ていへんかけるたかさわるに

ノートに書いた練習問題の証明を LaTeX で書く.
最初から LaTeX で書いていくやり方もあるが, 数学を考えながら LaTeX で文書を作成していくのが今の自分にとっては少し難しい.

また, 数学を考えながら LaTeX で文書を作っていく作業は今のところ外では行えない.
そのために使えるノート PC が 2 台とも故障しているのだ.
つまり先日のようにクリニックの待ち合い室で証明を書いていくようなことができない.

そういうわけで, 今のところノートに書いてから LaTeX で文書にするのが一番やりやすい.

練習問題は次のようなものである.

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圏は, その圏の任意の対象から任意の対象まで, "結合可能 (composable)" な射の経路を前後に辿って到達できるとき 連結 (connected) であると言う. この定義を正確に行って, 任意の圏は互いに交わらない連結な部分圏の和として一意的に表わされることを証明せよ.

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証明の出だしのところだけできた.

$\mathscr{C}$ を任意の圏とし, $\mathrm{source}, \mathrm{target} : \mathrm{Ar}(\mathscr{C}) \to \mathrm{Ob}(\mathscr{C})$ を $\mathscr{C}$ の射に対してそのソースとターゲットを与える関数とする.
すなわち, $f : X \to Y$ を $\mathscr{C}$ の射とするとき, $f$ に対して
\begin{equation*}
\mathrm{source}(f) = X, \quad \mathrm{target}(f) = Y.
\end{equation*}

$\mathscr{C}$ の射 $f$ と $g$ に対して, 式:
\begin{align*}
\mathrm{source}( f ) &= \mathrm{source}(g), \\
\mathrm{source}( f ) &= \mathrm{target}(g), \\
\mathrm{target}( f ) &= \mathrm{source}(g), \\
\mathrm{target}( f ) &= \mathrm{target}(g)
\end{align*}
の少なくとも一つが成り立つとき,
\begin{equation*}
f {\,\langle{\mathrm{\small comp}}\rangle\,} g
\end{equation*}
と書く. ${\,\langle{\mathrm{\small comp}}\rangle\,}$ は $\mathrm{Ob}(\mathscr{C})$ 上の関係で,
(i) 反射率: 任意の射 $f$ に対して $f {\,\langle{\mathrm{\small comp}}\rangle\,} f$;
(ii) 対称律: 射 $f$, $g$ に対して $f {\,\langle{\mathrm{\small comp}}\rangle\,} g$ ならば $g {\,\langle{\mathrm{\small comp}}\rangle\,} f$
を満たす.

任意の非負整数 $n$ に対して
\begin{equation*}
\mathrm{Path}_{n}(\mathscr{C})
= \left\{\, (f_{1},..., f_{n}) \mid
f_{i} {\,\langle{\mathrm{\small comp}}\rangle\,} f_{i+1} \, (i = 0, 1,..., n - 1)
\,\right\}
\end{equation*}
と定義する. 特に
\begin{align*}
\mathrm{Path}_{0}(\mathscr{C}) &= \left\{\, () \,\right\}, \\
\mathrm{Path}_{1}(\mathscr{C}) &= \left\{\, (f) \mid f \in \mathrm{Ar}(\mathscr{C}) \,\right\}, \\
\mathrm{Path}_{2}(\mathscr{C}) &= \left\{\, (f, g) \mid f, g \in \mathrm{Ar}(\mathscr{C}), f {\,\langle{\mathrm{\small comp}}\rangle\,} g \,\right\}, \\
\end{align*}
$\mathrm{Path}_{0}(\mathscr{C})$ は 0 個の射の列からなる集合.
$\mathrm{Path}_{1}(\mathscr{C})$ は 1 個の射の列 $(f)$ からなる集合.
$\mathrm{Path}_{2}(\mathscr{C})$ は 2 個の射の列 $(f, g)$ で $f {\,\langle{\mathrm{\small comp}}\rangle\,} g$ を満たすものの集合.

$\mathrm{Path}_{n}(\mathscr{C})\, (n = 0, 1,...)$ の非交和を
\begin{equation*}
\mathrm{Path}(\mathscr{C}) = \coprod_{n=0}^{\infty} \mathrm{Path}_{n}(\mathscr{C})
\end{equation*}
とおく.

定義 1 (圏の連結性). 圏 $\mathscr{C}$ の 2 つの対象 $X$, $Y$ に対して, ある $(f_{1},..., f_{n}) \in \mathrm{Path}(\mathscr{C})$ が存在して
\begin{equation*}
\mathrm{id}_{X} {\,\langle{\mathrm{\small comp}}\rangle\,} f_{1},　f_{n} {\,\langle{\mathrm{\small comp}}\rangle\,} \mathrm{id}_{Y}
\end{equation*}
が成り立つとき,
\begin{equation*}
X \sim Y
\end{equation*}
と表わす. 任意の $X, Y \in \mathrm{Ob}(\mathscr{C})$ に対して $X \sim Y$ が成り立つとき, $\mathscr{C}$ は 連結 (connected) であるという.

命題 1. 任意の $(f_{1},..., f_{n}) \in \mathrm{Path}_{n}(\mathscr{C})$ に対して $(f_{n},..., f_{1}) \in \mathrm{Path}_{n}(\mathscr{C})$ が成り立つ.

ここまで.

関係 ${\,\langle{\mathrm{\small comp}}\rangle\,}$ が反射率と対称律を満たすことや途中の命題などの証明は ${\,\langle{\mathrm{\small comp}}\rangle\,}$ の定義から導かれる.

4 時半起床.
今朝も早起きができた.
昨日は絵を描いて皆との話に加わったりもして精神的にとても疲れたのだが, そのおかげで熟睡できたのかも知れない.
精神的な疲労が悪い方向に行かなかった.

昼まで数学をやった.
考えている問題の回答を LaTeX で書いていたのだが, たっぷり時間があった割りにあまり進まなかった.
何か考えがぼんやりしている感じで集中することが難しい.

早起きにまだ頭と体が付いていけていない感じ. 結局午前中ずっとすっきりしなかった.

午後はチラシ配りに出かける.
このバイトを始めてから 2 か月ちょっと経った.
7 月の後半くらいからやっと要領がわかってきた気がする. 道順も間違えなくなったし, チラシを配るペースも安定してきた.
採用面接のときには, 担当者から「大体一時間あたり 100 枚くらいのペースが普通です」と言われたが, それくらいのペースで配っている.
嬉しい.

帰宅してシャワーを浴びて夕食にする.
けんちん饂飩. 大根, 人参, 牛蒡, 油揚げを出汁で煮て饂飩を入れる.
作るのに時間がかかり, しかも歩き回ったせいか強い眠気が襲ってきた.

食べてすぐに休む.