ていへんかけるたかさわるに

3 次元空間内の 2 平面
\begin{align*}
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\begin{cases}
a_1x+b_1y+c_1z = d_1 & ~ \\
a_2x+b_2y+c_2z = d_2 & ~
\end{cases}
\end{align*}
を考える.

2 平面が平行でなければ, これらは 1 つの直線で交わる. その直線の方程式を求める.

これは上記の 2 平面を連立方程式として解くことによって求められる.

計算の結果, 得られる直線の方程式は以下のようになる.
まず,
\begin{alignat*}{4}
D_1 & = \begin{vmatrix}
a_1 & b_1 \\
a_2 & b_2
\end{vmatrix},
& \quad &
D_2 & = \begin{vmatrix}
c_1 & a_1 \\
c_2 & a_2
\end{vmatrix},
& \quad &
D_3 & = \begin{vmatrix}
b_1 & c_1 \\
b_2 & c_2
\end{vmatrix}, \\
\\
D_4 & = \begin{vmatrix}
a_1 & d_1 \\
a_2 & d_2
\end{vmatrix},
& \quad &
D_5 & = \begin{vmatrix}
b_1 & d_1 \\
b_2 & d_2
\end{vmatrix},
& \quad &
D_6 & = \begin{vmatrix}
c_1 & d_1 \\
c_2 & d_2
\end{vmatrix}
\end{alignat*}
とおく.

(1) $D_1 \neq 0$ のとき, 求める直線の方程式はパラメンーターを $t$ として,
\begin{equation}
\label{eq1}
\left( D_3t-\frac{D_5}{D_1},\, D_2t+\frac{D_4}{D_1},\, D_1t \right) \tag{1}
\end{equation}
となる.

(2) $D_2 \neq 0$ のとき,
\begin{equation}
\label{eq2}
\left( D_3t+\frac{D_6}{D_2},\, D_2t,\, D_1t-\frac{D_4}{D_2} \right) \tag{2}
\end{equation}
となる.

(3) $D_3 \neq 0$ のとき,
\begin{equation}
\label{eq3}
\left( D_3t,\, D_2t-\frac{D_6}{D_3},\, D_1t+\frac{D_5}{D_3} \right) \tag{3}
\end{equation}

(4) $D_1=D_2=D_3=0$ のとき, 2 平面は平行であり交わらない.

特に,
\begin{equation*}
d_1=d_2=0
\end{equation*}
のとき, すなわち 2 平面が共に原点を通るとき求める直線の方程式は
\begin{equation*}
\left( D_3t,\, D_2t,\, D_1t \right)
\end{equation*}
となる.

計算してみるとわかるが, きれいな結果である.

具体例を計算してみる.
\begin{equation}
\label{eq4}
\begin{cases}
5x+6y+7z=8 & ~ \\
x+2y+3z=4 & ~
\end{cases} \tag{4}
\end{equation}
を解く.
\begin{equation*}
D_1=4,\, D_2=-8,\, D_3=4,\, D_4=12,\, D_5=8,\, D_6=4
\end{equation*}
である. $D_1 \neq 0, D_2 \neq 0, D_3 \neq 0$ だから, この方程式の解は (\ref{eq1}), (\ref{eq2}), (\ref{eq3}) により 3 通りの仕方で表わされる.
(\ref{eq1}) による解は
\begin{equation}
\label{eq5}
(4t-2,\, -8t+3,\, 4t) \tag{5}
\end{equation}
である. (\ref{eq2}) による解は
\begin{equation}
\label{eq6}
\left( 4t-\frac{1}{2},\, -8t,\, 4t+\frac{3}{2} \right) \tag{6}
\end{equation}
である. (\ref{eq3}) による解は
\begin{equation}
\label{eq7}
(4t,\, -8t-1,\, 4t+2) \tag{7}
\end{equation}
である.

表わし方は異っているるが, これらは全て同じ直線の異なる表現である. 実際に (\ref{eq5}) で $t=t'+\frac{3}{8}$ とおけば
\begin{equation*}
\left( 4t'-\frac{1}{2},\, -8t',\, 4t'+\frac{3}{2} \right)
\end{equation*}
となり (\ref{eq6}) が得られる. さらに (\ref{eq5}) で $t=t'+\frac{1}{2}$ とおけば
\begin{equation*}
(4t',\, -8t'-1,\, 4t'+2)
\end{equation*}
となり (\ref{eq7}) が得られる.