ていへんかけるたかさわるに

数学: モナドから導かれる随伴の圏 (3)$
モナド ── 定義と随伴により引き起こされるモナド,
随伴から導かれるモナドの例 ── maybe モナド
モナドから導かれる随伴 (1) ── Eilenberg-Moore 圏
モナドから導かれる随伴 (2) ── Kleisli 圏 の続き.

集合 $S$ を固定する. $S$ の各元を「状態」と呼ぶことにする.
与えられた集合に対して, 状態 $S$ との直積を与える関手 $S\times- : \mathbf{Set} \rightarrow \mathbf{Set}$ と, $S$ から集合 $A$ への関数の集合 (これを $A^S$ と記す) を与える関手 $(-)^S : \mathbf{Set} \rightarrow \mathbf{Set}$ は随伴関係 $S\times- \dashv (-)^S$ をなす.

この随伴からモナド $((S\times-)^S,\eta,\mu)$ が導かれる.
単位 (unit) $\eta : 1_{\mathbf{Set}} \Rightarrow (S\times-)^S$ は各集合 $A$ に対して
\begin{equation*}
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\newdir{ >}{{ }*!/-5pt/@{>}}
\eta_A : A \rightarrow (S \times A)^S, \qquad (\eta_A(a))(s) = (s,a)
\end{equation*} と定義される. 結果の $(s,a)$ を, 入力 $a \in A$ と現在の状態 $s \in S$ の対と考える.
また, 余単位 (counit) $\epsilon : S \times (-)^S \Rightarrow \Un{\Set}$ は 状態 $s \in S$ と, 各状態における入力を与える関数 $f : S \rightarrow A$ とに対して,
\begin{equation*}
\epsilon_A : S \times A^S \rightarrow A, \qquad \epsilon_A(s,f) = f(s)
\end{equation*} と定義される. つまり, 各 $\epsilon_A : S \times A^S \rightarrow A$ は各状態における入力を与える評価関数 (evaluation function) と見なせる.
3 つ組 $((S\times-)^S,\eta,\mu)$ は図式に対する計算により
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix@=36pt {
(S\times(S\times(S \times A)^S)^S)^S
\ar[r]^(.55){(S\times\mu_A)^S}
\ar[d]_{\mu_{(S \times A)^S}}
& (S\times(S \times A)^S)^S ->
\ar[d]^{\mu_A} \\
(S\times(S \times A)^S)^S
\ar[r]_{\mu_A}
& (S \times A)^S
}
\end{xy}
\qquad
\begin{xy}
\xymatrix@=36pt {
(S \times A)^S \ar[r]^(.4){\eta_{(S \times A)^S}} \ar[dr]_{\Un{(S \times A)^S}}
& (S\times(S \times A)^S)^S \ar[d]^{\mu_A}
& (S \times A)^S \ar[l]_(0.4){(S\times\eta_A)^S} \ar[dl]^{\Un{(S \times A)^S}} \\
& (S \times A)^S &
}
\end{xy}
\end{equation*}
を可換にし, 実際にモナドになっていることがわかる.
この余単位 $\epsilon$ を用いて, モナド $S\times(-)^S$ の積 (multiplication) $\mu : (S\times(S\times(-)^S))^S \Rightarrow (S\times-)^S$ を明示的に書き下してみる.
$\mu=(-)^S\epsilon(S\times-) : (S\times(S \times -)^S)^S \rightarrow (S\times-)^S$ である. $u \in (S\times(S \times A)^S)^S$ をとり, 状態 $s \in S$ に対して,
\begin{equation*}
u(s) = (u_1(s),u_2(s))
\end{equation*} とおく. $u_1(s) \in S$, $u_2(s) : S \rightarrow S \times A$ である.
$u_1(s)$ は状態 $s$ に対する新しい状態, $u_2(s)$ は状態 $s$ に対する新たな状態と入力の対を与える.
このとき,
\begin{equation*}
\mu_A(u)(s) = ((-)^S\epsilon(S\times-))_A(u))(s) = ((\epsilon_{S \times A})^S(u))(s) = \epsilon_{S \times A}(u(s)) = \epsilon_{S \times A}(u_1(s),u_2(s)) = u_2(s)(u_1(s))
\end{equation*} となる.

Kleisli 圏における対象は集合であり, この集合を状態の集まりであると考える.
Kleisli 圏 $\Set_{(S\times-)^S}$ における射 $f : A \rightsquigarrow B$ は $\rC$ における関数 $f : A \rightarrow (S \times B)^S$ であるが, この関数 $f$ は $f : A \times S \rightarrow B \times S$ と見なせる.
入力 $a$ と現在の状態 $s$ の対 $(a,s) \in A \times S$ に対して
\begin{equation*}
f(a,s) = (f_s(a), s'(a,s))
\end{equation*} とおく. このとき, $f_s(a)$ は入力と状態の対 $(a,s)$ によって決まる出力 $f_s(a) \in B$ と, アップデートされた状態 $s'(a,s) \in S$ の対と考えられる.
たとえば, 関数型プログラミング言語 Haskell においては, このアップデートされた状態 $s'(a,s)$ は計算 $f$ の「副作用 (side effect)」として扱われる.
**数学: モナドから導かれる随伴の圏 (3)$
モナド ── 定義と随伴により引き起こされるモナド,
随伴から導かれるモナドの例 ── maybe モナド
モナドから導かれる随伴 (1) ── Eilenberg-Moore 圏
モナドから導かれる随伴 (2) ── Kleisli 圏 の続き.

集合 $S$ を固定する. $S$ の各元を「状態」と呼ぶことにする.
与えられた集合に対して, 状態 $S$ との直積を与える関手 $S\times- : \mathbf{Set} \rightarrow \mathbf{Set}$ と, $S$ から集合 $A$ への関数の集合 (これを $A^S$ と記す) を与える関手 $(-)^S :z \mathbf{Set} \rightarrow \mathbf{Set}$ は随伴関係 $S\times- \dashv (-)^S$ をなす.

この随伴からモナド $((S\times-)^S,\eta,\mu)$ が導かれる.
単位 (unit) $\eta : 1_{\mathbf{Set}} \Rightarrow (S\times-)^S$ は各集合 $A$ に対して
\begin{equation*}
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\eta_A : A \rightarrow (S \times A)^S, \qquad (\eta_A(a))(s) = (s,a)
\end{equation*} と定義される. 結果の $(s,a)$ を, 入力 $a \in A$ と現在の状態 $s \in S$ の対と考える.
また, 余単位 (counit) $\epsilon : S \times (-)^S \Rightarrow \Un{\Set}$ は 状態 $s \in S$ と, 各状態における入力を与える関数 $f : S \rightarrow A$ とに対して,
\begin{equation*}
\epsilon_A : S \times A^S \rightarrow A, \qquad \epsilon_A(s,f) = f(s)
\end{equation*} と定義される. つまり, 各 $\epsilon_A : S \times A^S \rightarrow A$ は各状態における入力を与える評価関数 (evaluation function) と見なせる.
3 つ組 $((S\times-)^S,\eta,\mu)$ は図式に対する計算により
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix@=36pt {
(S\times(S\times(S \times A)^S)^S)^S
\ar[r]^(.55){(S\times\mu_A)^S}
\ar[d]_{\mu_{(S \times A)^S}}
& (S\times(S \times A)^S)^S ->
\ar[d]^{\mu_A} \\
(S\times(S \times A)^S)^S
\ar[r]_{\mu_A}
& (S \times A)^S
}
\end{xy}
\qquad
\begin{xy}
\xymatrix@=36pt {
(S \times A)^S \ar[r]^(.4){\eta_{(S \times A)^S}} \ar[dr]_{\Un{(S \times A)^S}}
& (S\times(S \times A)^S)^S \ar[d]^{\mu_A}
& (S \times A)^S \ar[l]_(0.4){(S\times\eta_A)^S} \ar[dl]^{\Un{(S \times A)^S}} \\
& (S \times A)^S &
}
\end{xy}
\end{equation*}
を可換にし, 実際にモナドになっていることがわかる.
この余単位 $\epsilon$ を用いて, モナド $S\times(-)^S$ の積 (multiplication) $\mu : (S\times(S\times(-)^S))^S \Rightarrow (S\times-)^S$ を明示的に書き下してみる.
$\mu=(-)^S\epsilon(S\times-) : (S\times(S \times -)^S)^S \rightarrow (S\times-)^S$ である. $u \in (S\times(S \times A)^S)^S$ をとり, 状態 $s \in S$ に対して,
\begin{equation*}
u(s) = (u_1(s),u_2(s))
\end{equation*} とおく. $u_1(s) \in S$, $u_2(s) : S \rightarrow S \times A$ である.
$u_1(s)$ は状態 $s$ に対する新しい状態, $u_2(s)$ は状態 $s$ に対する新たな状態と入力の対を与える.
このとき,
\begin{equation*}
\mu_A(u)(s) = ((-)^S\epsilon(S\times-))_A(u))(s) = ((\epsilon_{S \times A})^S(u))(s) = \epsilon_{S \times A}(u(s)) = \epsilon_{S \times A}(u_1(s),u_2(s)) = u_2(s)(u_1(s))
\end{equation*} となる.

Kleisli 圏における対象は集合であり, この集合を状態の集まりであると考える.
Kleisli 圏 $\Set_{(S\times-)^S}$ における射 $f : A \rightsquigarrow B$ は $\rC$ における関数 $f : A \rightarrow (S \times B)^S$ であるが, この関数 $f$ は $f : A \times S \rightarrow B \times S$ と見なせる.
入力 $a$ と現在の状態 $s$ の対 $(a,s) \in A \times S$ に対して
\begin{equation*}
f(a,s) = (f_s(a), s'(a,s))
\end{equation*} とおく. このとき, $f_s(a)$ は入力と状態の対 $(a,s)$ によって決まる出力 $f_s(a) \in B$ と, アップデートされた状態 $s'(a,s) \in S$ の対と考えられる.
たとえば, 関数型プログラミング言語 Haskell においては, このアップデートされた状態 $s'(a,s)$ は計算 $f$ の「副作用 (side effect)」として扱われる.