スローライフの部屋　数学２＆花と野菜

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玉ねぎなど　収穫してました

もうちょっと　太らせたかったのですが

くきが

いやいや　してしまって

収穫になりました







大きいものから

小さなものまで



自家菜園だからさ

これくらいだよ。


マグカップの　いきもの

これって何？

くまうさぎ？

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等差数列　で　あることを

証明する問題です


行ってみましょう


第ｎ項が　与えられてるとき

（　これは　等差数列　なんだって　証明してください　と言うもの　）


と

初めの　ｎ項の　和が　あるとき

（　これがさ　　やっぱり　ものは　等差数列なんだけど


　　どうすれば　証明できる？　と言うもの）











等差数列⇒

ならば

項と　項の間が　　一定　（　公差　）

aｎ　が　式で与えられてるので

ここの　ですね

ｎのところを

ｎ−１　にする

これでいいんだって










代入じゃナイスカ

展開して










これを　です　ねー　


an　ー　a(n-1)


を　計算するんですよ


Pに　なったでしょ


題意より　Pは　一定


公差が

一定だから
　
等差数列


あー　ここでね

n−１　ッテいう　番号を　使うときは

ｎ−１　が　ちゃんと　番号として　あるように


　ｎ−１　＞＝　１

なので　移行すると

ｎ　＞＝　２










次は　和の値が　与えられていて


図で見ると

はじめ　から　anまでの和が　Sn


そこで

今回は　Sｎの　式があるので

ここに

n−１を　代入して








展開して


Sn　−　S(n−１）　をすると








この差が　aｎ　になる







計算するでしょ

で

さっきの







ｎ−１を　番号で使うときは

ｎ−１　が　ちゃんと　番号として　あるように


　ｎ−１　＞＝　１

なので　移行すると

ｎ　＞＝　２








あーここで

ｎ＞＝２でやってきたんですよ


an = は　２項めからってことか

なので

初項は　Snから　ｎ＝１を　代入で

a１









一応

aｎの方にも　ｎ＝１　を　入れて見たら

一致したんですが






今回の　数列は

初項から　等差数列のようです










初項があって

２項めから　等差数列になってる場合









こんな感じで

なるらしい



今回は

等差数列です










次は

問題を　よく読むと

数列の　一般項を　求めよです



答えから　行くと

(１)は　初めから　等差数列で

（２）は　２項めから　等差数列で


（１）　は　等差数列

（２）は　初項を除けば　等差数列


公式から　求めてきますと








n−１番を　使って








Sn　の式から　a１を　求めて


ここでは






an からの　a１が　一致するので


初めから　等差数列

な

一般項








ｎ−１番を　使って






aｎ　からの　１番目と　Sn からの

１番目が　ずれるので








息抜きです






息抜きです





初項を除けば　等差数列な　一般項










次は

等差数列か　どうか？








公式に　ｎ−１番を使て

計算してくでしょ








一般項が出て





２項め　からは　これでいいので

初項を

Snから　求めるとじゃナイスカ









こんな感じなんです






並べてみて





cが　０⇒　初めから　等差数列


ｃが　０でない⇒　等差数列ではない








初めの　ｎ項の　和が

与えられていて


一般項を求めて


この数列の

負の項の和を　求めよ









一般項を

ｎ−１番を　使って

Sn　から　求めるじゃナイスカ








代入してですね






一般項が出て来て





和の形で　来てるので

初項は　Sn　に　ｎ＝１を　入れて

S1=a１








初めが　マイナスで


だんだん　プラスガワに　変わってってると






項数が　少ないときは　実証でいいけど

多くなったら　やばいから


一般項ら　不等式で

ｎは　整数


初めから　４項が　負の項






和の公式に代入して

２分の　項数　×　（　初項　＋　末項（４項め））



-16
















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久々の　更新ですが


極秘任務があったため

ほんとは　ぜんぜん　極秘ではないのですが

食材とかですね

税金

などなど


遅くなってしまいました





予告通り

こないだの　類題からですが

二つの　数列があって

はじめて出る　共通項は


その共通項　で　できてる数列の初めの　１０項の和は


と言うものです







まず

数列の　一般項の形を

出してるるとですよ







初項　公差から

公式で

初めの方は

５m-4


もう一つは


初項３　公差　７なので






７ｎ−４






この二つ数列で

作り出される

共通の数列は


イコールで　結んで


あー

ｎ　番目　が　同じとは　限らないので

ｎ　と　ｍ　で　表してあります



ｎ、ｍ、　は　整数









これが　新しい数列の形なんだけど


これじゃ

よくわからないので


ここから

一般項を

第　ｋ　番目にして

取り出し来ると








ｍを　ｎ　で　表すと

５分の７ｎ


ｎ、も　ｍも

整数の　集合なので

分数では　まずいです


丁度　整数に　なる関係が

共通項


ｎが　５の　倍数ならば　整数に　なるので








７，１４，２１、・・・・


ｎ＝５ｋ　を　（K=1,2,3,4,5,・・・・・）


イコールで　結んだ　式に　代入すると







７ｎ−４　のところに　入れるじゃナイスカ

３５ｋ−４


これが　一般項




だから

最初の　１項目

はじめて出る　共通項は

31





なので

ここで

システムを　見ていくと

イコール　で結んだ式の　片方に








丁度　整数になる　ｎ＝５　を

今度取り出す　ｋ　の　一般項にすべく

ｎ＝５ｋ　で　代入して


Ck＝３５ｋ−４な感じで








なので

新しくできた　数列は

これ

初項　３１







公差は　３５


初めの１０項の和は

公式から


二通り

一つは

２分の　項数×　（　初項　＋　末項）






コレダと　一般項の　公式で

第　１０　項めを　求めてからでないとだめだか








１０項目は　346






項数１０　初項３１　末項346

公式に　入れると


1885








もう一つの

方は


項数と　初項と　公差

が　分かれば出るので









代入いたしまして

これです


同じじゃないと　やばいんだよ





ほっと一息　宣伝です


私は

聖霊と共に

やってます

私なんか

主がいなければ　ごみ　みたいなもんです









次はですね

二つの数列があってですね


なんか　しゃべりが

野菜の　時間みたいに　なっちゃ　タカナ


初めの　２ｎ−１項の　和の　比が


第ｎ項め　の　比と　同じであることを

証明してください　と言うものです










一般項で

第　ｎ項を　求めるとですよ

公式がこれだから






A,Bと　するでしょ

数列を




Aは　初項が　a 公差　ｄ









Bは　初項が　a' 公差が　d'



なので









一般項　第ｎ　番目　の比は　こんな感じ







それぞれの

２ｎ−１　項の　和は

公式に代入して

こんなだから

比にすると




同じになってるよねー

いいんでないかい





へてから

二つの数列があって

Bの　初めの　奇数個の和が

Aの　ある　連続した　同じ奇数項　の　和になることを

示しなさいと









そこでですね

まず　奇数を　文字で表すと



普通に　全部　並べると

１，２，３，４，５・・・

奇数、偶数　まざってるから

２倍して

そしたら

全部　偶数になって

２，４，６，８、・・・・

そこから　１を　引くと

奇数に　なるから








２ｎ−１　で　奇数を　表現して


Bの　初めから　２ｎ−１項の和は

公式にあてはめて









こんな感じに　あてはめるじゃナイスカ








計算してって







まとめると　

こんなですよ











次に　これが　　　Aの　ある連続した

同じ奇数個の　和に　等しいので


ある数からの　ある数を　ｋ　とでもすると

Aの　ｋ番目は　ｋ





ｋ番目から　同じ　奇数個の　連続の　和は








公式に　こんな感じに

代入するじゃナイスカ








こんな　感じになりましたよ








で

これがさ

等しくなるには


イコールにして

２ｎ−１は　０でないから

やくして

整理すると








ｋ＝ｎだって

なので







題意に沿って

Aの　ｋ　番目から

始まる　２ｎ−１　項の和は


kを　３で考えてみると

奇数の数は　５










試しに　計算するでしょ









なので

Bの　初めから　奇数個の和が

Aの　ある数からの　同じ連続奇数個　の　和に


等しくなる　　自然数が　存在する。










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タイム　中です




何せですね

数２　に関しましては


現役　や　浪人　の時は

ちがう　参考書　使ってましたため


卒業してしまって

数十年　経過した　今

初めて　見てますので


トらを　見ながら

捜索しています




なため　

畑に　逃げてますと



やれと

本日　お叱りを　受けてまいりまして


お互い　ジョークデスがね


人生は　楽しいですね





ともかく



タイム　が　出たままです









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自家菜園



なかなか

思うようには　できずに

いるのですが


それでも

ようやく

作り方を　考えられるように

なり始めたカナ



こうやれで

型から　入ったんですが


やっと


少しだけ　あそっかに

なってきました

まだ　失敗が　多いのですが






ところで

このゴールデンウィークは


雨が　降らなくて　困っております




やっぱりさ

雨は　大切だ



なもんで


勉強　やってません

次は

こないだの　類題を　やるつもりだけど





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むずかしいやねー




あと五分　寝させて





数列が　二つあるんですよ


でね
　　　　北斗の拳　ぶー
ひで

これじゃ　意味不明か

すまぬー

共通に　含まれてる　数が

どんな　数列を　作るか

また

その　数列の　和を求めなさいと






数列と言えば

等差数列の場合は

初項と　公差

で　一般項を　表して　おいて

あー


それで

ふたつの　数列の　同番目　が　一致とは

限らないので

違う文字を　わざと　使って


A

B

の　一般項を　出すじゃナイスカ










Aは　こんな感じだったから

初項は　１　


公差は　３






一般項　第ｍ番目　は　　３ｍ−２







Bは　こんな感じだったから


初項は　11　

公差は　１０








一般項　第ｎ番目は　１０ｎ+1







AとBに　共通に　含まれてる数は

どんな　数列を　作るかということで


am = bn


で
　イコールで結んで





これが　成り立つところが

新しい　数列


Aの　ｍ番目と　Bの　ｎ番目の

かかわりは

ｍ＝　で　表して

これが　整数に　ならないと　いけないので

分数に　なってるとこが　　割り切れる形に

なるには

ｎは　３の倍数







なので

新しい数列の　第ｋ番目を

かんがえるときに







ｎが　３の倍数の時に　成り立つのだから


１０ｎ+1に　ｎ＝３ｋを

代入して

３０ｋ+1





新しく　できた　数列をＣとでもして


第ｋ番目は

３０ｋ+1

この数列は

有限数列で






項数をＬとでもすれば

末項　が　１０００以下でないといけないので

Ｌ＜＝33.3

整数だから　33





とーいうことは

新しい数列は

項数が　全部で　33

初項は　31





公差は　30







末項は

３３番目で

991





なので

初項　31　公差30　項数　33　末項991

な　数列で






二通りの　方法で

和を　計算しますと






こんな感じで








ここらで

ゴールデン　ウィーク　タイム。




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天気よかったね

勉強やってません


でもさ

うれしいじゃナイスカ

だんだん　緑になってきて




花は

きりかぶに

植えてみたんだけど

だいじょだな







叔父が

アジサイ　の　苗を　持ってきてくれて

たのしみだなぁー






きおんも　

種に　

いい温度になり





でましたよ






それから

これも　植えとけよ

ブロッコリー

カリフラワ

ケール





どれが　どれだったかな

わかんなくなってしまって







オートキャンパーは

老朽化のため

遠くには　行きません



あー　花が咲いてる






行ってみてこい


とー

いうわけで









ワープしますと







ちょうど　満開でした。

長野県の

どこかです。






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