcommand{\Leadsto}{\quad\leadsto\quad}
\newcommand{\Lrsquigarrow}{\quad\leftrightsquigarrow\quad}
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\newcommand{\newinf}{\mathop{\mathrm{inf}\vphantom{\mathrm{sup}}}}
\newcommand{\newsup}{\mathop{\smash{\mathrm{sup}}}}
\newcommand{\Opp}[1]{#1^{\mathrm{op}}}
\newcommand{\Prj}[2]{\mathrm{proj}\left(#1,#2\right)}
\newcommand{\Proj}[2]{\mathrm{proj}^{#1}_{#2}}
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\newcommand{\Rel}[1]{\langle{#1}\rangle}
\newcommand{\Rest}[2]{{#1}|{#2}}
\newcommand{\Slash}[1]{{\ooalign{\hfil/\hfil\crcr$#1$}}}
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\newcommand{\Src}{d^{0,\mathrm{op}}}
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\newcommand{\TwArCat}[1]{\mathrm{Tw}(#1)}
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\newcommand{\Poset}{\mathbf{Poset}}
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\newdir{ >}{{ }*!/-5pt/@{>}}
\begin{xy}
\xymatrix@=16pt {
(-)_+ \,:\, \mathbf{Set} \ar[r] & \mathbf{Set}_* \\
}
\end{xy}
\end{equation} を持つ.
関手 $(-)_+$ は各集合 $A$ に対して点付き集合
\begin{equation*}
A_+ = A \amalg \{ A \} = (A \amalg \{A\}, A)
\end{equation*} を対応させ, 関数 $f : A \rightarrow B$ に対して $f_+ : A_+ \rightarrow B_+$ を
\begin{equation*}
f_+(a) = \begin{cases}
f(a) & (a \in A) \\
B & (a = A)
\end{cases}
\end{equation*} として対応させる.
また, これに伴う単位 (unit) $\eta : \Un{\Set} \Rightarrow U(-)_+$ は, 各集合 $A$ に対して
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix@=16pt@R=0pc {
\eta_A \,:\, A \ar[r] & A_+ \\
\hspace{2em}a \ar@{}[r]|(.6){\mapsto} & a
}
\end{xy}
\end{equation*} により, また余単位 (counit) $\epsilon : (-)_+ U \Rightarrow \Un{\Set_+}$ は, 各点付き集合 $(A,a_0)$ に対して
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix@=16pt@R=0pc {
\epsilon_A \,:\, A_+ \ar[r] & (A,a_0) & \\
\hspace{1.6em}a \ar@{}[r]|(.6){\mapsto} & a & (a \in A) \\
\hspace{1.6em}A \ar@{}[r]|(.6){\mapsto} & a_0 & (a = A)
}
\end{xy}
\end{equation*} により与えられる.
この随伴
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix@=32pt {
\Set_* \ar@<1ex>[r]^{(-)_+} \ar@{}[r]|{\bot} & \Set \ar@<1ex>[l]^{U}
}
\end{xy}
\end{equation*} から導かれるモナドを maybe モナドと呼ぶ.
maybe モナドを実際に構築してみる.
関手 $T : \Set \rightarrow \Set$ は $T=U(-)_+$ によって与えられる. 集合 $A$ に対して
\begin{equation*}
TA = A_+ = A \amalg \{A\}
\end{equation*} であり, 関数 $f : A \rightarrow B$ に対して
\begin{equation*}
Tf = f_+ : A_+ \rightarrow B_+
\end{equation*} である.
単位 (unit) は $\eta : \Un{\Set} \Rightarrow T$ で定まる.
積 (multiplication) は, 各集合 $A$ に対して
\begin{equation*}
(A_+)_+ = (A \amalg \{A\}) \amalg \{A \amalg \{A\}\} = (A \amalg \{A\}) \amalg \{A_+\}
\end{equation*} であるが
\begin{equation*} .
\begin{xy}
\xymatrix@=16pt@R=0pc {
\mu \,:\, (A_+)_+ \ar[r] & A_+ & \\
\hspace{2em}a \ar@{}[r]|(.6){\mapsto} & a & (a \in A) \\
\hspace{2em}A \ar@{}[r]|(.6){\mapsto} & A & (a = A) \\
\hspace{2em}A_+ \ar@{}[r]|(.6){\mapsto} & A & (a = A_+) \\
}
\end{xy}
\end{equation*} により定まる.
$(T,\eta,\mu)$ が実際にモナドになっていることを示す. 図式
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix@=24pt {
T^3A \ar[r]^{T\mu_A} \ar[d]_{\mu_{TA}} & T^2A \ar[d]^{\mu} \\
T^2A \ar[r]_{\mu} & T
}
\qquad
\xymatrix {
TA \ar[r]^{\eta_{TA}} \ar[dr]_{\Un{TA}} & T^2A \ar[d]^{\mu} & TA \ar[l]_{T\eta_A} \ar[dl]^{\Un{TA}} \\
& TA &
}
\end{xy}
\end{equation*} を考える.
$a \in T^3A = ((A_+)_+)_+ = ((A \amalg \{A\}) \amalg \{A_+\}) \amalg \{(A_+)_+\}$ に対して
\begin{equation*}
T\mu_A(a) = \begin{cases}
a & (a \in (A_+)_+) \\
A_+ & (a = (A_+)_+),
\end{cases}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\mu_{TA}(a) = \begin{cases}
a & (a \in A_+) \\
A_+ & (a = A_+, (A_+)_+),
\end{cases}
\end{equation*} だから
\begin{equation*}
\mu_A T\mu_A(a) = \begin{cases}
a & (a \in A) \\
A & (a=A, A_+, (A_+)_+)
\end{cases}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\mu_A \mu_{TA}(a) = \begin{cases}
a & (a \in A) \\
A & (a=A, A_+, (A_+)_+)
\end{cases}
\end{equation*} となり, 左の図式は可換である.
また, $a \in TA$ に対して
\begin{equation*}
\eta_{TA}(a) = \begin{cases}
a & (a \in TA)
\end{cases}
\end{equation*}
\begin{equation*}
T\eta_A(a) = \begin{cases}
a & (a \in A) \\
A & (a = A)
\end{cases}
\end{equation*} だから
\begin{equation*}
\mu \eta_{TA}(a) = \begin{cases}
a & (a \in A) \\
A & (a = A)
\end{cases}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\mu T\eta_A(a) = \begin{cases}
a & (a \in A) \\
A & (a = A)
\end{cases}
\end{equation*} となり, 右側の図式も可換である.
したがって maybe モナド $(T,\eta,\mu)$ は確かにモナドである.
プログラミングとの関係で言えば, 任意の関数 $f : A \rightarrow B$ を実装したプログラム $f_+ : A_+ \rightarrow B_+$ は, 入力 $a \in A$ に対しては出力として正常値 $f(a) \in B$ を返し, 予期せぬ入力 $a=A$ に対してはエラー値 $f_+(A) = B$ を返すということになる.
2023年03月26日
数学: モナド ── 定義と随伴により引き起こされるモナド
モナドの概念をまとめておく.
定義等は Emily Riehl の教科書 "Category Theory in Context" に従う.
定義.圏 $\mathrm{C}$ におけるモナド (monad) は 3 つ組 $(T,\eta,\mu)$:
・ 関手 $T : \mathrm{C} \rightarrow \mathrm{C}$;
・ 単位 (unit)と呼ばれる自然変換 $\eta : 1_{\mathrm{C}} \Rightarrow T$;
・ 積 (multiplication)と呼ばれる自然変換 $\mu : T^2 \Rightarrow T$
で, 以下の図式を可換にするものである.
\begin{equation*}
\DeclareMathOperator{\Aff}{Aff}
\DeclareMathOperator{\Ar}{Ar}
\DeclareMathOperator{\Arccos}{Arccos}
\DeclareMathOperator{\Arcsin}{Arcsin}
\DeclareMathOperator{\Arr}{Arr}
\DeclareMathOperator{\arr}{arr}
\DeclareMathOperator{\Aut}{Aut}
\DeclareMathOperator{\Auto}{Auto}
\DeclareMathOperator{\Axiom}{Axiom}
\DeclareMathOperator{\Bilin}{Bilin}
\DeclareMathOperator{\card}{card}
\DeclareMathOperator{\Catelem}{\int}
\DeclareMathOperator{\Cocone}{Cocone}
\DeclareMathOperator{\Cod}{cod}
\DeclareMathOperator{\Codomain}{cod}
\DeclareMathOperator{\Coin}{coin}
\DeclareMathOperator{\coker}{coker}
\DeclareMathOperator{\Colim}{colim}
\DeclareMathOperator{\comp}{comp}
\DeclareMathOperator{\Conf}{Conf}
\DeclareMathOperator{\Conj}{Conj}
\DeclareMathOperator{\Dom}{dom}
\DeclareMathOperator{\Domain}{dom}
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\DeclareMathOperator{\Gr}{Gr}
\DeclareMathOperator{\Hom}{Hom}
\DeclareMathOperator{\Id}{id}
\DeclareMathOperator{\IM}{Im}
\DeclareMathOperator{\im}{im}
\DeclareMathOperator{\Ind}{ind}
\DeclareMathOperator{\INIT}{init}
\DeclareMathOperator{\iso}{iso}
\DeclareMathOperator{\LCM}{lcm}
\DeclareMathOperator{\Map}{Map}
\DeclareMathOperator{\mor}{arr}
\DeclareMathOperator{\Nat}{Nat}
\DeclareMathOperator{\Ob}{Ob}
\DeclareMathOperator{\ob}{ob}
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\DeclareMathOperator{\Path}{Path}
\DeclareMathOperator{\PConf}{PConf}
\DeclareMathOperator{\Point}{Point}
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\DeclareMathOperator{\Sect}{Sect}
\DeclareMathOperator{\SF}{SF}
\DeclareMathOperator{\SkelCat}{sk}
\DeclareMathOperator{\Spec}{Spec}
\DeclareMathOperator{\Sq}{Sq}
\DeclareMathOperator{\Struct}{Struct}
\DeclareMathOperator{\Sub}{Sub}
\DeclareMathOperator{\Sym}{Sym}
\DeclareMathOperator{\TERM}{term}
\DeclareMathOperator{\Vertex}{Vert}
\newcommand{\Abs}[1]{\lvert{#1}\rvert}
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\newcommand{\Comma}[2]{{{#1}\!\downarrow\!{#2}}}
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\newcommand{\Complement}[1]{{\smash[t]{\mathstrut #1}}^{\mathrm{c}}}
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\newcommand{\EqCls}[2]{{\left[#1\right]}_{#2}}
\newcommand{\Eqcls}[1]{\left[#1\right]}
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\newcommand{\FnRest}[2]{{#1}|{#2}}
\newcommand{\Func}[2]{\mathrm{Func}(#1,#2)}
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\newcommand{\Inc}[2]{\mathrm{incl}\left(#1,#2\right)}
\newcommand{\Incl}[2]{\mathrm{incl}_{#1}^{#2}}
\newcommand{\InclArrow}[2]{\morphism(0,0)/>->/<450,0>[\Incl{#1}{#2} : {#1}\,\,`{#2};]}
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\newcommand{\Mi}[1]{\mathit{#1}}
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\newcommand{\newsup}{\mathop{\smash{\mathrm{sup}}}}
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\newcommand{\bby}{\mathbbm{y}}
\newcommand{\bbz}{\mathbbm{z}}
\begin{xy}
\xymatrix@=24pt {
T^3 \ar@{=>}[d]_{\mu T} \ar@{=>}[r]^{T \mu} & T^2 \ar@{=>}[d]^{\mu} \\
T^2 \ar@{=>}[r]_{\mu} & T
}
\qquad
\xymatrix@=24pt {
T \ar@{=>}[r]^{\eta T} \ar@{=>}[dr]_{\Un{T}}
& T^2 \ar@{=>}[d]^{\mu}
& T \ar@{=>}[l]_{T \eta} \ar@{=>}[dl]^{\Un{T}} \\
& T &
}
\end{xy}
\end{equation*}
補題. 任意の随伴
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix@=24pt {
\rC \ar@<1ex>[r]^F \ar@{}[r]|{\bot} & \rD \ar@<1ex>[l]^U
}
\end{xy}
\qquad
\eta : \Un{\rC} \Rightarrow UF,
\quad
\epsilon : FU \Rightarrow \Un{\rD}
\end{equation*} は以下の構成により左随伴の定義域の圏 $\rC$ 上のモナドを引き起こす:
・ 関手 $T : \rC \rightarrow \rC$ は $UF$ により与えられる.
・ 単位 $\eta : \Un{\rC} \Rightarrow UF$ がモナドの単位 $\eta : \Un{\rC} \Rightarrow T$ となる.
・ $U \epsilon F : UFUF \Rightarrow UF$ がモナドの積 $\mu : T^2 \Rightarrow T$ となる.
証明 (概略).
まず, 図式
\begin{equation}
\label{dgm:1}
\begin{xy}
\xymatrix@=24pt {
UF \ar@{=>}[r]^{\eta UF} \ar@{=>}[dr]_{\Un{UF}} & UFUF \ar@{=>}[d]^{U \epsilon F} & UF \ar@{=>}[l]_{UF\eta} \ar@{=>}[dl]^{\Un{UF}} \\
& UF &
}
\end{xy} \tag{1}
\end{equation}
を考える.
随伴の単位 (unit) $\eta : \Un{\rC} \Rightarrow UF$, 余単位 (counit) $\epsilon : FU \Rightarrow \Un{\rD}$ は三角恒等式 (triangle identities)
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix@=24pt {
F \ar@{=>}[r]^{F\eta} \ar@{=>}[dr]_{\Un{F}} & FUF \ar@{=>}[d]^{\epsilon F} \\
& F
}
\end{xy}
\qquad
\begin{xy}
\xymatrix@=24pt {
U \ar@{=>}[r]^{\eta U} \ar@{=>}[dr]_{\Un{U}} & UFU \ar@{=>}[d]^{U\epsilon} \\
& U
}
\end{xy}
\end{equation*} を可換にする.
左の三角形に $U$ を適用すると (\ref{dgm:1}) の右側の三角形が得られる.
右の三角形を $F$ に適用すると (\ref{dgm:1}) の左側の三角形が得られる.
よって, 図式 (\ref{dgm:1}) は可換である.
次に図式
\begin{equation}
\label{dgm:2}
\begin{xy}
\xymatrix@=24pt {
UFUFUF \ar@{=>}[d]_{U \epsilon FUF} \ar@{=>}[rr]^{UFU \epsilon F} && UFUF \ar@{=>}[d]^{U \epsilon F} \\
UFUF \ar@{=>}[rr]_{U \epsilon F} && UF
}
\end{xy} \tag{2}
\end{equation} を考える.
任意の対象 $c\in\rC$ にこの図式を適用すると,
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix@=24pt {
UFU(FUFc) \ar[d]_{U\epsilon_{FUFc}} \ar[rr]^{UFU(\epsilon_{Fc})} && UFU(Fc) \ar[d]^{U\epsilon_{Fc}} \\
U(FUFc) \ar[rr]_{U(\epsilon_{Fc})} && U(Fc)
}
\end{xy}
\end{equation*} となり, これは自然変換 $U\epsilon : UFU \Rightarrow U$ の $c$ における可換性を示す図式に他ならない.
よって, 図式 (\ref{dgm:2}) も可換となり, $(UF,\eta,U\epsilon F)$ はモナドとなる.
これにより, 関手の随伴が与えられれば, それに伴うモナドが構成されることになる.
定義等は Emily Riehl の教科書 "Category Theory in Context" に従う.
定義.圏 $\mathrm{C}$ におけるモナド (monad) は 3 つ組 $(T,\eta,\mu)$:
・ 関手 $T : \mathrm{C} \rightarrow \mathrm{C}$;
・ 単位 (unit)と呼ばれる自然変換 $\eta : 1_{\mathrm{C}} \Rightarrow T$;
・ 積 (multiplication)と呼ばれる自然変換 $\mu : T^2 \Rightarrow T$
で, 以下の図式を可換にするものである.
\begin{equation*}
\DeclareMathOperator{\Aff}{Aff}
\DeclareMathOperator{\Ar}{Ar}
\DeclareMathOperator{\Arccos}{Arccos}
\DeclareMathOperator{\Arcsin}{Arcsin}
\DeclareMathOperator{\Arr}{Arr}
\DeclareMathOperator{\arr}{arr}
\DeclareMathOperator{\Aut}{Aut}
\DeclareMathOperator{\Auto}{Auto}
\DeclareMathOperator{\Axiom}{Axiom}
\DeclareMathOperator{\Bilin}{Bilin}
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\begin{xy}
\xymatrix@=24pt {
T^3 \ar@{=>}[d]_{\mu T} \ar@{=>}[r]^{T \mu} & T^2 \ar@{=>}[d]^{\mu} \\
T^2 \ar@{=>}[r]_{\mu} & T
}
\qquad
\xymatrix@=24pt {
T \ar@{=>}[r]^{\eta T} \ar@{=>}[dr]_{\Un{T}}
& T^2 \ar@{=>}[d]^{\mu}
& T \ar@{=>}[l]_{T \eta} \ar@{=>}[dl]^{\Un{T}} \\
& T &
}
\end{xy}
\end{equation*}
補題. 任意の随伴
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix@=24pt {
\rC \ar@<1ex>[r]^F \ar@{}[r]|{\bot} & \rD \ar@<1ex>[l]^U
}
\end{xy}
\qquad
\eta : \Un{\rC} \Rightarrow UF,
\quad
\epsilon : FU \Rightarrow \Un{\rD}
\end{equation*} は以下の構成により左随伴の定義域の圏 $\rC$ 上のモナドを引き起こす:
・ 関手 $T : \rC \rightarrow \rC$ は $UF$ により与えられる.
・ 単位 $\eta : \Un{\rC} \Rightarrow UF$ がモナドの単位 $\eta : \Un{\rC} \Rightarrow T$ となる.
・ $U \epsilon F : UFUF \Rightarrow UF$ がモナドの積 $\mu : T^2 \Rightarrow T$ となる.
証明 (概略).
まず, 図式
\begin{equation}
\label{dgm:1}
\begin{xy}
\xymatrix@=24pt {
UF \ar@{=>}[r]^{\eta UF} \ar@{=>}[dr]_{\Un{UF}} & UFUF \ar@{=>}[d]^{U \epsilon F} & UF \ar@{=>}[l]_{UF\eta} \ar@{=>}[dl]^{\Un{UF}} \\
& UF &
}
\end{xy} \tag{1}
\end{equation}
を考える.
随伴の単位 (unit) $\eta : \Un{\rC} \Rightarrow UF$, 余単位 (counit) $\epsilon : FU \Rightarrow \Un{\rD}$ は三角恒等式 (triangle identities)
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix@=24pt {
F \ar@{=>}[r]^{F\eta} \ar@{=>}[dr]_{\Un{F}} & FUF \ar@{=>}[d]^{\epsilon F} \\
& F
}
\end{xy}
\qquad
\begin{xy}
\xymatrix@=24pt {
U \ar@{=>}[r]^{\eta U} \ar@{=>}[dr]_{\Un{U}} & UFU \ar@{=>}[d]^{U\epsilon} \\
& U
}
\end{xy}
\end{equation*} を可換にする.
左の三角形に $U$ を適用すると (\ref{dgm:1}) の右側の三角形が得られる.
右の三角形を $F$ に適用すると (\ref{dgm:1}) の左側の三角形が得られる.
よって, 図式 (\ref{dgm:1}) は可換である.
次に図式
\begin{equation}
\label{dgm:2}
\begin{xy}
\xymatrix@=24pt {
UFUFUF \ar@{=>}[d]_{U \epsilon FUF} \ar@{=>}[rr]^{UFU \epsilon F} && UFUF \ar@{=>}[d]^{U \epsilon F} \\
UFUF \ar@{=>}[rr]_{U \epsilon F} && UF
}
\end{xy} \tag{2}
\end{equation} を考える.
任意の対象 $c\in\rC$ にこの図式を適用すると,
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix@=24pt {
UFU(FUFc) \ar[d]_{U\epsilon_{FUFc}} \ar[rr]^{UFU(\epsilon_{Fc})} && UFU(Fc) \ar[d]^{U\epsilon_{Fc}} \\
U(FUFc) \ar[rr]_{U(\epsilon_{Fc})} && U(Fc)
}
\end{xy}
\end{equation*} となり, これは自然変換 $U\epsilon : UFU \Rightarrow U$ の $c$ における可換性を示す図式に他ならない.
よって, 図式 (\ref{dgm:2}) も可換となり, $(UF,\eta,U\epsilon F)$ はモナドとなる.
これにより, 関手の随伴が与えられれば, それに伴うモナドが構成されることになる.
2022年12月11日
数学: 環の定義
環論の復習をしている.
教科書は van der Waerden の "Algebra" で, そこにおける環の定義は次のようなものである.
定義.集合 $R$ において, 以下が成り立つとき, $R$ は環 (ring) であるという.
I. 加法律
和と呼ばれる演算 $+$ が定義されていて以下を満たす.
a) 加法の結合法則: 任意の $a,b,c \in R$ に対して
\begin{equation*}
(a+b)+c = a+(b+c)
\end{equation*}
が成り立つ.
b) 加法の可換性: 任意の $a,b \in R$ に対して
\begin{equation*}
a+b=b+a
\end{equation*}
が成り立つ.
c) 加法の左単位元の存在: $R$ のある元 $0$ で, 任意の $R$ の元 $a$ に対して
\begin{equation*}
0 + a = a
\end{equation*}
を満たすものが存在する. $0$ を加法に関する左単位元と呼ぶ.
d) 加法の左逆元の存在: 任意の $R$ の元 $a$ に対して, ある $R$ の元 $b$ が存在して
\begin{equation*}
b+a = 0
\end{equation*}
が成り立つ. $b$ を $-a$ と記す.
II. 乗法律.
積と呼ばれる演算 $\cdot$ が定義されていて以下を満たす. なお, 積 $a \cdot b$ を単に $ab$ とも記す.
a) 乗法の結合法則: 任意の $a,b,c \in R$ に対して
\begin{equation*}
a \cdot bc = ab \cdot c
\end{equation*}
が成り立つ.
III. 分配法則.
任意の $a,b,c \in R$ に対して
\begin{align*}
a \cdot (b+c) & = ab+ac, \\
(b+c) \cdot a & = ba+ca
\end{align*}
が成り立つ.
さらに, 条件
II. b) 乗法の可換性: 任意の $a,b \in R$ に対して
\begin{equation*}
ab = ba.
\end{equation*}
が成り立つとき, $R$ を可換環 (commutative ring) と呼ぶ.
なお, この定義では, 加法に関する右単位元や右逆元の存在などは仮定されていない.
これらの存在は加法の可換性 I. b) を使用すればすぐに導かれる.
以下ではあえて加法の可換性を使わずに存在および一意性を導いてみる.
なお, 以下において加法の結合法則は暗黙のうちに使用する.
$R$ を環とし, $a \in R$ とする.
I. d) によって $a$ の左逆元 $-a$ が存在して
\begin{equation*}
(-a)+a = 0
\end{equation*}
が成り立つ. 両辺に右側から $-a$ を加えると I. c) により,
\begin{equation*}
(-a)+a+(-a) = 0+(-a) = -a.
\end{equation*}
$-a$ の加法に関する左逆元 $-(-a)$ を両辺に左側から加えることにより,
\begin{align*}
-(-a)+(-a)+a+(-a) & = -(-a)+(-a) = 0, \\
0+a+(-a) & = 0, \\
a+(-a) & = 0.
\end{align*}
よって $a$ の左逆元 $-a$ は同時に $a$ の右逆元でもある.
$-a$ を単に $a$ の加法に関する逆元と呼ぶ.
次に $0$ を $R$ における任意の左単位元とする. 任意の $a \in R$ に対して
\begin{equation*}
(-a)+a=0
\end{equation*}
が成り立つが, この式の両辺に $0$ を右側から加えると, I. c) により
\begin{equation*}
(-a)+a+0 = 0+0 = 0
\end{equation*}
が成り立つ. この式の両辺に $-(-a)$ を左側から加えると,
\begin{align*}
-(-a)+(-a)+a+0 & = 0, \\
0+a+0 & = 0, \\
a+0 & = 0
\end{align*}
となる. よって $0$ は $R$ の加法に関する右単位元でもある.
$0$ を単に $R$ の加法に関する単位元と呼ぶ.
加法の逆元の一意性を示す.
$b \in R$ を $a$ の任意の加法に関する左逆元とすると,
\begin{equation*}
b+a = 0
\end{equation*}
となるが, $a$ の右逆元 $-a$ をこの式の右側から加えると, $0$ が $R$ の加法に関する右単位元でもあることから,
\begin{align*}
b+a+(-a) & = 0+(-a), \\
b+0 & = -a, \\
b & = -a.
\end{align*}
したがって, 各 $a$ に対して, その逆元 $-a$ は一意的に定まる.
加法の単位元 $0$ の一意性を示す.
$R$ の元 $b$ が, 任意の $a \in R$ に対して
\begin{equation*}
b+a = a
\end{equation*}
を満たすとする. この式の両辺に $a$ の逆元 $-a$ を右側から加えると, $0$ が $R$ の加法に関する右逆元でもあることから
\begin{align*}
b+a+(-a) & = a+(-a), \\
b+0 & = 0, \\
b & = 0
\end{align*}
が成り立つ. よって, $R$ の加法に関する逆元 $0$ は一意的に定まる.
したがって, 環 $R$ は加法に関して一意的な単位元と各元 $a \in R$ に対する一意的な逆元を持ち, 群をなす.
環論においては, 単位元 $e$ を持つ環を考えることが多い. これに関して次の公理が要求される.
II. b) 任意の $a \in R$ に対して, $R$ のある元 $e$ で
\begin{equation*}
ea=a
\end{equation*}
を満たすものが存在する. これを $R$ における乗法に関する左単位元と呼ぶ.
$ea=a$ であるが, $ae=a$ とは限らない. しかしもし $R$ において, 乗法に関する右単位元 $e'$ が存在すれば両者は一致する.
\begin{equation*}
e' = ee' = e.
\end{equation*}
2021年01月25日
久し振りに数学をやる
3 時起床.
数学をやる. 鬱の波の中にあると数学のような深い集中が必要なことはほぼできない.
これまでのノートを読み返して, 新しい箇所に進む.
本の一つ一つの記述を解読するように読んでいくのが面白い.
昼過ぎまで続ける.
散歩を兼ねて買い物に行く. 晴れていて歩くのが気持ちいい.
夕方に食事. 鯖と玉葱のパスタ.
後片付けをして休む.
数学をやる. 鬱の波の中にあると数学のような深い集中が必要なことはほぼできない.
これまでのノートを読み返して, 新しい箇所に進む.
本の一つ一つの記述を解読するように読んでいくのが面白い.
昼過ぎまで続ける.
散歩を兼ねて買い物に行く. 晴れていて歩くのが気持ちいい.
夕方に食事. 鯖と玉葱のパスタ.
後片付けをして休む.
2021年01月04日
数学の勉強 〜 買い物
1 時半起床.
今日は体調が良い.
数学をやる. Emily Riehl の教科書.
図式の極限について書かれた章. 数学をするのは久し振りなので最初はなかなか頭が働かない.
ノートをとりながら昼まで勉強する.
昼過ぎに買い物に出かける. 野菜や肉を買う.
午前中で疲れてしまい, 帰宅して横になって休む.
夕食はソーセージとトマトとキャベツ.
片付けをして休む.
今日は体調が良い.
数学をやる. Emily Riehl の教科書.
図式の極限について書かれた章. 数学をするのは久し振りなので最初はなかなか頭が働かない.
ノートをとりながら昼まで勉強する.
昼過ぎに買い物に出かける. 野菜や肉を買う.
午前中で疲れてしまい, 帰宅して横になって休む.
夕食はソーセージとトマトとキャベツ.
片付けをして休む.
2020年05月13日
数学: 2 つの平面が交わる直線を求める
3 次元空間内の 2 平面
\begin{align*}
\DeclareMathOperator{\Ar}{Ar}
\DeclareMathOperator{\Arccos}{Arccos}
\DeclareMathOperator{\Arcsin}{Arcsin}
\DeclareMathOperator{\Arr}{Arr}
\DeclareMathOperator{\arr}{arr}
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\begin{cases}
a_1x+b_1y+c_1z = d_1 & ~ \\
a_2x+b_2y+c_2z = d_2 & ~
\end{cases}
\end{align*}
を考える.
2 平面が平行でなければ, これらは 1 つの直線で交わる. その直線の方程式を求める.
これは上記の 2 平面を連立方程式として解くことによって求められる.
計算の結果, 得られる直線の方程式は以下のようになる.
まず,
\begin{alignat*}{4}
D_1 & = \begin{vmatrix}
a_1 & b_1 \\
a_2 & b_2
\end{vmatrix},
& \quad &
D_2 & = \begin{vmatrix}
c_1 & a_1 \\
c_2 & a_2
\end{vmatrix},
& \quad &
D_3 & = \begin{vmatrix}
b_1 & c_1 \\
b_2 & c_2
\end{vmatrix}, \\
\\
D_4 & = \begin{vmatrix}
a_1 & d_1 \\
a_2 & d_2
\end{vmatrix},
& \quad &
D_5 & = \begin{vmatrix}
b_1 & d_1 \\
b_2 & d_2
\end{vmatrix},
& \quad &
D_6 & = \begin{vmatrix}
c_1 & d_1 \\
c_2 & d_2
\end{vmatrix}
\end{alignat*}
とおく.
(1) $D_1 \neq 0$ のとき, 求める直線の方程式はパラメンーターを $t$ として,
\begin{equation}
\label{eq1}
\left( D_3t-\frac{D_5}{D_1},\, D_2t+\frac{D_4}{D_1},\, D_1t \right) \tag{1}
\end{equation}
となる.
(2) $D_2 \neq 0$ のとき,
\begin{equation}
\label{eq2}
\left( D_3t+\frac{D_6}{D_2},\, D_2t,\, D_1t-\frac{D_4}{D_2} \right) \tag{2}
\end{equation}
となる.
(3) $D_3 \neq 0$ のとき,
\begin{equation}
\label{eq3}
\left( D_3t,\, D_2t-\frac{D_6}{D_3},\, D_1t+\frac{D_5}{D_3} \right) \tag{3}
\end{equation}
(4) $D_1=D_2=D_3=0$ のとき, 2 平面は平行であり交わらない.
特に,
\begin{equation*}
d_1=d_2=0
\end{equation*}
のとき, すなわち 2 平面が共に原点を通るとき求める直線の方程式は
\begin{equation*}
\left( D_3t,\, D_2t,\, D_1t \right)
\end{equation*}
となる.
計算してみるとわかるが, きれいな結果である.
具体例を計算してみる.
\begin{equation}
\label{eq4}
\begin{cases}
5x+6y+7z=8 & ~ \\
x+2y+3z=4 & ~
\end{cases} \tag{4}
\end{equation}
を解く.
\begin{equation*}
D_1=4,\, D_2=-8,\, D_3=4,\, D_4=12,\, D_5=8,\, D_6=4
\end{equation*}
である. $D_1 \neq 0, D_2 \neq 0, D_3 \neq 0$ だから, この方程式の解は (\ref{eq1}), (\ref{eq2}), (\ref{eq3}) により 3 通りの仕方で表わされる.
(\ref{eq1}) による解は
\begin{equation}
\label{eq5}
(4t-2,\, -8t+3,\, 4t) \tag{5}
\end{equation}
である. (\ref{eq2}) による解は
\begin{equation}
\label{eq6}
\left( 4t-\frac{1}{2},\, -8t,\, 4t+\frac{3}{2} \right) \tag{6}
\end{equation}
である. (\ref{eq3}) による解は
\begin{equation}
\label{eq7}
(4t,\, -8t-1,\, 4t+2) \tag{7}
\end{equation}
である.
表わし方は異っているるが, これらは全て同じ直線の異なる表現である. 実際に (\ref{eq5}) で $t=t'+\frac{3}{8}$ とおけば
\begin{equation*}
\left( 4t'-\frac{1}{2},\, -8t',\, 4t'+\frac{3}{2} \right)
\end{equation*}
となり (\ref{eq6}) が得られる. さらに (\ref{eq5}) で $t=t'+\frac{1}{2}$ とおけば
\begin{equation*}
(4t',\, -8t'-1,\, 4t'+2)
\end{equation*}
となり (\ref{eq7}) が得られる.
\begin{align*}
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\newcommand{\bbP}{\mathbb{P}}
\newcommand{\bbQ}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\bbR}{\mathbb{R}}
\newcommand{\bbS}{\mathbb{S}}
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\newcommand{\bbY}{\mathbb{Y}}
\newcommand{\bbZ}{\mathbb{Z}}
\begin{cases}
a_1x+b_1y+c_1z = d_1 & ~ \\
a_2x+b_2y+c_2z = d_2 & ~
\end{cases}
\end{align*}
を考える.
2 平面が平行でなければ, これらは 1 つの直線で交わる. その直線の方程式を求める.
これは上記の 2 平面を連立方程式として解くことによって求められる.
計算の結果, 得られる直線の方程式は以下のようになる.
まず,
\begin{alignat*}{4}
D_1 & = \begin{vmatrix}
a_1 & b_1 \\
a_2 & b_2
\end{vmatrix},
& \quad &
D_2 & = \begin{vmatrix}
c_1 & a_1 \\
c_2 & a_2
\end{vmatrix},
& \quad &
D_3 & = \begin{vmatrix}
b_1 & c_1 \\
b_2 & c_2
\end{vmatrix}, \\
\\
D_4 & = \begin{vmatrix}
a_1 & d_1 \\
a_2 & d_2
\end{vmatrix},
& \quad &
D_5 & = \begin{vmatrix}
b_1 & d_1 \\
b_2 & d_2
\end{vmatrix},
& \quad &
D_6 & = \begin{vmatrix}
c_1 & d_1 \\
c_2 & d_2
\end{vmatrix}
\end{alignat*}
とおく.
(1) $D_1 \neq 0$ のとき, 求める直線の方程式はパラメンーターを $t$ として,
\begin{equation}
\label{eq1}
\left( D_3t-\frac{D_5}{D_1},\, D_2t+\frac{D_4}{D_1},\, D_1t \right) \tag{1}
\end{equation}
となる.
(2) $D_2 \neq 0$ のとき,
\begin{equation}
\label{eq2}
\left( D_3t+\frac{D_6}{D_2},\, D_2t,\, D_1t-\frac{D_4}{D_2} \right) \tag{2}
\end{equation}
となる.
(3) $D_3 \neq 0$ のとき,
\begin{equation}
\label{eq3}
\left( D_3t,\, D_2t-\frac{D_6}{D_3},\, D_1t+\frac{D_5}{D_3} \right) \tag{3}
\end{equation}
(4) $D_1=D_2=D_3=0$ のとき, 2 平面は平行であり交わらない.
特に,
\begin{equation*}
d_1=d_2=0
\end{equation*}
のとき, すなわち 2 平面が共に原点を通るとき求める直線の方程式は
\begin{equation*}
\left( D_3t,\, D_2t,\, D_1t \right)
\end{equation*}
となる.
計算してみるとわかるが, きれいな結果である.
具体例を計算してみる.
\begin{equation}
\label{eq4}
\begin{cases}
5x+6y+7z=8 & ~ \\
x+2y+3z=4 & ~
\end{cases} \tag{4}
\end{equation}
を解く.
\begin{equation*}
D_1=4,\, D_2=-8,\, D_3=4,\, D_4=12,\, D_5=8,\, D_6=4
\end{equation*}
である. $D_1 \neq 0, D_2 \neq 0, D_3 \neq 0$ だから, この方程式の解は (\ref{eq1}), (\ref{eq2}), (\ref{eq3}) により 3 通りの仕方で表わされる.
(\ref{eq1}) による解は
\begin{equation}
\label{eq5}
(4t-2,\, -8t+3,\, 4t) \tag{5}
\end{equation}
である. (\ref{eq2}) による解は
\begin{equation}
\label{eq6}
\left( 4t-\frac{1}{2},\, -8t,\, 4t+\frac{3}{2} \right) \tag{6}
\end{equation}
である. (\ref{eq3}) による解は
\begin{equation}
\label{eq7}
(4t,\, -8t-1,\, 4t+2) \tag{7}
\end{equation}
である.
表わし方は異っているるが, これらは全て同じ直線の異なる表現である. 実際に (\ref{eq5}) で $t=t'+\frac{3}{8}$ とおけば
\begin{equation*}
\left( 4t'-\frac{1}{2},\, -8t',\, 4t'+\frac{3}{2} \right)
\end{equation*}
となり (\ref{eq6}) が得られる. さらに (\ref{eq5}) で $t=t'+\frac{1}{2}$ とおけば
\begin{equation*}
(4t',\, -8t'-1,\, 4t'+2)
\end{equation*}
となり (\ref{eq7}) が得られる.
タグ：線形代数 2 平面の交わりの直線
