ていへんかけるたかさわるに

モナド ── 定義と随伴により引き起こされるモナド,
随伴から導かれるモナドの例 ── maybe モナド
モナドから導かれる随伴 (1) ── Eilenberg-Moore 圏 の続き.

与えられたモナド $(T,\eta,\mu)$ から導かれる随伴として Eilenberg-Moore 圏を取り上げた.
ここでは, $(T,\eta,\mu)$ から導かれる別の随伴として, Kleisli 圏を定義する.

定義. $\mathrm{C}$ をモナド $(T,\eta,\mu)$ を持つ圏とする. Kleisli 圏 (Kleisli category) $\mathrm{C}_T$ は次のように構成される.
・ $\mathrm{C}$ の対象を $\mathrm{C}_T$ の対象とする.
・ $A$, $B$ を $\mathrm{C}_T$ の対象 (つまり圏 $\mathrm{C}$ の対象) とする. $\mathrm{C}_T$ における $A$ から $B$ への射 $f : A \rightsquigarrow B$ は, $\mathrm{C}$ における射 $f : A \rightarrow TB$ と定義する.
・ $\mathrm{C}_T$ の各対象 $A$ 上の恒等写像 (identity) は, 単位 $\eta_A : A \rightarrow TA$ とする.
・ $\mathrm{C}_T$ の 2 つの射 $f : A \rightsquigarrow B$, $g : B \rightsquigarrow C$ の合成 (これを $g \circ f$ と記すことにする) $g \circ f : A \rightsquigarrow C$ は, $\mathrm{C}$ における射の合成
\begin{equation*}
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\begin{xy}
\xymatrix@=32pt {
A \ar[r]^f & TB \ar[r]^{Tg} & T^2C \ar[r]^{\mu_C} & TC
}
\end{xy}
\end{equation*} と定義する.

これで $\rC_T$ は圏になる.
たとえば実際に各 $\eta_A$ が $\rC_T$ の恒等射になっていることは以下のようにしてわかる.
$f : A \rightsquigarrow B$ を $\rC_T$ の任意の射とする. $\eta : \Un{\rC} \Rightarrow T$ が自然変換であることより, 図式
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix@=32pt {
A \ar[r]^{\eta_A} \ar[d]_f & TA \ar[d]^{Tf} \\
TB \ar[r]_{\eta_{TB}} & T^2B
}
\end{xy}
\end{equation*} は可換である. また, モナドの定義から図式
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix@=32pt {
TB \ar[r]^{\eta_{TB}} \ar[dr]_{\Un{TB}} & T^2B \ar[d]^{\mu_B} & TB \ar[l]_{T\eta_B} \ar[dl]^{\Un{TB}} \\
& TB &
}
\end{xy}
\end{equation*} は可換である. これらの図式の可換性により
\begin{gather*}
f \circ \eta_A = \mu_B \cdot Tf \cdot \eta_A = \mu_B \cdot \eta_{TB} \cdot f = \Un{TB} \cdot f = f, \\
\eta_B \circ f = \mu_B \cdot T\eta_B \cdot f = \Un{B} \cdot f = f
\end{gather*} が成り立つ. よって各 $\eta_A : A \rightarrow TA$ は Kleisli 圏 $\rC_T$ の恒等射である.

例. 集合の圏 $\Set$ 上の maybe モナド $(T,\eta,\mu)=((-)_+,\eta,\mu)$ に対する Kleisli 圏 $\Set_{(-)_+}$を考える.
$\Set_{(-)_+}$ の対象は $\Set$ の対象, すなわち集合である.
$\Set_{(-)_+}$ の射 $f : A \rightsquigarrow B$ は $\Set$ の関数 $f : A \rightarrow B_+=B\amalg\{\bot_B\}$ である. この $f$ は, 次のようにして $A$ から $B$ への部分関数 (partial function), つまり $A$ の部分集合上で定義された関数と解釈することができる. $f$ を $A$ の部分集合
\begin{equation*}
A' = \{ a \in A \mid f(a) \in B \}
\end{equation*} 上でのみ定義された関数として考える. このとき補集合 $A \Bs A'$ の元は全て $\bot_B$ に移される. これらの元に対しては $f$ は未定義 (undefined) であると考える. これによって, $A'$ の元をプログラム $f$ への正常な入力, $A \Bs A'$ の元を $f$ への予期せぬ入力と見ることができる. 正常な入力 $a \in A'$ に対して $f$ は正常な出力 $f(a) \in B$ を返し, 予期せぬ入力 $a \in A \Bs A'$ に対して $f$ はエラー $\bot_B \in B_+$ を返す.
したがって, maybe モナドの Kleisli 圏は, 集合と部分関数からなる圏 $\Set^{\partial}$ と見なせる.