ていへんかけるたかさわるに

モナド ── 定義と随伴により引き起こされるモナド,
随伴から導かれるモナドの例 ── maybe モナド
モナドから導かれる随伴 (1) ── Eilenberg-Moore 圏
モナドから導かれる随伴 (2) ── Kleisli 圏
モナド ── Kleisli 圏の例 (続き) の続き.

圏 $\mathrm{C}$ 上の与えられたモナド $(T,\eta,\mu)$ に対して, $T$ 上の随伴のなす圏 $\mathbf{Adj}_T$ を次のように定義する.
$\mathbf{Adj}_T$ の対象は, 随伴
\begin{equation*}
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\begin{xy}
\xymatrix@=32pt {
\rC \ar@<1ex>[r]^F \ar@{}[r]|{\bot} & \rD \ar@<1ex>[l]^U
}
\end{xy}
\qquad
\eta : \Un{\rC} \Rightarrow UF,
\quad
\epsilon : FU \Rightarrow \Un{\rD}
\end{equation*}
で, モナド $(T,\eta,\mu)$ を導くもの ($T=UF, \mu = U \epsilon F$) の全体とする.
そのような 2 つの随伴
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix@=32pt {
\rC \ar@<1ex>[r]^F \ar@{}[r]|{\bot} & \rD \ar@<1ex>[l]^U
}
\end{xy}
\qquad
\eta : \Un{\rC} \Rightarrow UF,
\quad
\epsilon : FU \Rightarrow \Un{\rD}
\end{equation*} \begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix@=32pt {
\rC \ar@<1ex>[r]^{F'} \ar@{}[r]|{\bot} & \rD' \ar@<1ex>[l]^{U'}
}
\end{xy}
\qquad
\eta' : \Un{\rC} \Rightarrow U'F',
\quad
\epsilon' : F'U' \Rightarrow \Un{\rD'}
\end{equation*} の間の射 $K : F \dashv U \rightarrow F' \dashv U'$ は関手 $K : \rD \rightarrow \rD'$ で, 左随伴と右随伴に対して共に可換, つまり $KF=F'$, $U'K=U$ を満たすものとする:
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix@=32pt {
\rD \ar@<1ex>[dr]^U \ar[rr]^K
\ar@{}[dr]|{\style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\dashv}}
&
& {\rD'} \ar@<1.8ex>[dl]^{U'}
\ar@{}[dl]|{\style{display: inline-block; transform: rotate(-45deg)}{\dashv}}
\\
& \rC \ar@<1.2ex>[ul]^F \ar@<0.4ex>[ur]^{F'} &
}
\end{xy}
\end{equation*}
$\Adj_T$ に対して, 次が成り立つ.
命題. $(T,\eta,\mu)$ を圏 $\rC$ 上のモナドとする. このとき, Kleisli 圏 $\rC_T$ は随伴の圏 $\Adj_T$ の始対象であり, Eelenberg-Moore 圏 $\rC^T$ は $\Adj_T$ の終対象である. すなわち, $\rC$ 上でモナド $(T,\eta,\mu)$ を導く任意の随伴 $F \dashv U$ に対して, 一意的な関手 $J : \rC_T \rightarrow \rD$, $K : \rD \rightarrow \rC^T$ が存在して, それぞれ左随伴関手, 右随伴関手と可換になる.
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix@=32pt {
\rC_T \ar@{-->}[r]^J_{\exists!}
\ar[dr]|(.3){U_T}
\ar@{}@<-0.9ex>[dr]|{\style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\dashv}}
& \rD \ar@{-->}[r]^K_{\exists!}
\ar@<1ex>[d]^U
\ar@{}[d]|{\dashv}
& \rC^T \ar@<2.2ex>[dl]^{U^T} \\
& \rC \ar@<1ex>[u]^F
\ar@<2.2ex>[ul]^{F_T}
\ar[ur]|(.6){F^T}
\ar@{}@<-0.6ex>[ur]|{\style{display: inline-block; transform: rotate(-45deg)}{\dashv}}
&
}
\end{xy}
\end{equation*} 証明は省略するが, 以下のことが成り立つ.
・ $JF_T = F$, $U^TK=U$.
・ 関手 $J : \rC_T \rightarrow \rD$ は $\rC_T$ の対象 $c$ に対して
\begin{equation*}
Jc = Fc
\end{equation*} と定義され, $\rC_T$ の射 $f : c \rightsquigarrow c'$, つまり $\rC$ の射 $f : c \rightarrow Tc'$ に対して
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix@=32pt {
Jf := Fc \ar[r]^(.4){Ff} & FTc'=FUFc' \ar[r]^(.65){\epsilon_{Fc'}} & Fc'
}
\end{xy}
\end{equation*} と定義される.
・ 関手 $K : \rD \rightarrow \rC^T$ は, $\rD$ の対象 $d$ に対して
\begin{equation*}
Kd = (Ud,U{\epsilon_d})
\end{equation*} と定義され, $\rD$ の射 $f : d \rightarrow d'$ に対して
\begin{equation*}
Kf := Uf : (Ud,U\epsilon_d) \rightarrow (Ud',U{\epsilon_{d'}})
\end{equation*} と定義される.

この結果によれば, 圏 $\rC$ 上の Kleisli 圏 $\rC_T$ から Eilenberg-Moore 圏 $\rC^T$ への一意的な関手 $K : \rC_T \rightarrow \rC^T$ が存在することになるが, これは次のように定まる.
Kleisli 圏 $\rC_T$ の対象 $c\in\rC_T$ (つまり $c\in\rC$) に対して,
\begin{equation*}
Kc = (U^TF^Tc,U^T\epsilon_{F^Tc}) = (Tc,U^T\epsilon_{F^Tc}) = (Tc,\mu_c)
\end{equation*}
であり, $\rC_T$ の射 $f : c \rightsquigarrow c'$ つまり $\rC$ の射 $f : c \rightarrow Tc'$ に対して
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix@=32pt {
Kf := (Tc,\mu_{c}) \ar[r]^{Tf} & (T^2c',\mu_{Tc'}) \ar[r]^{\mu_{c'}} & (Tc'\mu_{c'})
}
\end{xy}
\end{equation*} である.
この関手 $K : \rC_T \rightarrow \rC^T$ について, 次の命題が成り立つ.
命題. 圏 $\rC$ 上の随伴からなる圏 $\Adj_T$ における, 一意的な関手 $K : \rC_T \rightarrow \rC^T$ は充満忠実 (full and faithful) であり, $K$ は $\rC_T$ とその $\rC^T$ における像の間の圏同型を与える. すなわち, Kleisli 圏 $\rC_T$ は Eilenberg-Moore 圏 $\rC^T$ に埋め込まれる.