スローライフの部屋　数学２＆花と野菜

行列って

イマハ　習うんかな

わたしん時は　習ったけど


次の年の　子は　習わない

しかし

また　その次の年は　習ったとか


上の　ガッコに　行ったら

講義の時

俺習ってない

って　同期生がいて


？？？あ　そうなの？

習った人

半分以下だった

私の時ですが

で

考え方からですが


会社の　生産表があるとするんですよ






成分を

（　　）　とか　[ ]

で　くくって

行列　とか　マトリックス　ッテいうんだって


だからさ

ここは　難しく考えずに

こんな感じで







がっかりしてですか

しばらくお待ちください


でですよ


今度は

等式が　成り立つには






行列では

おなじ　型の行列が　等号で結ばれてると

各成分が　（　要素が　）等しい








横の並びが　行

立ての並びが　列

なので

これは　２行２列の　同型の行列で

成分が　等しくなる様に






なんか　連立　方程式が

４本あるみたいな　感じカナ




➀�Aを　足し算して

ｙを　消去して　xが出て







ｘを　�Aに　代入で　ｙ







�B�C　の　式も　同時に　

満たすので

成り立つと





次は

行列の　相当


まず

型が　同じであること


次に　各成分が　同じであること








同型が　3個


2行2列のものが　3つある









各成分を　見てみると

おなじ　位置の　値が　同じならいいので

左と　右は　等しくない




真ん中は　計算しないと　成分が出ない

成分を　出してみると


どっちだ








右と　同じか







次は　文章を　よく読んでですね


成分を　ijで　あらわすんですが







行と　列の　数が　おなじものを
正方行列と言って


3行3列だったら　3次の　正方行列









各成分を　添え字で

表しておいて


条件どうりに


０　か　1か　見てくと


こんな感じ








次は

さっきの　類題みたいな　かんじですが


全ての　要素に　関して

成り立たないと

イコールではないため


たまに

何かあると








二乗で　１に　なるのは　±１

単独で

a＝−１が　あるので

ここは　aはー１






もう一個やってみますか







計算ドリルみたいなもんですよね








おなじ　文字の　使われてるとこが

どっちも　成り立つように

見てってですよ






後は　計算問題ですか






全部　成分が　成り立ってるか

確認して









で


行列の　足し算は

引き算は

各成分同士の

足し算　引き算


なので

同型でないと　都合悪い






実数　倍　の時は

各成分に　同じく　実数倍


全て　０　で来てる　行列を

零行列　O






行列の　加法は　交換　と　結合と

どっちも　使える









成分が　符号だけ　違うものは

マイナスで

表される







おつかれさま〜

類題で

あるｎ項までの和が

与えられていて

この数列は　どんな数列か？







和から　第ｎ項を　出す公式に

あてはめて　考えるに


１から　１０　まで足したものから

１から　　９までを　足したものを

引けば

１０　だけが　残るわけで

これを　第ｎ項と考えたらば










じゃナイスカね

で

ｎの代わりに　ｎ−１を　入れて


ｎ−１までの　和を求めるでしょ












公式どうりに

Sn−Sn-1＝Xn　ｎ＞＝２


あてはめて








後は　指数の計算


一般項が出て来て







和の公式の時は

ｓ１＝ｘ１なので

初項も　求めてですよ









一般項の式から
ｎが２以上を
　
２，３個見てですね





初項と　一般項からの式で

どうやら

この数列は

初項があって

２項めからは　等比数列に　なってる感じですか









も一つ見てみると


さっきみたいに

和の公式に

あてはめられるように

ｎ−１を　導いて









一般項　Xnを　もとめると








指数の計算で








ここはさ

公式の様に

覚えて








ラージだと

ごっつくてだめ

ならばさ


aで　公式にして


指数の　因数分解





一般項

が出たと







一般項は　２項め　以下で


初項は　S1＝X1


から





S1は　−1/3


２項め　以降は　一般項の式で

求めて






２項め　３項め





所でさ

ｎ＝１の　ときも　見てみると

今回は　S1=X1　からの　初項と

一般項からの　初項が　一致するので








等比数列の　一般項の式に　あてはめて

こんな感じの数列









今度はさ


初めの　ｎ項の　和が

等式に　隠されてる


ここから


和の公式　の　Snを　掘り出して

そこからは　さっきみたいに

やるですが







ログ　覚えていますか


小さい文字を　てい

その後ろが　しんすう　で

真数は　正の数


特に　てい　が　１０のものを　常用対数







公式を

思い出してみてですよ










全部は　使わないけど

せっかくだから

で






本だいは


まずさ

１０　てい　１０は　１だから


ｎ×１としても　ｎでしょ


１を　log10 10


にして






真数の　方に　指数にして　取り込んで

てい　が　同じで


イコール　だから

真数は　イコール

ということで

ログを　外してしまって








ここまで来たら

いつもみたいに







Sn-1を　作ってですよ


公式から

一般項










またしても　指数の計算で









S1より　初項をもとめ







一般項から

２項め　以下を　求め




一般項から

初項を　求めたものが


S1から　求めたものと　一致したので

これは




等比数列の　一般項の公式どうりに









今度は

和の式を　求めるんですが

初めのｎ項までの　積　Pn　と言うものが

出て来ました









Pnを　分析しますと

初めの　ｎ項の　積が　Pn

ここで

いつものような感じで

Pn−１を　求めるでしょ









Pnの式の　ｎを　ｎ−１にするじゃナイスカ


で

分母　分子に

Pn-1　Pn　とすると


やくして　出たものが　一般項第ｎ番目

　an










値を　代入して

aｎを　求めると







指数の計算で

２項め以降は

これ





で

掛け算なので

a1＝P1




２，３個求めてみて




等比数列の　形が　見えてきたので

和の公式に　代入して







計算してくじゃナイスカね







なんかさ

マイナスが　一瞬あれだけど

分子も　マイナスが　出てくるから

うんまく打ち消して


これ







次の　一般項を　求めよ








これはさ

なんか　面白い形なんですよ

aｎ−１を　作ってみるでしょ







アンダーラインのとこを

aｎ−１の式に　置き換えて


一般項が　こんな感じ

でも　いつもと違うのは

ｎ＞＝３








初項から　見てくと

５でしょ


２項め　a1=a2

？　なので　５







３項め

５×２

４項め

５×２の二乗








なので

整理すると　こんな感じで








ちょっと面白い感じの　一般項に　なりました。

　








おつかれさま〜

大人のさび落とし

今日は　久々の　数２

等比数列である　条件


（１）　（２）　と

問題がありまして　ですね






（１）から

ｎ項めがさ　

定数×　何かの指数に　

なってるので

これは　

等比数列らしいと




一般項は

n 項目がさ　　初項　a×　公比の　n−１　乗になるので


この形に持ち込みたいのだけど

まず　２，３　項　調べてみるじゃナイスカね







１項め　

２項め　３項め　デショ


並べてみて


初項　が　ab

以下

bが　公比の　等比数列










で

これを

一般項の形に　持ち込みたいので

初めに　与えられた式に

ｎ　のところを　n−１　にするでしょ


で


a＝　の　形に　式変形して



初めに　与えられた　式に　


代入して

ｎ−１　を　作ると








でさ

普段　やってないから

ピーンと　来ないんですが

わたしは　困ったしまってね


ちょっ　とー　いいです　か

右に　具体的な　数字で　やってみるじゃナイスカ


で










ｂの　指数計算が

簡単に　なってさ


ｘの　ｎ−１　が　できて




ｎが２以上の時の　一般項と

ｎが１の時の　初項


兎も角

初項　ab　公比　ｂの　等比数列









（２）はですね

和の公式から

一般項を　求めるもので

試しに

２，３　こう見てみると










１　個の　和は　初項







２個の時


３個の時









それで

数列の　和の　公式で

ｎ番目まで　足したものから

一つ少ない

ｎ−１番目　まで足したものを　引くとさ


第　ｎ　番目になるじゃナイスカ



ここで　ｎが　２以上でないと

S　の　n−１が　０　になってまうので



ｎ　は　２以上を　かいて







公式に　代入して

一般項　ｘのｎ番を　探ると









またしても　指数の　計算がさ

普段やってないので

わたしは　困ってしまうのです


で
　
さっきみたいに　



ちょ　とー　いいですか　


右で　実験してみてさ

安全を　確認して

こーだ








だからにして

ｎが　２以上の時の

一般項は　これ


わの　引き算の公式では

ｎ＝１　の時は　ｓ１＝ｘ１

で　初項です



初項は　ab+c









ここで

この数列が　等比数列に　なるための

条件は


ｓ１＝ｘ１

から出た　初項　ab+c と


一般項の　ｎは　２以上のとこを





ｘ２　以下も　公比　ｂ　だから





ｎ＝１で　みて

ab-a 　が　ab+c

と　等しくなれば　いいから








等号で　結んだ式を

見てみると






ｃ＝−a


余談ですが

しぇ〜　って知ってる？　


せかって　しってる？（　SECA ヤマハのナナハン)

排ガス規制が　やってくる

お願いだ

無理を　承知で

Z900RS　リバイバルに　対抗して

SECA　だして



無理だと

分かってますが

コウロギのごとく

初めはさ

普通の　ライダー　だと思ってたのに

すごい人　何だね

俺も　練習したいな

あ〜

過激じゃなくていいけどさ









Gpz900R

乗ってみたいけど

大体　あれを　持ってる人は

カスタムしてしまう傾向があるので



安く　ノーマルは

無いだろうな


兎も角


スタイルは　良かったなぁー・・・・・

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二つの数列　ということで

等比数列と

等差数列があるんですよ


で

きょうはね

等比数列の　初めの　ｎ　項の和が


等差数列の　初めの　何項　かの　和に　等しいことを

証明せよです


行ってみましょう











等比数列の方から

初めの　ｎ　項の和の公式は


公比　ｒ　が　１でなければ

縦に　並んでる

上の公式







与えられてる

等比数列　は　1.9.81.729.・・・・・

初項は　これだと　１だから

一般項の　公式に　入れていって

２項目








３項目


２項間の比を　分数にして

求めてくと





初項の　aは　約すと

消去できるから




こんな感じで

リバースして

9








公比９の　等比数列

初項は１

一応

検算で

ｎ＝　１

ｎ＝　２








ｎ＝　３


ｎ＝　４


なるね







第ｎ項までの　和を　求めると

一般項の　公式は

使わないけーどさ

公比とか　初項とか

しらべたかったからさ



で

公式に入れて








これが　等比数列の

初めの　ｎ　項の和






かたや

等差数列の方は


1.2.3.4.・・・・


なので

公差　１

初項１

一応

一般項は








公式から

ｎ

この数列の

第　ｎ　項までの和は

公式から






だからにして

代入して

整理すれば


これ


で

問題は







等比数列の　第　ｎ　項までの和が


等差数列の　第　何項目　かまでの　和に

等しいことの　証明

だから

このさ

見た目の　問題だけど

第ｎ　項を　

第ｍ　項にして


もう　文字が　違うから

殆どの場合　値が　違います








等比数列の　ｎ項までの和　＝S


等差数列の　ｍ項までの和　＝T

とすれば







S=Tになるときの

ｍを　求めて

（　ｎの式で　）






ｍの　二次式になったでしょ






指数の

因数分解など

準備して










ｍの２次式を　因数分解して









＝０を　解いて






で　初めの括弧の中は

これはさ

０とかに　ならず

つねに　正だから

不適


後ろの括弧の中は

＝０になるとこを　見て








分子は

いつも　計算すると　偶数になってるので

（　３の倍数　−　１　で　偶数　）

それを　２で割れば

整数


正の整数

ｍは　これです









なんかすっきりしないからさ

このなんだ

ｎ＝４　だったら

ｍは　いくつか見るでしょ


４０　だって





これを

ソレゾレ　数列の和の公式に代入して

等比数列の　初めの４項の和が

等差数列の　初めの４０項の和になったと

だから

この　ｍの式は　あってると


これを　満たす　正の整数







二つの変数　ｘ、ｙ　があって

関係式が　これです


ｘを　１から　１００まで

順次　代入して

ｙの値の　総和を求めなさい







すぐに

公式に　入れられれば　楽なんだけど







まともに　やらずにですね


少し　分解して

一つづつ　分解して　並べたら

前半は　等差数列


分解した　後半は　等比数列に　なってるじゃナイスカ

そこで

それぞれの

和の公式で








計算してきますと

電卓　どこ行ったかな

ん

まー　こんなの　電卓で

数字　出したとて

さ








指数は　そのままでいいということで


これ

怖いのは

うっかりしてると

電卓に　頼ってるから

引き算が　怪しい

みな様は　計算力　錆びてませんか？







次はね

これは

数学の　センセとか　好きそうな問題ですよね


ずいぶん昔んだから

出る可能性は　高い




等差数列


等比数列

があるんだけど

連続する　３数が　そうなんだって


これはさ

なんか　決まりがあるんだけど


一回　やっておけば

これは　そんなに　いじれないから

テストに　出る可能性は　高いと思うけど

で








等差数列だから

公差一定

公差を　ｄと置いてですね



で　四角で囲んだ式






等比数列だから

公比が　一定

公比をｒとしてですね





四角で　囲んだ　式


この　二つを　連立して







一文字　消去すると








二次関数を　因数分解でしょ






aと　bの　関係が　またはで

２通り







a＝−２ｂ　の時は　ｃ＝　４ｂ

a:b:c = -2:1:4








a=bの時は

ｃ＝ｂで

a=b=c


a:b:c ＝　１：１：１





なので

答えは　２通り







次はですね

二つの　数列が　あるんですが


この数列の

２ｎ番目と　　ｎ番目　と　１を　たした　√が

或る整数に　なることを　証明せよ






aの数列は

２ｎ番目は　１が　２ｎ個並んだ形だから

等比数列の　和の形で

あらわせて


こんなで








公式に　入れて計算すれば　こう








ｂの方も

ｎ番目は　

４が　ｎ個並んだ形だから

式変形すれば

ある　等比数列のｎ項までの和の　４倍





公式に　入れれば

こ





√　の　式に　代入じゃナイスカ






で

分母は

３になって







分子は　何と　因数分解で来て

括弧の　２乗だから


√が　外れて






で

式変形すると







３で　割り切れて　整数に　なるものに　１を足す形なので

整数になる




これでいいとしてください

で　次はさ








等差数列an


等比数列bn

があって

ｃｎ　という数列は

ｃｎ　＝　an + bn


で

ｃ１＝　２　、　　ｃ２＝　５、　ｃ３＝１７　、何だって

ｃｎ　うを　ｎ　の式で


表せ


ただし　bnの　初項　公比は

共に整数で

公比は　０ではない









そんなに　難しく考えなくても

よさそうだと

たぶん　公式を　いじってけば

と

たかをくくっていきますと






ね

そんなに　難しく　なさそう









順次　式に　値を代入してくと







連立な　式が出て来て

でもさ

なんか　困ったことがある


文字の数より

連立の式の数が

一つ少ない


？






ここから　どーするかな








問題文に　公比　初項は　整数で

（bnの　初項　公比は　整数で

公比は　０ではない）


もしかしてですが

これわさ


正数解

のもんだい







二つの整数を　掛けて　９になるもので

条件を　満たすものを　探すと








ｂ初項　ｒ公比

ｂｎの　初項　公比は　整数で

rは　０では　ない


なため

なんか　二つか　３っつ　出て来そうで








四つでてきたけど

条件に　適さないものを

見て






３通り


んー　サントリー






ここまでの　放送は

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・・・






ちょっとさ

延長ですか

出て来てた　連立の式に

順次　ｂ　、　ｒ　を　代入して

a,d　を　を　求めて

an bn の　一般項を　完成し


ｃｎ　＝　an + bn


で

３とうり　書けば　答えです






⓵’を　�A式に　代入して

ｂ　ｒ　に　それぞれ

値を　３通り代入してけば








１通り目

a=1

ｄ＝０

ｄは

０でも　オッケイ






一組目

次に

ｂ＝１　ｒ＝-2の時








a＝１

ｄ＝　６


二組目は　これ








３組目

ｂ＝９　ｒ＝２の時

a＝-7



ｄ＝-6


３組目はこれ








全部　出そろったとこで






ｃｎ　の　式に　代入してくと







さんとうりー

だからさ






少し　最近　サミーになってきてるけど

すみません

思い出して

センチに　なっててね







戦争と　戦争のい噂が　聞こえてきました

主に　信頼するものは


幸いです

あなた方に　わたしの平安を

残していく

わたしが　与えるものは


世が　与えるものとは　違う

あなた方は

心を　騒がせては　ならない


落ち着きを　なくさないように