ていへんかけるたかさわるに

-2 時起床.

早い時間に起きられたのだが鬱が辛い.
自分は駄目だという否定的な考えが浮かんでくる.

昨日の数学の計算の続きをやろうとするが, 頭の中に灰色の靄がかかっていて考えることができない.
苦しい.

結局頓服を飲んで寝込んだ.

昼まで眠る.
再び起きたときには, 気持ちはかなり落ち着いていた.

数学をやる.
代数の復習. ユークリッド環についてまとめたノートを読み返す.
ユークリッド環においては, ユークリッドの互除法が使える.
いくつかの実例について計算をしてみる.

夕方前に食事.
メカジキのムニエルと小松菜炒めとご飯.

夜はアルコール依存症の自助グループに行く.
途中の駅まで歩いて行くつもりで早めに家を出る.
しかし 1 時間ほど歩いて疲れてしまい, 通りへ出て駅へ行くバスに乗った.

ミーティング会場に付いて少しうとうとする.
人数は少なかったが, いいミーティングだった.

疲れた.
帰宅してそのまま布団に入る.

-2 時起床.

本を読む.
カント『純粋理性批判』から「第二版序言」の続き.
感性的直観による客観すなわち現象が認識の対象であり, 物自体は認識の対象外であると本書では主張する.
そうすると, たとえば人間の心は物質として自然法則に従う部分 (自由の存在しない部分) と, 思惟の対象とはなるが認識はできない部分 (自由が存在する部分) とに分けられる.
「自然法則に基くこの世界では, 人間もそれに従う物質であり, 全ては決定されていて自由は存在しない」という矛盾が起こらなくなる.

それから数学をやる.
monadicity 定理の証明で昨日わからなかった部分を考える.
集中して計算を行う.
少し進展した.
考え方は今の方向性での計算で合っていると思う.

朝食をとる.
キャベツとベーコンエッグとコーヒー.

集中して疲れたので少し眠る.

昼前に起きて数学をやる.
代数の復習. 素イデアルに関する教科書の練習問題を解く.

午後からアルコール依存症の自助グループに行く.
散歩を兼ねて会場まで歩いた.

今日のテーマは「ターニングポイント」.
各人が自己の経験を話した.
そのために重たい話が多かったが, いいミーティングだった.

買い物をして帰宅.

食事をとる.
メカジキのムニエルとキャベツ.

今日は平和に一日を過ごすことができた.

早めに布団に入る.

-1 時起床.

本を読む.
カント『純粋理性批判』. 「第二版序言」の続き.
本書における批判から得られる帰結が, 思弁的理性に経験の限界を越えさせないようにすることであると述べられる.

それから数学をやる.
monadicity 定理:「右随伴関手 $U : \mathrm{D} \rightarrow \mathrm{C}$ がモナド的 (monadic) であるための必要十分条件は, $U$ が $U$-分解対 ($U$-split pair) の余イコライザー (coequalizer) を作成することである」の証明を読む.
一箇所わからないところがあり, 途中からそれをずっと考える.
解決しない.

集中し過ぎて疲れた.

朝食をとる.
キャベツとベーコンエッグとコーヒー.

少し眠る.

昼前に起きて朝の続きを考える.
進展せず. どこか, 自分の理解が不足しているところがある.
明日もう一度考えることにして区切りを付ける.

午後からアルコール依存症の自助グループに行く.
静かな雰囲気で気持ちが落ち着いた.

買い物をして帰宅.

食事をとる.
鮪の山かけとご飯.

夕方から鬱が辛くなってくる.
自分は駄目だという思いが強い. 苦しい.

まだ明るいが布団に入る.

-1 時起床.

本を読む.
カント『純粋理性批判』. 「第二版序言」の続き.
純粋理性批判を方法論として一つの新しい形而上学が構築されることが語られる.

それから数学をやる.
教科書の練習問題を考える.
朝まで計算を行う.

朝食をとる.
キャベツとベーコンエッグとコーヒー.

午前中はアルコール依存症の自助グループに行く.
冷たい雨が降っていて寒かったが, 会場の教会まで歩いた.

今日のテーマは「思いやり」.
ミーティングでは各人の重い経験の話が多かった.

帰り道から気分が沈んでくる.
仲間の話に思い入れし過ぎたことも関係しているのかも知れない.

帰宅して食事.
昨日の煮物の残りを温めてご飯と食べる.

鬱が苦しい.
自分は駄目だ, 自分がやっていることに何の意味も価値も無いという思いが強くなってくる.

寝込んだ.
そのまま一日が終わる.

-1 時半起床.

本を読む.
カント『純粋理性批判』.
「第二版序言」.
カントが本書において行った, 認識が対象に従うのではなく対象が認識に従うのだという, いわゆるコペルニクス的転回について述べられる.
それに応じて, 必然的に物自体という概念が現れてくる.

それから数学をやる.
昨日勉強した命題の系:
モナド的関手 $U : \mathrm{D} \rightarrow \mathrm{C}$ が任意の $U$-分解対 ($U$-split pair) の余イコライザー (coequalizer) を作る.
の証明を読む.

行間を補って詳しい証明を書き上げたと思ったのだが, 読み返してみたら途中の議論に自分でもすっきりしない箇所がある.
教科書の議論と合致せず, よく読んだら間違っていた.
証明の鍵となる重要な箇所で, 結局一度完成させたと思った証明のノートを始めから全部書き直すことにする.
自分の理解に不十分な点があったからで, 集中して考えてやっとわかった.

午前中に何とか終わる.

疲れた.
少し眠る.

昼過ぎに起きる.

銀行の ATM に行って今週の生活費をおろす.
先週, 節約しなければならないと書いたのだが節約できていない.
このままだと, 来月 15 日の障害年金支給前の生活はぎりぎりになってしまう.

買い物に行く.
野菜と肉などを買う. 米も買う.

帰宅して食事.
煮物とご飯.

まだ明るいが布団に入る.

0 時半起床.

本を読む.
カント『純粋理性批判』.
「第一版序言」.
本書の主題が形而上学はいかにして可能か, つまり悟性と理性は経験を離れて何をどのように認識できるのかという問題であることが述べられる.
何とか最後まで読み切りたい. 10 年くらいはかかるだろう.

それから数学をやる.
圏 $\mathrm{C}$ 上のモナド $T$ 上の代数 ($T$-algebra) が, 任意の $\mathrm{C}$ の対象に対する標準的な余イコライザー (coequalizer) 表現を与えるという命題に対する一連の証明を読む.

昼過ぎまで集中してどうにか証明を読み追えた.
しかしまだ理解が十分ではないという気がする. 考え続けたい.

頭を使って疲れたせいか, 気分が沈んでくる.
体を動かせば気分も上向くかも知れないと思い, 買い物に出かける.
魚などを買った.

歩いたせいか気持ちが落ち着く. よかった.

帰宅して小一時間眠る.

夕方に起きて食事.
カジキのバジルオイル焼きと温素麺.

今日は寒い.
早めに布団に入る.

モナドの概念をまとめておく.
定義等は Emily Riehl の教科書 "Category Theory in Context" に従う.

定義.圏 $\mathrm{C}$ におけるモナド (monad) は 3 つ組 $(T,\eta,\mu)$:
・ 関手 $T : \mathrm{C} \rightarrow \mathrm{C}$;
・ 単位 (unit)と呼ばれる自然変換 $\eta : 1_{\mathrm{C}} \Rightarrow T$;
・ 積 (multiplication)と呼ばれる自然変換 $\mu : T^2 \Rightarrow T$
で, 以下の図式を可換にするものである.
\begin{equation*}
\DeclareMathOperator{\Aff}{Aff}
\DeclareMathOperator{\Ar}{Ar}
\DeclareMathOperator{\Arccos}{Arccos}
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\DeclareMathOperator{\Res}{res}
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\begin{xy}
\xymatrix@=24pt {
T^3 \ar@{=>}[d]_{\mu T} \ar@{=>}[r]^{T \mu} & T^2 \ar@{=>}[d]^{\mu} \\
T^2 \ar@{=>}[r]_{\mu} & T
}
\qquad
\xymatrix@=24pt {
T \ar@{=>}[r]^{\eta T} \ar@{=>}[dr]_{\Un{T}}
& T^2 \ar@{=>}[d]^{\mu}
& T \ar@{=>}[l]_{T \eta} \ar@{=>}[dl]^{\Un{T}} \\
& T &
}
\end{xy}
\end{equation*}
補題. 任意の随伴
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix@=24pt {
\rC \ar@<1ex>[r]^F \ar@{}[r]|{\bot} & \rD \ar@<1ex>[l]^U
}
\end{xy}
\qquad
\eta : \Un{\rC} \Rightarrow UF,
\quad
\epsilon : FU \Rightarrow \Un{\rD}
\end{equation*} は以下の構成により左随伴の定義域の圏 $\rC$ 上のモナドを引き起こす:
・ 関手 $T : \rC \rightarrow \rC$ は $UF$ により与えられる.
・ 単位 $\eta : \Un{\rC} \Rightarrow UF$ がモナドの単位 $\eta : \Un{\rC} \Rightarrow T$ となる.
・ $U \epsilon F : UFUF \Rightarrow UF$ がモナドの積 $\mu : T^2 \Rightarrow T$ となる.

証明 (概略).
まず, 図式
\begin{equation}
\label{dgm:1}
\begin{xy}
\xymatrix@=24pt {
UF \ar@{=>}[r]^{\eta UF} \ar@{=>}[dr]_{\Un{UF}} & UFUF \ar@{=>}[d]^{U \epsilon F} & UF \ar@{=>}[l]_{UF\eta} \ar@{=>}[dl]^{\Un{UF}} \\
& UF &
}
\end{xy} \tag{1}
\end{equation}
を考える.
随伴の単位 (unit) $\eta : \Un{\rC} \Rightarrow UF$, 余単位 (counit) $\epsilon : FU \Rightarrow \Un{\rD}$ は三角恒等式 (triangle identities)
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix@=24pt {
F \ar@{=>}[r]^{F\eta} \ar@{=>}[dr]_{\Un{F}} & FUF \ar@{=>}[d]^{\epsilon F} \\
& F
}
\end{xy}
\qquad
\begin{xy}
\xymatrix@=24pt {
U \ar@{=>}[r]^{\eta U} \ar@{=>}[dr]_{\Un{U}} & UFU \ar@{=>}[d]^{U\epsilon} \\
& U
}
\end{xy}
\end{equation*} を可換にする.
左の三角形に $U$ を適用すると (\ref{dgm:1}) の右側の三角形が得られる.
右の三角形を $F$ に適用すると (\ref{dgm:1}) の左側の三角形が得られる.
よって, 図式 (\ref{dgm:1}) は可換である.

次に図式
\begin{equation}
\label{dgm:2}
\begin{xy}
\xymatrix@=24pt {
UFUFUF \ar@{=>}[d]_{U \epsilon FUF} \ar@{=>}[rr]^{UFU \epsilon F} && UFUF \ar@{=>}[d]^{U \epsilon F} \\
UFUF \ar@{=>}[rr]_{U \epsilon F} && UF
}
\end{xy} \tag{2}
\end{equation} を考える.
任意の対象 $c\in\rC$ にこの図式を適用すると,
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix@=24pt {
UFU(FUFc) \ar[d]_{U\epsilon_{FUFc}} \ar[rr]^{UFU(\epsilon_{Fc})} && UFU(Fc) \ar[d]^{U\epsilon_{Fc}} \\
U(FUFc) \ar[rr]_{U(\epsilon_{Fc})} && U(Fc)
}
\end{xy}
\end{equation*} となり, これは自然変換 $U\epsilon : UFU \Rightarrow U$ の $c$ における可換性を示す図式に他ならない.
よって, 図式 (\ref{dgm:2}) も可換となり, $(UF,\eta,U\epsilon F)$ はモナドとなる.

これにより, 関手の随伴が与えられれば, それに伴うモナドが構成されることになる.

1 時半起床.

絵を描く.
昨日は疲れと気分の落ち込みで作業療法のアトリエで絵を十分に描くことができなかった.

家で絵を描くのは久し振りだが, 今日も倦怠感がありあまり集中できない.

朝食をとる.
納豆と卵かけご飯と味噌汁.

午前中は駅の近くのパン屋といつものスーパーに買い物に行く.
体がだるくて出かけるのが辛かったが, 歩いているうちに少しだが倦怠感が薄れてきた.

家に戻って買ってきたカレーパンを食べる. 美味しい.

午後からデイケアの友人と待ち合わせて映画を観る.
『長ぐつをはいたネコと 9 つの命』.
楽しくていい映画だった.

その後, 近くのカフェに入って話をする.
お互いの最近の生活のことなど近況を話す

夜に帰宅.
食事をとりたいが, 作る気力が出ない.

思い立って近所のラーメン屋に行った.
以前から気になっていた店である.

ラーメンと餃子を頼む.
美味かった.

帰ってそのまま休む.

-0 時半起床.
昨晩は眠りが浅かった. そのせいか若干の疲労感がある.

数学をやる.
教科書を読み進める.
今一つ集中できない.

疲れがある.
けれども今日は作業療法に行きたいので, 弁当を作る.
途中何度も横になる.

いつもなら出かける時間になったが, 疲れているので少し休む.

遅くに家を出て, 昼過ぎに病院のアトリエに着いた.

昼食をとる.

午後は描きかけの絵に色を塗ったり, 構図を修正したりする.
何となく気分が沈んでいる. 疲れのせいかも知れない.

夕方にアトリエを出る.
帰りの電車の中から, 疲労感が酷くて早く休みたかった.

帰宅して, そのまま布団に入る.

2 時起床.

本を読む.
イアン・ハッキング『数学はなぜ哲学の問題になるのか』.
ハッキングは, 数学を数学たらしめているものについて G.H.ハーディの言葉を引用する.
最高の数学は美しいばかりでなく、重い (serious) のである。
確かに, 特にアカデミアでは, 数学は美しく荘厳で厳かなものであると捉えられているところはあるのかも知れない.
しかしハッキングはこれに加えて数学の楽しさ (fun) について述べている.
彼は特に数学パズルなどに表われる, 数学のゲーム性を強調している.
自分はハーディの言葉に深く共感する. さらにハッキングの見方に共感しつつも, 数学の fun な部分については, 精神の深い集中による高揚を付け加えたい.
また, 美しさは別として, 数学について言われる荘厳さや厳かさはおそらく数学の本質からは幾分か離れた一つの見方に過ぎないと思う. 過剰さを感じる.

それから数学をやる.
圏 $\mathrm{C}$ 上のモナド $T$ 上の代数 ($T$-algebra) が, 任意の $\mathrm{C}$ の対象に対する標準的な余イコライザー (coequalizer) 表現を与えるという命題.
一見自明に見える結果の背景に深い構造がある.
昼まで計算を続ける.

午後からはアルコール依存症の自助グループに行く.
雨が降っていたが, 会場の区民センターまで歩く.

今日のテーマは「今日一日」.
アルコール依存症者である自分は, 常に今日一日だけは酒を飲まないでいようという意識に支えられている.
それぞれの仲間の「今日一日」への思いが聞けてよかった.

買い物をして帰宅.
疲れたので小一時間ほど眠る.

夜に起きて食事.
牛肉と玉葱炒めとご飯.

今日はいつものような夕方の鬱が無い. 気持ちが落ち着いている.
片付けをして休む.