スローライフの部屋　数学２＆花と野菜

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雨の日の　スローライフの部屋

３次関数が　あってですね

全部　係数が　文字なんですよ

しかし

２本の　接線と　２つの　接点が　与えられてるので

係数　a,b,c,d　、を　求めよということなんですが

行ってみましょう。









まず　点（0,1）　のところで

ｙ＝ｘ+1　に接するので



接点を　使って

曲線上の　点でもあるじゃナイスカ

曲線を　f(x)　として

ｆ（０）＝１になるんだからですよ


代入してくと　ｄ＝１

まずいっこ

ｆ’（ｘ）　は　接点に　おける　接線の　傾きなんだから

接線の　かたむき　ｙ＝ｘ+1　　の　ｘの　係数と同じ


１でしょ









接点は　（0,1）

なので
　
ｆ’(0) の　傾きが　１

ｆ’（０）を　代入して

計算していて　＝１だから

ｃ＝１





二つ　出てきたから

ｃ＝１　ｄ＝１　を　曲線に　代入してしまって


さらに


点（３，４）で　ｙ＝−2ｘ+10　と接するから


接点を　使って

曲線上の点でもあるので

ｆ（３）＝４

代入して　＝４









こんな感じで

ｆ’（３）　接点　ｘ＝３の　傾きは

接線の　ｙ＝-2ｘ　+10の　ｘの　係数と　同じだから

-2








代入して　計算して　＝-2


出てきた


二つの　方程式

27a + 9b = 0

27a + 6b =　-3


から

ｂ＝１











b＝１が出れば


a＝　-1/3


答えはa=　-1/3 , b=1, c=1, d=1,






今度はですね

これは　ちょっと　悩んじゃいましたよ

曲線と接点と　接線が　与えられてる感じですが



接点は点（-1、１）　　のみで　ｘ軸に平行








ｘ軸に　平行ってことは　じゃナイスカ

０ですから

ｆ（ｘ）　を　一回微分の

ｆ’（ｘ）　で　傾きを　出して

それが　＝０　じゃナイスカ

自分に　言い聞かせるようにですよ


だいじょだろうな






整理して

2a - b = 3


へてから

接点が　あるので

曲線上の　点でも　あるじゃナイスカ

だから　ｆ（-1）＝1

代入して

計算して　　＝１　なんだから

a- b + c = 2








2a - b = 3

a- b + c = 2


もう一つ　なんか　なぁい？↑


困るじゃナイスカ









のみ　の　問題か

f’(x)は　接線の　傾きで

ｆ’（ｘ）　が　２次方程式に　なってるけど

接点　（　解　）　が　（　-1,1）　のみ　ってことは

重解ですよ　か



判別式を　持ってきて

D=0







これで

わかんない文字が　３っつ　式が　３っつ

�@　を　３倍して






�Bを　引いて　aの２次方程式

aが　３


bが　ｂも３







ｃは　２








次は

曲線を平行移動したら

接線に　接しました　で　そこで

問題です


行ってみましょう







まず　平行　移動から

ｘ軸の　正に　aだけ

移動すると


それぞれ　（ｘ−a）

さらに　

ｙ軸の　正に　ｂだけ　

移動すると


+ｂ





これを　ｆ（ｘ）　と置いてですよ

ｆ’（ｘ）　は


エネルギー　切れです

しばし　お待ちください

朝起きたばっかだからさ








一応　接線は　あるんですが


ｆ’（ｘ）　が　接線の　傾きになるので

＝−１

ここから　

接点を　割り出してくじゃナイスカ


展開して


整理して






因数分解して

うまく　因数分解できると

気持ちいいですよね



重解に　なってって





接点は　一つのようですね


これを　ｆ（ｘ）　に　代入すると


＝ｂ　で


接点は　（a+1,b)







でですね　ですよ


接線が　わかってるんだけど

ここから

また　接線を　起すじゃナイスカ






同じものなんですから　ですよね

双方の　ｘ　の　後ろを　＝で　結んで

整理して

そしたら

a+b=1







それで

移動距離が

最小になるとこを

aの　式にして







ルートの中身が　２次関数ならば

放物線だから






最小値が　　あるはずじゃナイスカ


頂点を　出すでしょ







aが　1/2の　とき最小で


（　√の中身　）


その時の　aと　bは

a=b=1/2













（　晴れ部屋へ　家庭菜園と５Ｆ　４Ｆ　３Ｆ　２Ｆ　1 Fざっかや

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雨の日の　スローライフの部屋


定直線に　接する条件


曲線の式が　文字を　含んで　与えられてて

その曲線が

定直線に　　（-1、-5）で　接する　様に　


文字の　値を　定める問題


行ってみましょう








今回は　接点が　これに　なる様に

（-1、-5）　なんだって


接点は　曲線上に　あるから


ｆ（-１）＝-5


になる






で

一回微分の　ｆ’（ｘ）　の方は

直線が　接線になるわけで

傾きが　２だから

ｆ’（-1）＝２








ここからは　　連立　方程式で

a,b


a=5 b=9





今度は

同じくに　見えるけど

曲線に　接線が　接する様に

接点は　与えられてない

だから　　


接点を　仮定しないと　いけなくて







直線の上にも　接点は　存在するわけなので

直線から

接点を　仮定すると

一回微分　の　ｆ’（ｘ）＝　２

これは　接点　α　においてなおで

さらに　αを　代入して

ｆ’（α）＝　２








接点を　直線の　側から　仮定したですが

曲線上の　点でもあるわけで


曲線　ｆ（ｘ）　に　α　、２α　を　代入すると


ｆ（α）＝２α






この�A式を　さっきの　�@式に　代入して

α　＝１








a＝１








今の　問題の　類題です


曲線と　直線があって

接するように

aの　値を　定めよ







接点が　わかてないので


曲線上にも　直線上　にも　接点は　あるので

直線から　仮定して

一回微分の　ｆ’（ｘ）　は　接点αで　傾きが　１だから


f’(α）＝１







接点は　曲線上にもあるわけだから

接点を　

代入すると

f(α）＝　αー１






出てきた　二つの　関係式から

�Aに　�@を　代入して







係数aは　



4/27


４月　２７日　じゃ　な　いから　さ

だ　いじょうぶ　だーよ　ね





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傾きと接線

の　類題なんですが


曲線の　方程式を　一回　微分したら

それぞれの　曲線上の　点における　傾きになります

後は　点を　代入するだけ









傾きが９なので


逆に

微分したものが　９　になったよから

ｘ　を　割り出すと








因数分解して

３または　-1





接線が　二つってことになるから

それぞれ

接線の　公式から

x＝３のとき








x＝−１の時








傾き９の　接線は　２本






へてから

ｘ軸に　平行だったら







傾きが　０ってことに　なるので

一回微分が

＝０になるとこから

接点の　xを　逆に　割り出すと



０または2








接線の　方程式に　代入すると


x軸に平行な　接線なので

ｙ＝　いくついくつ

になるはずですが







ｙ＝２と







ｙ＝−２


だから

ｙ＝±2




11
を　飛ばしてしまいましたが






次は

おなじ曲線なんですが


傾きが　最小の時


一回微分が

あるじゃナイスカ







良く見ると

x二乗の前の　係数が　正の数な　二次関数

グラフは

上に開いたかたち


ということは

最小値が　ある　


標準形で

頂点を　求めるべく　


平方完成から　変形してくとですね






こうなってこうなって　こう









標準形は

xが　符号が　反対になってるんですが


頂点は　（1、-3）









そのまま

-3　でも　いいかもしんないですが

一応　ｆ’（ｘ）　に　入れて見るじゃナイスカ








で　接線の　方程式は

公式から

代入して

こう






次はですね

ｙ＝ｘに　平行な

二つの接線の　方程式を

もとめ

接線　間　の　距離を　求めよと

微分するのに

計算間違いするとやなので






わざと　展開して

微分して


これが

ｙ＝ｘと　平行だからにしてですね

微分したものが　傾きで　傾きは　１と







因数分解でしょ








接点が　二つ出て来て

x＝１の時







ｘ＝−1/3の時









で

接線が　二つ










で

ｙ＝ｘ　に　平行なので

傾き１は　ｘ軸と　４５度を　なしてるじゃナイスカ

と　トらは　言ってましたよ







サイン４５を　使って

接線間の　距離を　求めると

１６√2/27







最後はですね


なんか　難しそうな

曲線上に　pという　点があるんですが


このｐにおける　接線が

曲線を　表す　式の　aに　影響を　受けない

pを　求めてほしいということのようです









兎に角


傾きなので

微分して

aで　くくってみて

p点の　傾きなので

pを　代入して








aに　無関係なんだから

a（　）　＝０　なら

いいと







因数分解じゃナイスカ







答えが　３っつ　出てきたけど

題意から　pは　０では　ないとあるので

1/2　と　1










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傾きと　接線に　関しまして

ｙ＝ｆ（ｘ）　を　一回微分の　値　　ｆ’（ｘ）に

xを　代入すると　代入した　ｘに対する　接線の　傾きになる


で


接線の　傾き　　
ｆ’（ｘ）　＝　　tan　Θ　に等しい


Θ　ｘ軸の　正の　方向との　なす角


これを　踏まえ　行ってみましょう







平行な　接線と言ってますので

傾きは　同じ


曲線外　からとか

平行で　の時は


接点の　座標が　わかってないので

仮定してじゃナイスカ



一回　微分に　

接点の　ｘを　代入したのが　

２と　等しい　
（ｙ＝２ｘ）






ここから　接点　αを　割り出してきますとですよ

二つ　出て来て







接点が　二つ







接線の　公式に　代入してくと

接線が






二つ出て来ました







次は

それじゃ


接線が　たくさん引けるけど

接線の　ｘ軸となす角　は　シータ　を　０から　180ど

0から　パイ　までの　角度で　考えるとき

どこから　どこまで　の　範囲で

動くのかな？

ッテいう問題らしいです







曲線の　微分係数に　接点の　座標を　入れると


傾きが出て

それが　そのまま

タンジェント　Θ　（　シータ　）　になってるから








まず微分

で

実数の　二乗は　0以上

−１　　は　−１


ということは


この値は

−1以上ってことに　なるでしょ


だから

−１　以上って　おいて


これが　タンジェント　シータ　に　等しい









ここでですね

うっかりしていて

随分悩みましたね

3日　位　なやもうかなぁー

ッテ　悲しい気分で　ジョークを　考えてると

神様が　微笑んで　しまい。


あ　タンジェントって

−1　　から　1　ジャ　ないじゃんか

グラフグラフ







シータが　0から　パイ

ｙ　（　値域　）　が　-1　以上　










これでいいのだ






半径＝１の

単位円で　書くと


サイン　コサイン　は　

半径分の　ｙ

半径分の　ｘ　
　

タンジェントは　x分の　ｙ



追記

三角関数は　えーと

数�T　の範囲の方から

かくえー　があるときに





さいん　こさいん　タンジェントを

単位円で　見てくと

プラス　のとこと　マイナスのとこ　があるでしょ






で　サインコサインタンジェント　は

こんな感じで

シータ　を　計算じゃナイスカ





サイン　コサイン　のグラフは　

ｙが　値域が　-1　から　1


サイン　コサイン　の前に　ファクター　が　(　何倍　とかあれば　大きくなるけど　）

なければ　-1　から　1


ところがさ

タンジェントは　　マイナス無限大　から　ぷらす無限大






タンジェントの時は

今回は　範囲が　０以上　な　シータ　　パイ　未満

第一象限は　ぷらす

第二象限は　マイナス

　



タンジェント　シータ　が　マイナス１以上だから

マイナス１のとこを　調べると

ｙ/ｘ　だから

４５度

単位円の　半径が　１だから

比の値から

ｘ、ｙは　√2/2

なんだけど

ｘを

−１に　固定して
　
なす角を　半径より　伸ばしたとしても






二つの三角形は　相似形なので

角度が　同じ






なため

１，４　象限は　ｘを　１にこてい

２，３　象限は　ｘを　-１に固定してしまえば


簡単でしょ

ｙが　そのまま

で

直角２等辺三角形の　比から　１：１：√２

じゃナイスカ

−１は　４５度　、　０度から　数えると　１３５度

　　




だから

x分のｙで　　xが-1　ｙが1　−１







角度が　直角側に　行くにしたがって　マイナスに　無限大

角度が　パイ側に　行くにしたがって　０

ー１以上は　１３５ど　から　180　まで




答えのとこは　

０からπ/2　　　と　３π/4　から　π














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曲線外　の点から

放物線に　引いた　接線,法線の　類題

行ってみましょう。



３次曲線があって　原点から　引いた

接線を　求めよ


放物線上の　接点の座標は

分からないですが

x＝aとでもして

曲線上の　点で　仮定して

接線の　方程式を　作って

通過点　原点を　代入すれば

ｘ、ｙ、aの　式に

ｘ＝０　ｙ＝０　を　入れたんですから

接点の　座標　aが　出るですよね






因数定理で

あったじゃナイスカ

適当に　数を　入れて見て　＝０になるならば

その数は　因数に　含まれている


a＝１の時が

ｆ（a）＝０　なので







組立除法で

初めは　２を　そのまま下へ

左の　１と　２を　掛けて　次の位の　―３の下へ　２

―３と2を　足して　下に　-1

左の　１と　−１を　掛けて　次の　位の下へ　-1

0と　-1を　足して　下に　-1

左の　１と　−１を　掛けて　次の　位の　+1の下に　-1

＋１と　-1を　足して　下に　0


３次を　１次で　割ったから

出てきた　係数の　先頭は２次

２次　１次　定数　余り







さらに　後ろを　因数分解したじゃナイスカ

aは　１または　-1/2






それぞれ

接点の　座標を　求めるでしょ






原点を　通るんだから

ｙ＝aｘ　のグラフ






傾きを求めて

接線は　２本





次は　法線ですので

接線に垂直に　交わっちゃうやつですね

接線と　法線の　傾きの　積は　-1





点Pは　曲線上の点なので

（ｐ、　p二乗）


とでもおいてですよね


曲線の　微分に　pを　代入して出るのは

接線の傾きなので

法線は　　その　傾きの　-　逆数






傾きが　出たので

ｙ＝　ax + b

の形にして


通過点

（-1,2）
　
ｘ＝-1　　ｙ＝2　を　代入すれば　

ｂがでると





で　ですよね






出てきた　法線の　式に

もう一つの　通過点

ｐ　を　代入すれば


ｘ＝ｐ　ｙ＝p二乗

pだけの　式になるから

出るはずじゃナイスカ

x座標だけでいいって







３次式のようですが






因数定理で


ｆ（ｐ）＝　にしておいて

ｆ（１）　の時　０　になるから

p＝１は　答えの一つ






組立除法で




解の公式で






x座標だけなので

こんな感じで





次からは　　少し　厄介です

今回は　曲線外の　点が　かっちりと　数に表せないので

文字が　残ります。


曲線外　の点から　２本の　接線が　引けるんですが

それが　直交することを

証明せよ

直交　だから　傾きの　積が　-1　


接線が　でれば　簡単になはずなんですが








今まで通り　や手くじゃナイスカ

接点の　座標を　曲線上に　仮定ですよね






接線の　方程式を　求めて

ここへ

曲線がいの点

x＝チョメチョメ　、ｙ＝　ほにゃララ

を　代入すれば

仮定した　接点　αが　出ると








ところが

？？？


曲線外の点は　ｙ＝-1


上の点で

x座標は　特定されない

そこで

（a、-1）　としましたため








文字が　残っちゃう


ズバリ出てこない







このままでは　無理なので

そこで

何か　やらないといけなくて








曲線がいの　点に　（　または　曲線が　）文字を　含んでるときは

解と係数野　関係を　使って


兎に角　　２点で　接してるから

α１　　、　　α２　と置いて










そうすれば

傾きは

1/2　×α１


と

1/2　×α２







接線の　傾きの積は

（α１α２）/4








接線の方程式に　曲線外の点を　代入した

式が　２次式　ですよね

接点が　二つあるよって　事ですね


その　

α１、　　α２、を　

二つの　接点にしたので
　
解と係数の関係から

因数分解を　展開してくと


α１+α２＝2a


α１α２＝-4






接線の　傾きの積は

（α１α２）/4

に

α１α２＝-4

を　代入すると

傾きの積は　　-1

よって　直交する。







次は

曲線外の　点は　はっきりと　わかってるんですが

曲線の　方に　未定な　係数が　含まれてるとき

曲線外の　点から　２本の接線が引けるときに

接点を　結ぶ直線が


定点を通る　事を　証明せよです。







いつものように

曲線外の　点からの　接線だから

曲線上に　接点を　仮設して

接線の　公式から

接線の　方程式








これが

曲線外　の点　（１，０）　を　通るんですから

代入すると






ｘ、ｙ、α　の式に　　ｘ＝1　ｙ＝0を

代入したので

α　が　出るんですが

良く見ると

未定な係数　aが　xに　くっついてるので

文字が　残ってしまう








そこで

接線の方程式に　通過点を　代入して

接線が　２本あるよ　な　


２次式を　おいておいて







放物線上の

接点を

ｘ１、ｘ２　と　置けば








x１、x２を　結ぶ　直線の　傾きは



計算で来てしまうので

文字を　含んだまま

こうでしょ






直線の　方程式なので
ｙ　＝　ax　+　ｂ　な形だから







通過点の　片方　ｘ１を　代入して






ｂは　こうだよと





さっき置いといた

接点が　二つあるよ　の式の　解は


ｘ１　と　ｘ２　を　使って







表現すると

二つの　式が　


同値だから


ｘ１+ｘ２＝2

ｘ１ｘ２＝-1/a






代入したら

直線の　方底式が出て来て







傾きは　変化するけど

ｙ　切片は　変わらず

なので

（0、１）　を　常に　通る。












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接線を　引くもんだいなんですが

今回は　放物線　外の　点から　接線を引く場合

行ってみましょう。











一応ですね

通過　点が　放物線上に　ないことを

確認じゃナイスカ


（0、-3）

ｘ＝０を　曲線の式に　代入すると　ｘ＝０　の時の　曲線上の　座標は　１なんですが


点の　ほうは　0の　とき　-3

曲線外です








なので

接線の時は

接点の　傾きを出すため　微分した　式に

接点の　x座標を代入するんですが


接点が　明確でないので


仮に


接点は　これです　を　せていして








接点は　曲線上なので

ｘ１　とでも置いてですね



ｘ１、　ｘ１の二乗+1


これを

接線の　方程式に　代入して






ｘ、ｙ、ｘ１　でできた　式に


ｘと　ｙを　代入すれば

x１が　求まるので






そうすると

x１は　±2


接線は　２本あるらしい。








それぞれ　ｘ１＝２


ｘ１＝-2


を　計算すると






接線は　２本







次は

曲線外の　点から　２本接線を　引いて

その　接点を　Q,R、とするときに


直線QRの　式が

ｙ＝２ｔｘ+2　になることを　示せです。







さっきみたいに

途中まで行ってみますと


接線の　方程式が　出てるから


さっきと同じく


曲線外の点で

接線の　通過点を　代入じゃナイスカ






さっきは

点の座標が　（0、-3）　だったから

x１が　出てきたんですが


今回は　（ｔ、０）んんーーーー


文字が　残ってしまった







整理しながら

考えるじゃナイスカ








で

今回は　わかんなかったんですよ

なになに

二つの　接点を　α　、　β　と置け







ここで

幸いなことに


傾きが

ｘの　変化量ぶんの　　ｙの変化量


傾きは　α＋β







ところで


α　、β　は　接線　の　解でも　ある









だから






ここで

数１から　解と係数の関係は

こんなでしたよ








二つの解が　あって　因数分解の形をですよ

展開すると

α　、βが　２次式の　係数に　なってる。

なので

そこから

α＋β　　　αβ　が　係数になってるとこから

α＋βを　取り出してくると






ｘ１の　２次式に　書き換えてですね

α＋β　を　係数から　持ってくると


２ｔ






直線の　方程式は

ｙ＝ax+ｂ

傾き　aは　２ｔ

ｙ＝２ｔｘ　+ｂ






ｂを　求めるべく
　
直線QRは　放物線上の　α　、　βを　通過するので


αの方を　代入するでしょ






ｂが出て来て


これで

んんーーー


何か足りない







少し前に

接線の　方程式が　あったですよ

今求めてるのは

直線QRの式なんですが







接線も　α、βを　通過するので

その　αのとこを　代入してみると





ねねね







なったじゃナイスカ。





（　晴れ部屋へ　家庭菜園と５Ｆ　４Ｆ　３Ｆ　２Ｆ　1 Fざっかや

メニュウ　ページ　リターン　　　　）

雨の日の　スローライフの部屋

どなた様でも　歓迎いたしますが

当分は　隠れ部屋で

記事数を　増やしていきます。


何せ

趣味で　始めた　数学ですが

何分にも　直ぐ解けないものが

おおございますため

数２　ともなってくると

数�Tは　できてないと　いけませんため

簡単には　前進できません

しかし
　
それを　武器に　ここで　悩んだんだなぁー

を　お笑いネタに　前進　しようと

考えとります。






（　晴れ部屋へ　家庭菜園と５Ｆ　４Ｆ　３Ｆ　２Ｆ　1 Fざっかや

メニュウ　ページ　リターン　　　　）

雨の日の　スローライフの部屋



曲線上に　おける　接線、法線の　問題です

接線に　垂直なのが　法線

接線と法線の　傾きの積は　-1　になる

行ってみましょう








グラフ　上の　点で

第一象限なので


第一象限の中で　α　α３乗　

グラフ　上だから　ｘ＝α　なら　ｙ＝α３乗だよね


接線の　公式を　持ってきて


法線の　公式を　持ってきて







ｆ（ｘ）

ｆ’（ｘ）　を　使うので


ｙを　微分して

これで

グラフ上の　点　α　における

接線は








で


法線の方は

傾きが　マイナス　逆数だから







こんな感じで

代入して






へてから

（２）　は

点Pにおける　接線が

x軸　ý軸　と　元の　曲線と

交わるところを

それぞれ　

Q,R,S

とすると


PQ:QR:RSは一定　であることを　示せ








図を　書いてみるじゃナイスカ

Pは　第一象限

その接線が

ｘ軸と　交わり　Q

ｙ軸r\と交わり　R

さらに　元の曲線と　交わって　S








まず

Qは　x軸上だから　ｙ＝０　を

接線に代入すればさ

ｘ＝２α/3







R　は　ちょっと　置いといて

接線が　元の曲線と交わる点Sは


曲線のグラフと　接線の　グラフの

交わりだから

＝　に　なるところだからさ


連立にするでしょ






＝　で　むすんで

整理して

これを　因数分解できれば

答えが出る

すぐ思いつかないんですが






接線は　接しているッテいいますが

その接点は　曲線上の点ですので


（　点　存在するけど　面積がない存在

　　そこかしこに　あるでしょ

　　下敷きと　定規で　交点を作れば

　　　交点は　あるけど

　　　面積は　ないよね　）


接点の　αは　この方程式の　解にある

x＝α

xーα＝０

(x−α）

割り算じゃナイスカ











割り切れたでしょ

さらに

因数分解して






α　もしくは　−２α

なんだけど

かっこ二乗になってる　(x−α）の方は　接点なので

Sの　ｘ　座標は　−２α









Pと　Sから　x軸に向かって　垂線を　おろし

それぞれ　P'　　S'　として











それぞれの　x座標で

比の値を

計算すると


文字が　消えて

1：2：6

一定でしょ







しばらくお待ちください








類題

接線と　法線を　求めよ







接線の公式を

書いておいてでね

一回微分も　必要なので

やっといてですね







x＝２の時の　接線は

ｆ（２）＝０

ｆ’（２）＝２








公式に代入して


こんな感じ






法線は

傾きが　−逆数だからにしてですね

こうだ







ちょっと　ぼうっとしてですね







何なに

ｙ＝　X二乗　の　原点以外の点の

接線　法線が　


ｙ軸と　交わる点を

それぞれ　T、N　とすると

線分TNの　長さは　　どんな　範囲になるか





まずは

接線　と　法線を　求めねば

aは　０でない点で

グラフ上の点で

（a，a二乗）

ｙの　微分も　計算して






接線は　公式から

こうなってこうなってこう







法線は

公式から

だから　こうなって　こうなってこう









接線
　
法線


が出たとこで








それぞれの　ｙ軸との　交点は


ｘ＝０　を　


それぞれに　代入して







プラス　マイナス

あったとしてもですね


線分の　長さなので

絶対値を　つけて







aは＝０では　ないので

2a二乗は＞０　　と　1/2


TN　　　>　　1/2







関数があって　ですね

このグラフ上の　点

（３　ｆ（３））　における　接線が

この　グラフと　出会う点を

A,Bとするとき

AB　の　長さを

もとめなさい


なんですが







まづ　接線を　求めるべく

ｆ（ｘ）　を　微分して

ｆ’（ｘ）に　ｘ＝３を　代入して

接線の　傾きを　出すと

-4

（　　算数間違ってしまって　面倒だから　電卓つかっちゃった）








接線の　公式に　代入して　けいさんすると







接線は　これだよと


再び

接線が

グラフと　出会うんだから

連立　方程式じゃナイスカ





＝　で　結んで

整理して　＝０　にして

ｘで　くくりだして






ところで

接線と　曲線の　連立方程式で

接線の　接点は　この　曲線上に　あるのだから

接点の　ｘ＝３　は

この連立方程式の　解　の　一つじゃナイスカ








ｘ＝３　

ｘ−３＝０

（ｘ−３）　で　ｘの　3次の　方を　割り算すると

割り切れるはずですので


やってみると







さらに

因数分解　してみると






ｘ＝　3のところは　接点なので


それ以外のところ

０　のとこと　−1のとこが

再び　グラフと　出会うとこですよ








A、B、


それぞれ　点の座標を

ｘ＝０　ｘ＝−１を

元の　曲線に　代入するでしょ


（　接線に　代入した方が　速かったですが）









で

ここからは　数１で

2点間の　距離は　こんな　公式があるので







ABは　√17











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雨の日の　スローライフの部屋


２重因数と　余り

整式を　２重因数で　割った時の　余りが

次のように　なることを　証明し

それを使って　実際に　余りを　求める問題です。








整式を　２重因数で　割った時の　商を　Q(x)　として　

あまりは　２次式で　割ったから　１次式以下

ax + b





この表現から　さらに　ｆ’（ｘ）　を　求めると

公式は　こんななんで

下の公式と

部分的に　その上の　公式を

組み合わせて







出てきた式が　


二つ





二重因数で　割った時の　余りなので

因数の　x−α　＝０　になる　ｘ


ｘ＝　α　を　

代入するとですよ







こんな感じなので


a＝ｆ’（ｘ）　を　�@に代入すると







イントゥー　ですか

a ,b が出てきたので








求める　余りに　あてはめるじゃナイスカ






で

これを　つかって　実際に

やってみますと








aｘ　+　　ｂ　　のa　　ｂに　当たるとこが

こんなですので


ｆ’（ｘ）　も準備してですね









二重因数の　ｘ＝１　を　代入すると


a=5









ｂは









bはね　　-2











こんな感じで


次は


これを　二重因数で

割った余りが　こうなんだけど


a,bを　求めよ








式で　表現して　ですね

へてから　辺々微分ですか


整理して







式が　２本出て来ました

二重因数　ｘ＝−１の時の　話ですので

x＝−１を　代入すると









a+b=-12







ｂ＝−１５








こうなってこうなってこう








次は　わかんなかったですね

どこがわかんなかったか

この問題では






割り切れるんですが

商を　いつもと　違った　形に　設定します。

こうやれって　書いてあるからさ

で

ｆ’（ｘ）　も求めて





ここから

この表現を

割り切れる　を　いつもと　違う表現したものを

展開してくんだって



先は　見えないですが

行くしかない　そんな日も　あります

やだねぇー









やってくでしょ









で

ここで

係数を　比較するんだって







そして

順次　a,b,c,d
　

の形にしたとこで








aの方から　順番に

代入してくじゃナイスカ







そしたら

こんな感じに　　なったよ









これを

一つ前の　式に　代入するでしょ










a　で　くくって










展開の公式から

逆に　因数分解して




題意より

ｆ（１）＝8/3

ｆ（-1）＝0

を　計算して









ｋ＝１













kがでれば　a＝　1/3









できてしまいましたが

類題が　できれば　本物です。

３次式の時は

なんで　1/3で（ｘ+ｋ）　にしたんだろうね













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雨の日の　スローライフの部屋




さすがに　数２ともなってくると

そう簡単には　行きませぬため

言い訳を　考えてり

本気で　畑を　と考えとります

気が変に　ならないように

プラモデルでも

見てるかなと　思ったら

行き過ぎて　買ってしまい

・・冗談は　ともかく


微分の　続き　ですが


これを　まともに　やると　計算間違いする

なので

微分する前に

できるだけ　やりやすく　変形するんですが


指数の　公式と　因数分解の公式


で　変形したものを

微分の　公式で


説明してるまに

答えに


なってしまいましたが


５かいくらい　間違えたかな

投稿は　一瞬ですが。


二重因数　と　余り

次は

整式が　このような　　括弧の　二乗で

割り切れるならば　　アルファ　は

ｆ（ｘ）＝０　ｆ’（ｘ）＝０　

の「共通解」　を　示す問題と


それを　使って

αが　有理数であることを　証明する問題です






かっこ　１からですけど

共通解であることを

示すので

代入しちゃう　　x＝α　を　だいにゅうだよね

これが　ね　＝　０　になるはずなんです





割り切れるの　表現を　数学ですると

割られる　数は　　割る数　×　商

デショ




これを

微分するじゃナイスカ






元の　式と　

微分した式が　出て来て


これに　それぞれ　α　を　代入すると　です







f’(α）＝０



なったじゃナイスカ



で　

かっこ　２は


どないすんねん


問題は　科学者の　研究と違って

作った人が　いるため

解けるように　なってます


科学研究の場合は　創造主に　信仰で　近づいてください







たぶん　(１)の結果を　使うんですよ

で

括弧１では　

ｆ（ｘ）＝０、　ｆ’（ｘ）＝０　　が　

αを　共通解に　持つことを

証明したので


これを　使えるように

ｆ’（ｘ）　を　求めて　ですじゃナイスカ









ｆ（ｘ）＝０、　ｆ’（ｘ）＝０　　に　x＝α　を　代入すると







�@　�A　式としてですね

ここから　α　を　求め　・・

あ＾　＾

有理数は　









数１を　見るじゃナイスカ

分数で　表せる　実数ですよ


で

有理数同士の　演算は　答えも　有理数




兎も角

α　の　指数部部を　消去したいので


�@×　ｎ


�A×　α







指数の　計算も　確認したりしてですね


二つ　式が出てきたでしょ







引き算して

マイナスで

くくりだして


整えて







地中海ミバエ　違います

ツエツエバエ　　切れ味の　悪い

謎な　ジョークですが


ミバエ　を　よくして

αを　出すと


有理数同士の　演算なので

答も　有理数





ところで

この　ですね

割り切れるとき　ッテいうのは　定理なんだって

証明すると





割り切れなかったとして

余りがあれば　　余りは　１次以下なので

ax　+　ｂ　として

この余りを　求めると





f(α）＝０

f’(α）＝０

なので

f(α）＝aα+ｂ＝０









f’(α）＝０
なので

微分しといてですね







f’(α）＝a＝０








したがって　a=b=0


で

あまりが　０　になってしまったので

割り切れた。













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