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2021年07月04日
28012 大人のさび落とし 複素数とベクトル ド・モアブルの定理（１）
複素数とベクトル ド・モアブルの定理（１）
01
複素数を 極形式で
表しているときに
複素数の べき は
こんな感じに 成るんですよ
と 昔 昔
ド・モアブル という人が 発見
したんだそうで
02
普通の a+bi の 書き方を
極形式に 変換するでしょ
アーム の長さ
絶対値
と
コサイン サイン
共に 等しい
偏角
03
極形式に しておいて
複素数の 積は
実部 虚部 になる様に
展開して
整理して
04
加法定理を 使うと
サインの方は
シン・コス ぷらまい コス・シン
コサインの方は
コス・コス まいぷら シン・シン
おまけで
タンジェントは
タン ぷらまい タン
スラッシュ
いち マイプラ タン タン
05
実部は コサイン
虚部は サイン
偏角は 共に Θ１ + Θ２
06
これが 複素数の 積なのだから
今度は（Θ１ + Θ２） と Θ３で
書ければ
07
偏角は
コサイン（Θ１+Θ２+Θ３）+ i サイン（Θ１+Θ２+Θ３）
これを Θ１+Θ２+Θ３+ ・・・・・+Θｎ
まで 繰り返すとき
08
Θ１＝Θ２＝Θ３＝・・・・＝Θｎ ＝ Θならば
複素数の （ ） ｎ乗になる
そして
その値は
偏角が ｎΘ
09
これが ド・モアブルの定理
ｎ乗が 負の時は
10
分母を 有理化の時の 様に
変形して行き
11
コサインと i サイン の 連結が +
になる様に
負角の公式で
補正すると
12
ド・モアブル の 定理は
ｎが 負の時も 成り立っていることがわかる
13
まとめると
こんな感じで
14
実際に どんなふうに 使うか
計算してみますと
複素数の べき があります
ベキ のときは 極形式に すると
ド・モアブル の定理 が使えるので
15
極形式に
絶対値 （アームの長さ ）
複素平面から 偏角
偏角は ぐるぐる 無数にあるため
0以上 偏角 2π未満 とすると
一つに 定まる
16
偏角は ｘ軸の 正方向との
なす角 であるから
マイナス 6分のパイ
したがって 与えられた 複素数の
極形式は 出たので
その 極形式の ベキ は
17
ここで
ド・モアブルの定理を 使って
18
後は 偏角 パイ の値を計算して
整理すると
19
こんな感じ
20
いきなり ド・モアブル 負の時を
やってしまったけど
21
マイナス ベキは 分母に 来るから
22
これでも 同じことに なるはずで
23
大丈夫だね
24
落ち着いていってみましょう
いま アメリカで
流行ってるんだって
スアベ
それにしてもさ
まさか 翔平さん ここまで
行ってるとは 思わなかった 米（よね）
25
絶対値 と 偏角
26
極形式の ベキ ド・モアブルの定理
27
指数の 計算だいじょですよね
28
単位円で
コサインは 動径の ｘ軸へ の 影
サインは 動径の ｙ軸へ の 影
極形式の 中身を 計算して
こんな感じ
29
今度は
さっき 一回やってるので
ド・モアブルの定理 負の ベキ を
いきなりで
30
絶対値 偏角
31
極形式
極形式の マイナス ベキ
32
ド・モアブルの定理は 負の時も 成り立つので
33
単位円は こんな感じで
コサインは x軸への 影
サインは ｙ軸への 影
34
こんな感じで
35
今度は
分母 分子で
偏角が イマハ 出る形
これを 下手に 有理化したもんなら
偏角が わかんなくなってしまうので
そこで
分母 分子 それぞれ
極形式に 変換して
行くのですが
36
分母の 極形式
37
分子の 極形式
38
分母の 偏角
分母の 極形式
39
分子の 偏角
分子の 極形式
40
（ 分母分子 極形式 ） の ベキ
平らにして
分母だった方は まいなす ベキ
ド・モー
41
数学の 感を 取り戻すには
まず初めに 指数計算
当然ほか 法則もですが
それは 暗黙の 了解の上で
指数計算が 割と 近道な 時が多い
42
後は 計算です
43
偏角 の計算 （ かっこ ） が 二つあるから
44
で
答え
お疲れ様です。
（ 晴れ部屋へ 家庭菜園と ざっかや
メニュウ ページ リターン ）
2021年07月01日
複素数と ベクトル 軌跡 大人のさび落とし28011
複素数とベクトル 軌跡
01
問題
複素数 Z があって
Zを 使って ω と言う 複素数 を
表す 点 Qが あるのですが
Qは どんな 線上を 動くか の様な問題です
02
題意から Zは 原点中心に 半径 １の円周上にあり
原点から Zまで の アームの 距離が
変わらないので
絶対値 Z ＝１
03
オメガの式を
平らにして 展開して
今度は Zで くくれるとこを
じゃナイスカ
Zの式にするでしょ
04
こんな感じにですよ
絶対値が １だから
05
こんな感じになったんだけど
E(1) A(i) とすれば
06
複素平面上では
この 長さが ひとしい
ということになるから
オメガは AE の ⊥ 二等分線
07
同じ問題なんですが
08
今度は 角度を変えて
ゼット ・ ゼットバー ＝ 絶対値 Z の 2乗
を 使うと
Zの絶対値が 1なのだから
Zの絶対値の2乗も １
Zの 絶対値の 2乗の 値が 分かってれば
ゼット ・ ゼットバー ＝ 絶対値 Z の 2乗
09
オメガを Zで 表すのは
さっきと同じ
10
ここから
11
Zの 値が 分かったところで
Ｚばー を 求めると
実数部分は バー にしたとき 変わらない
虚数部分が バー にしたとき 変わるので
12
結局 こんな感じ
ゼット ・ ゼットバー ＝ １ なので
掛け合わせるでしょ
13
これが １ になる
展開して
消去して
14
実数部 虚数部 にして
Z＝a+bi
を
使っちゃったから
オメガ ω＝ U+Vi にすると
オメガ オメガ・バー は
こんなだから
15
これを 代入したらば
16
整理すると
で これは 複素平面で
X軸 Y軸
を
U軸 V軸 としただけなので
17
こういった 直線になるよ
と さっきと 違う表現ですが
18
三角関数は
苦手 意識を 持ってる人が多いんだって
近昔
まだ生きてらっしゃいますが
スリーパーホールドの 得意な
レスラーが
技を かけたときに 耳元で
難しい物理の 公式かなんかを ささやくっと
相手は うっかり ん？？
シマッタじゃナイスカ
技が 食い込んじゃう
三角関数攻撃
墓穴 を 掘ってしまわぬよう
きおつけてね
公式を 忘れちゃったりして
あ
あ～～＾
ダメだ
冗談は兎も角
Θ が変数の時
Zの 軌跡は？
19
Z=の形に したいのだけれど
何とかなってくれ
20
二次方程式だから
解の公式とかさ
21
三角関数の 公式をデショ
あ 虚数に
22
うまくできてるなぁー
極形式になって出て来て
Z=a-bi の時もさ
a二乗 (-b)二乗 だからさ
Zの 絶対値が １これは何か
複素平面上に 単位円
23
試験では ないので
ここで コーヒーブレイク
砂糖は
もどって
問題
複素平面上で
複素数 Z が ある三角形の
周上を動くとき
その 複素数Zを使った 式に より
表される 点オメガは
どんな図形に 成るか みたいな 感じの
問題です
24
先ず 準備をして
25
オメガは こんな感じに 成るんですが
26
オメガの 実部 虚部 ヲ こんな感じにしておいて
27
Zが OA上にあるときは
ｙ＝0だから
28
オメガの式が 簡単になって
29
ω＝U+Viの
Uは 実部の座標 Vは虚部の座標であるので
虚部は 0のまま
実部は ｘが 0から1まで 変わる間に
Uは 1 から 3 まで 変わる
(訂正 uが 0以上 3以下 は 間違い ）
30
複素平面上の
オメガは こんな感じ
31
Zが AB上を 動くとき
X=1 ｙは 0から1まで
x=1を
代入すると 式が 簡単になって
32
ｙだけの式になったけれども
（ｘ）、ｙは Zの パラメーターなので
ｙを 消去して
U と V の関係式にすると
33
整理して
34
Vは ３ｙであるので
Vは 0から 3まで 変化する
35
Vの値を 変えながら
36
概形を 見ていくと
37
Vを 0から 3まで １刻みで
38
こんな感じで
それにしても 時代は 変わりましたね
私の 学生の頃は
インターネットが まだ 整備されなくて
パソコンも 8ビット
記憶装置は カセットテープ
ロード や セーブ に
30分も 1時間もかかってしまった時代
K＝０
for k= 1 to 10 sutep 1
K = K+１
next k
こんな感じの 言語を 使ってましたが
イマハ もっと高度なことを
アプリを 使うんですかね？
小学生の頃から
授業があるんだってね
時代は かわったな
さびし～～～
盆栽でも やるかな。
39
昔を 思い出しちゃうとですよ
最近 いけなくなっちゃうんだね
で
最後は OB 上を Zが動く時
OBは ありがたいことに
X=Y の 直線になるので
40
X=Yを 代入して
Yを消去して
41
U V だけの 式に なるよう
Xを 消去すると
42
Uは 1から ２まで
変わるので
43
適当に 間隔を 置いて
値を 代入したらば
44
こんな感じで
45
こんな図形になる
46
某 国営放送局の アナウンサーの
大越さん退職されるんですか
ファンだったんですが
おれ ひとつ しか 違わないよ
俺は こどもだなぁ～
来年は 赤い 寅 なのに
デーモンさんなら 10万５９歳
と言うところ
わたくしは
20歳468ケ月
（ 阿刀田 高 さんの ショートショートから ）
で
出じゃナイスカ
問題
読んでいただいて
47
先ず
形式上
実数になるから
こんな感じにして
複素数を ｘ+ yi
で 代入すると
48
分母の計算
49
有理化の 要領で
50
分母は ０ では ないので
条件が ２つ 出て来て
51
分子の計算
実数に なる様に 変化するとあるので
虚部は ゼロ
赤く 掛け合わせた ところが
虚部になるので
虚部だけ 書きだすと
これがさ ＝０ だからさ
52
こういうことなんだね
展開して 整理すると
これはさ
あれだ
円の方程式
53
複素平面で （ｘ、ｙ）＝（1,1）
半径 √２
分母の 条件から Z=2は 含まない
54
コレダよ
55
これは 別解があるって
=K
Kは 実数と置いて
極形式に 変形する
56
分母から 有理かみたいに
で
ここまで 持ってきたら
57
右辺を 変形して行くと
有理化の要領で
58
括弧の中は
ある複素数になってるので
複素平面に 書いてみると
偏角は マイナス 45度
マイナス 4 分の パイ
59
この 偏角を 表す 角度は
APO
Aと Oが 固定で Pが動く
60
偏角は 同じ値を 保ってることになるので
Kが０より おおきい時
これは OAを 弦にした 円周角 上側
ｋ＝０の時は 原点
ｋが ０より小さいときは
2分のｋは アームの長さなので
絶対値を付け
PがOAの 下側の時は
偏角が 4分の3パイになるので
OAを弦の両端とする
角OPAが 4分のパイに なるような 円の 円周上を
動く
ただし 点 ２を のぞく
61
円周角と 中心角 の 証明は
補助線を使いながら
三角形の外角の定理で
円に 内接する 四角形の 対角の和は
180度
62
これは 図を
書いてみてですよ
問題は こうです
読んでいただいて
63
先ず 下準備をして
64
極形式で
偏角が わかる様に 書いてみますと
Cは？
65
Cを 計算すると
66
極形式に
なる様に
67
極形式では i sin Θ の 前は +
調整すると
68
偏角は Bと同じで
OCBは 一直線上
69
図に 整理すると
70
Cの位置は
大体 いいのですが
問題は
A,Bは 実軸に 対称なので
直角には 成れない
つまり
Cが 直角になる三角形
71
こんな感じの 図になるですが
それでじゃナイスカ
偏角を 計算するに
A,Bの 逆も加味して
角BCAは ゼットバー マイナス ゼットぶんの１
分の
ゼット マイナス ゼット分の１
この 偏角が
プラスマイナス 90ど
プラスマイナス 2分のパイであるので
72
先ず左辺を
計算して
73
この値が
純虚数
ここに
Z=x+yiを 代入して
74
こうでしょ
75
この値が 純虚数
偏角プラスマイナス 2分のパイを
複素平面上に 書くと
純虚数になる
76
なもので
出てきた 式の 実部が =0になればいいのだから
これは 双曲線になると
私は 詰めが 分からなくて
で
Aは Bと 等しくないから
ｘ＝±１、ｙ＝０より
2点 １、-1 を 除く
（ 晴れ部屋へ 家庭菜園と ざっかや
メニュウ ページ リターン ）
2021年05月26日
28010 複素数とベクトル 偏角（２）大人のさび落とし
複素数とベクトル 偏角（２）
01
問題を 読んでいただいて
円周上に 4点があって
それぞれの 3っつも 同一直線上に
無いように
4点が 円周上に あるには
次の 条件が 実数に なることを 示しなさい
という感じなんですが
02
同じ弦の 円周角は 等しい
円に 内接する 四角形の
対角の和は 180°
これらを使って 条件式を 作ると
まず 円周角を使って
03
➀ 式
次に
②式
04
これらを 偏角を 使って
表現すると
ベクトルの 引き算とか を
かんがえながら
05
➀から
公式に 当てはめると
こんな感じに 成るので
06
式変形して
こんな感じに
②の方も
07
偏角の 向きを 考慮して
こんな感じなので
08
式変形した 2つの 式を 見て
さらに
まとめあげると
09
これは この 複素数の 偏角が ゼロ または プラスマイナス パイ
偏角の arg
を 外すと 複素数なので
整理して
ここから いつもの 形 や 極形式
を 考えると
10
絶対値を r
とすれば ゼロではないから
11
極形式の コサイン サインを 偏角で 見ると
サイン側は ゼロ（ 虚数部は ゼロ）
実部 こさいん側は プラスマイナス １
12
計算した 複素数 全体を Z
とすれば
Zは 実数になっている
なので
4点が それぞれ その 3っつも
同一直線上にはなく
同一 円周上 にあるには
4つの 複素数に対し 条件式が 実数であることである
13
今度は 相異なる 3点が 同一
直線状に あるとき
次の 式は どんな数になるか
14
ベクトルで
向きを 考え
偏角を 見ると
ゼロ または パイ
15
絶対値を r とすれば
ｒは ゼロでは ないので
極形式の 偏角を 今度 見ると
16
実数部 コサイン側は プラスマイナス 1
虚数部 サイン側は 0
ナタメ
ゼロではない 実数になる
17
今度は 4つの 複素数があって
ｚ１ ｚ２ を 結ぶ 直線と
ｚ３ ｚ４ を 結ぶ 直線が
直交するとき
次の 式 純虚数になることを 示せ
角の 向きで
プラスマイナスがあるから
18
偏角で 表現すると
これが プラスマイナス 90° （プラスマイナス パイ/2）
になるのだから
19
極形式の 実部は ゼロ
極形式の 虚部は プラスマイナス 1
20
Z＝ a + bi の形にすれば
条件の 複素数は プラスマイナス ri
で 純虚数になる
21
問題を 読んでいただいて
22
作図してみると
こんな感じ
23
そこで
座標軸を こんな感じに 取ると
24
複素平面に 対応させて 考えて
E と G は まだ 成分が 分からないので
偏角を 使って
正方形に 成ってる とこを 利用すると
偏角と 絶対地 が分かれば
極形式
25
こんな感じで
26
何の 為にやったかと言うと
ここから 変形して
Ze
27
同じようにして
もう一つの 正方形からも
G は まだ 成分が 分からないので
偏角を 使って
正方形に 成ってる とこを 利用すると
偏角と 絶対地 が分かれば
極形式
28
Zgは
29
それで
CE と BG
の偏角が 90度を 言えばいいのだから
下準備をして
30
BG CE
を 複素数で 表して
31
偏角を 計算すると
32
ここは 複素数の 計算で
分母を 有理化の時の様な 感じに
33
分子にも 掛かってくるので
計算して
34
分母 分子 合わせて
iだね
複素平面で i
の 偏角は 90°
35
分母 分子 それぞれ 絶対値を 計算したら
36
大きさが等しい
なので
CE ＝ BG 、 BG ⊥ CE
お疲れ様です。
（ 晴れ部屋へ 家庭菜園と ざっかや
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2021年05月17日
28009 複素数とベクトル 偏角（１）
複素数とベクトル 偏角（１)
01
偏角を やる前に
ここまでの 復習から
複素数は a+bi
のような形と
ｚ＝ｒ（cos Θ + i sin Θ）
の様な 極形式
ここで 出てくる 角Θ が 偏角
02
掛け算(乗法） の時は
P2 を P1の偏角分 回転させる形
偏角は 二つの 掛け合わせる 複素数の
偏角を 足し合わせた形
絶対値は
それぞれの 絶対値を かけた形
03
複素数の 割り算(除法)は
分子側の 偏角から 分母側の 偏角を
引いた形
04
ところで
分母 分子が 入れ替わってるときは
どうなるか
05
分子 の方が 上側の時
06
偏角は こんな感じに
計算してきますが
07
赤四角を クローズアップすると
角度の 違いが あっても
分子 ― 分母の 分子が 上側の角だと
結果は プラス 偏角
08
こんな感じに
09
なるのですが
10
今度は
分子 - 分母 で
分子が 下側の 角の時
11
この赤枠を
クローズアップすると
12
角度の 違いがあるときも
13
偏角は マイナスで
14
出てくるんですよ
15
というわけで
一つの問題で
たとえば 三角形が
あります
とだけあると
偏角は プラス マイナス で出てくる
16
それを 踏まえ
問題行ってみましょう
ここからですよ
17
まず
分母 分子が
何をあらわしてるか
位置ベクトルで考えると
AB 分の AC
18
これを 原点に 平行移動して
偏角を 考えるに
2辺の 偏角 の 差が 偏角になり
今回 題意より
ABCは 正三角形なので
各頂点は 60度
π/3
というわけで
三角形の 設定の仕方で
偏角は プラスマイナス π/3
19
偏角が プラスマイナス π/3 で
絶対値が １
辺の長さが 3辺とも 等しいですから
20
絶対値と 偏角 が わかれば
極形式が 求まるので
21
除法の 極形式は こんなで
22
三角形の 比の値から
サイン コサイン の 負角の公式から
値を 代入したら
左辺 ＝ こんな感じで
証明終わり
23
Z=x+yi
として
軌跡を 求めると
絶対値が 1であるから
絶対値を 辺々 2乗して
24
これは 原点中心の 半径1の円
25
複素数 Z- 2 は ２を α
Z - 2 の Zを P とすれば
ベクトルは αP ベクトルなので
偏角は
26
α 周りに ｘ軸の 正の方向と なす角 であるので
27
偏角の 範囲は こうです
28
問題を 読んでいただいて
29
題から 図を 起してくると
こんな感じの
それで
偏角なんですが
ぶんぼ ぶんし で
ぶんし マイナス ぶんぼ
分子側が 引かれる 方か
引く 方か
で
プラスマイナス が出てくるので
30
題意の三角形は
直角２等辺三角形 ナタメ
偏角は プラスマイナス π/4
45度
α分の β
で
絶対値を 計算すれば √２
31
絶対値 と 偏角がでれば
極形式は
こうでしょ
32
これを 計算すると こんな感じ
33
一見 プラスマイナスがあるので
まずい 感じが しますが
34
式変形してから
辺々 2乗すると
左辺
右辺
35
うまくできていますよね
なったデショ
36
逆に
これが 言える ならば
αは ゼロでないので
2乗して
辺々 α2乗で 割る
37
置き換えを 使って
38
α分のβは １プラスマイナス i
39
この複素数の 絶対値は √２
偏角の値は １プラスマイナス i
になるので
これを
複素平面上で
偏角を 見れば
プラスマイナス π/4
45度
40
β ＝ √2α
41
偏角の 位置と 辺の比の値を
見ると
42
直角2等辺三角形 になる
なので
必要十分である
ラストは
43
三角形の 形は 見えてないですが
因数分解してくと
まず 整理して
Z3 で 整理するでしょ
44
解の公式を
いいんかな
45
だいじょかや
46
おー
見えてきた
47
複素数が プラスマイナス √３i
絶対値が √３
48
複素平面に 複素数を プロット して
偏角は
プラスマイナス π/2
90度
49
分母 分子の 辺は
分母 BA 分子 BC
50
偏角と 辺の 位置関係
絶対値から
辺の比を
出してきてものを じゃナイスカ
51
こうですよ
お疲れ様です。
（ 晴れ部屋へ 家庭菜園と ざっかや
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2021年05月13日
28008 複素数とベクトル 回転
28008 複素数とベクトル
回転
01
任意の 複素数 Z a+bi
を 点 P で表す
Z1 ＝ cosΘ + i sinΘ
とし
Zを 任意の 複素数とする時
Z・Z1 を 表す 点 Qは
Zを表す点 を 原点 周りに
Θ だけ 回転した 点であることを
証明せよ
02
原点周りで
複素数 Zに
Z1を かけると
Z・Z1は
Zを 原点周りに Θ 回転させたもの
に
なる
ということなのですが
まず 極形式に 揃えないと
都合が悪いので
Zの 偏角と 座標が 任意なので
一般的な 形にしてじゃナイスカ
03
こんな感じに 成るでしょ
これを 掛け合わせると
こうなるんですよ
公式
04
なんでかは？
掛け合わせっるでしょ
展開
整理して
実部 虚部 に分けて
ソレゾレ
コサイン サイン の 加法定理で
変形すると
こうですよ
05
今のは
一般的なものだったから
今回の問題では
こうでしょ
06
ナタメ
x軸 と なす角が 一番大きいところ Z・Z1
角 XOQ ＝ α+θ
2番目に大きいところ Z
角 XOP ＝ α
3番目が
角 X O Z1 ＝Θ Z１
07
一呼吸
極形式は 偏角
絶対値
08
まず
変換後の 絶対値 の長さは」
同じ
OQ=OP=ｒ
09
OPから OQに 回転したのだから
偏角の差は
Θ
10
というわけで
任意の 複素数 Zに
Z1を かけたものは
Zを（ Zを表す点Pを ）
原点周りに
Θ だけ 回転したものになる
11
まとめると
こうですよね
12
絶対値が 等しくて
偏角が こう変わってると
13
ここで
もし
複素数 Z は そのままに
Z1が i だったら
極形式は
絶対値が 今回は １
偏角は
複素平面上の 座標から 読み取ると
90度 π/2
14
そうすると
さっきみたいに
掛け算を すると
Zに Z1を かけた後の 絶対値は
変わらない
偏角が 増えている
これは 原点周りに
Zを 90ど 回転した形
15
さらに
今度は
Z
かける
Z1
で
Z1の 絶対値が ｒ１だったらば
まずは 掛け算
16
偏角は Z1と同じだけ
回転していて
OP から OQに 回転するのに
Θだけ 回転している
絶対値の方は
ｒが ｒｒ１
になっていて
ｒ１倍に 成っている
二つの 三角形の相似から 比の値で
17
それで
偏角 に関しては
掛け算は（乗法）こんな 感じ
18
割り算は （除法）
19
こんな感じで
20
こういった感じに
21
計算問題
次の点と Z との 位置関係を いえ
まず Zの 極形式を
一般的な形に と しておいて
分母の i
を こう考えると
極形式に直せば
絶対値が １ 偏角が ９０ど
22
分母を 有理化の様に
23
ここは 加法 定理を
使って
やっていきましたが
24
結果を見れば
除法の 公式を 使えば
一発
だったと 分かるでしょ
25
図に書けば こんな感じですか
26
次は
分子の √２は ちょっと置いといて
分母を極形式に直したらば
27
√ 2が 消えて
28
除法の公式から
こんな感じ
29
これも 消えるのかな
分母を
極形式に なおして
30
あー
やっぱり
うんまく できてますね
31
こんな感じだけど
32
コレダと 分かりづらいから
こんな感じで
33
次の 式を 証明せよ
読んでいただいて
34
まず Z （P)を Θ 回転するのだけれど
赤い 平行四辺形を考えて
ぴーぜろ ピー
を 原点まで
平行移動して
OQとするでしょ
35
OQは 平行四辺形の 大変で
ぴーぜろ ピー と 等しいので
ベクトルは「 平行移動して 考えていい 」
これは 重要なとこですよ
ぴーぜろ ピー は Z-α
36
OQを 原点周りに
Θ だけ 回転した点を
Q'とすれば
Θ 回転するのは cosΘ + i sinΘ
OQは Z-α
だから
37
次に この赤い 平行四辺形で 考えると
OQ'= Z'-α
なので
38
ピーゼロ ぴーを
ピーゼロ ぴーダッシュ
に 持って行った
点Z' は
Z' ＝ α + （Z-α）（cosΘ + i sinΘ ）
よって
Z'-α＝ （Z-α）（cosΘ + i sinΘ ）
39
ラストは
複素平面上に
正方形 ABCD がある
点A,Bの 表す 複素数が
ソレゾレ α 、 β であるとき
点 C 、D の表す 複素数を 求めよ
40
まず 正方形の C について
BAを プラス・マイナス ９０ど
回転 した場所が考えらるるので
回転を 使いたいので
Bを 原点に 平行移動して
BAベクトルは
α-β になるので
（ベクトルは 平行どうして 考えてよい ）
B'A' ベクトル
B'を 原点に 平行移動したから
OA'ベクトルは
α-β
41
プラス・マイナス 90度の
回転を 掛け算で
複素数の 回転
42
C
の場所が 二つ 考えられて
C’
C''
43
で
この回転したものを
元の 位置まで
平行移動すると
点Bの 表す 複素数は β であるので
点Cは β プラス・マイナス （α-β）i
44
同様に 点Dも
今度は 点Aを 原点に 平行移動して
45
ABベクトルは β-α であるので
46
プラス・マイナス回転させたときの
Dを D' 、D''を 計算して
元の 位置に 平行移動すれば
47
まとめまして
こんな感じで
（α 、β は 複素数）
お疲れ様です。
（ 晴れ部屋へ 家庭菜園と ざっかや
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2021年05月04日
28007 複素数とベクトル 「重要」 複素数の 乗法・除法
複素数の 乗法・除法
01
複素数Z=a+bi を
極形式に 書き換えたものを 使うと
乗法 除法で 偏角の計算が 便利である
公式は こうなんですが
02
乗法の方から 見てくと
掛け合わせるでしょ
絶対値の ｒ ｒ を
前に 出しといて
複素数の展開
03
実部 虚部の なかみを
加法定理で
04
偏角を
足し合わせた形に
乗法
05
除法は
06
まず 分母を 有理化の時の様に
そうしたならば
07
分子は
08
展開して
09
加法定理は こんなだから
プラス マイナス 間違えないように
10
除法は
偏角の 引き算の 形に
11
乗法と 除法を 証明したので
ここからの 問題を解くときに
すでに 証明済み ということで
12
左辺を ➀②③を それぞれ
足し算
13
和を 積に 変える 公式が
あったじゃナイスカ
14
➀②③の 実部 虚部を
積の 形に 塊にして
15
➀②③を それぞれ 同類項で くくって
16
こんな感じにするでしょ
17
これがさ みんな 掛け合わさるんだから
18
右辺の ８が出てきたでしょ
19
ここで 偏角 の入った式の 掛け算
乗法ですよ
20
先に 証明済みの 公式で
二つづつ 順次 掛け合わせると
21
もうちょっと
左辺と 右辺 どこが違うか 見ると
22
そこで
ｚ１・ｚ２・ｚ３を
計算するとさ
23
ちょうど 左辺の しっぽと 同じになったので
出来ました
24
計算問題
25
分母から 有理化の時の様に
計算してきますと
26
分子が 綺麗な形になって
27
二つづつ かけてくと
28
Θが 15度
i
だね
29
次も これもさ
通分して
有理かみたいにして
今みたいに やればいいけど
もうすこし 簡単に
30
極形式にして
除法の公式に 持ち込めばさ
31
こんな感じに
簡単に
32
整理したら 右辺
33
問題を 読んでいただいて
まず Zを 求めないと
34
絶対値と 偏角 できてるので
極形式から
こうでしょ
35
オメガは
これはさ
極形式 にするには
行ってみましょう
36
今度はどうだ
37
ここで
最近よく使ってる 調整法で
38
いじると
39
偏角は 同じでないといけないので
40
サイン と コサイン が 場所が
ぎゃくに なる様に
41
コンななんですが
絶対値は プラス
42
αの範囲を 見ると
サイン関数の ０から π は プラス
これでいいのだ
43
偉く 難しそうなんですが
まず ωの 2乗を 計算じゃナイスカ
44
こんな感じで
45
んん～～～～だいじょ～かや
左辺の 極形式を 簡単な形にですよ
46
ここで
わざと
マイナスを 出してくると
47
これはさ
48
ゼット だんか
複素平面上に Z（ -1,0） を 書くと
偏角 αは π
49
問題
コサイン サイン の 値を 求めるのだけれど
50
まず 順に
51
これを 整理して
52
こうでしょ
53
極形式を 2つ
54
これと これを Z1
と しよか
55
こっちを Z2 として
56
Z
Z1
Z2
としてみれば
57
複素数の 除法を やるとさ
58
二つの 式が 同値になるから
実部の 比較で コサイン
虚部の 比較で サイン
59
コサイン
60
サイン
なのでした
お疲れ様です。
（ 晴れ部屋へ 家庭菜園と ざっかや
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2021年04月30日
28006 複素数とベクトル 極形式
大人のさび落とし
複素数とベクトル 極形式
01
複素数を 表すときに
今まではZ=a+bi
そこへ
今度は 複素平面（ガウス平面）の
原点と 点P の 距離 を
ｒ
OPと x軸の 正の方向の なす角を Θ（シータ）
とすれば
実部 aは ｒ分の コサインθ
虚部 bは ｒ分の サインΘ
になり
02
この時 シータヲ Zの 偏角（へんかく） といい
arg(Z) ∠（ｚ） amp Z
で表す
絶対値 ｒは １通りに決まるが
偏角には 同じ 動径が 無数にあるため
Θ + ２ｎ π
nは整数
なるべく 絶対値の
小さい 角を 使って現した方が
分かりやすいので
０ 以上 Θ ２π 未満
と 明記して
ただ一つに 決めている
03
実際に どんなものか 見てみますと
04
複素数の 時の 展開の 仕方は
ちょっと 違ったですよ ね
05
こんな感じに
掛け合わせると
実部 虚部に 成って
06
これで 終わりではなくて
ここから
これで いつもの 形
ここから 極形式
ｒは 絶対値 シータは 偏角
複素平面上の Z を P(z) としたときの
OPとｘ軸の正の方向のなす角 が 偏角
07
複素平面に P(z)を 取って
rは ２
座標から P( １、√3 ）
08
偏角は この なす角の事なので
60度は π/3
09
これらを極形式に 代入したらば
こんな感じ
なんか かっこいいね
10
これはさ
分母を
有理化 みたいな 感じに
11
この式の 後ろの とこは
掛け算の 式だから
しゃ しゃ
12
出ましたよ
13
ところがさ
やな事に
i sin Θ の前が マイナスになっていて
ここは プラスに していただきませんと ですよ
やだねー
14
そこで
お経を ひっぱり出してきて
表を 書いて
負角で
sigを (-Θ） にすればさ
まえが プラス
cosは 負角は cosΘと 同じだから
15
こんな感じだって
16
昔は お経 やってたときもあたけどさ
あるとき 和尚さんに 先祖の 供養
してもらったら
なぜか クリスチャンに なってしまってね
これはさ
お経ではないけど
御経式に こんな風に 覚えています
（私の場合 ）
17
我が家的には こっちが すっきゃねん
クレドイヌームデウム
デウム パテー オムニポテンテン
ファクト―レム ケーリエ テーレ
ビジビリウム オムニム
エテェ インビジビリウム
コノツヅキハ KV 317
18
えんしゅう 行ってみましょう
えんしゅう な ン だ
おやじ ギャグか
ダメだな
これを 踏まえて
19
さいきん
ちょっとやると 疲れるよな
a+bi な 形にして
絶対値を 求め
20
複素平面（ガウス平面）に
作図して
ここでですよ
偏角は ｘ軸の 正方向との なす角 なので
7/4π
21
部品が そろったら
極形式に 代入して
22
これも まず
a+biの 形に 持ち込んでから
23
私の 好きなやつですが
i だからさ
24
こんなデショ
25
次も 行ってみますと
26
有理化 みたいな 感じに
27
なんかさ キュン 見たいな
掛け方デショ
28
絶対値
29
作図すると こんなで
30
なんか かっこいい答えだね
31
今度は 初めから 極形式で でていて
絶対値と 偏角を 求めなさいと言うもの
分かってるとこを 書いて
計算するでしょ
32
これはさ
いいのかな
いけないんです
逆になってるでしょ
33
そこで
私の場合は すぐ
表を 起してきて
それから 考えるに
余角を つかって 変換すればじゃナイスカ
34
-sigΘ を 負角にして
負角になった sigを cosに 変換すると
35
この方法で いけそうなので
まず 負角に なおして
36
今度は
関数を 変換すれば
37
答えは こんな書き方を するんだって
38
同じように 考えてきますと
39
今度は
どないだ
40
直し方を 見てと
41
こんな感じで
修正してきますと
42
ここらは
三角関数が 頻繁なので
ひやひやしながら
43
こたえは こうです
44
これは 分母を
有理かみたいに
45
簡単にしてくと
46
例によって
またこんな感じなんで
47
しょちゅう 表を 見ながら
（外に やりやすい方法探してくださいね）
48
疲れてくるでしょ
試験中は 食べれないから
スタミナは 大切なんだよ
血糖値を 少し 上げ気味で
維持する
ご飯と カツ
血糖値を あげておいて
脂分が 下げるのを 阻害する
病気に なってしまったときは
野菜を 先に たくさん食べ
それから かつ丼を 食べると
繊維分が 糖分を おさえてくれるので
また 脂分は からだにとって
必要なモノなので
良質の オリーブオイル
とかですよ
え なんでかって
脳みそは ブドウ糖しか 栄養分に
しない
だから 血糖値が 下がると
ぼーっとして
頭の キレが 落ちてくる
ケ〇〇〇〇
とかいう 難し問題も あるそうですが
大人に なってから 悩んでください
49
ばー
が出て来ました
ばー は 共役なので
50
計算を してですよ
51
また 調整するんですが
52
ちょっとでも チョコレートを じゃナイスカ
53
疲れちゃったなぁ～
54
ここをさ
個々に これをさ
代入してさ
55
突破～～～～
あの番組良く見てんですよ
56
ラスト
分かるとこから
入れてって
57
なんだからさ
58
意外とカナ
加法定理じゃなくてさ
和を 積に の公式で
59
あったじゃナイスカ
シンタスシンは ニシンの子
シンひくシンは にコスシン
コスタスコスは にコスコス
コスひくこすは ひくにシンシン
60
こんな感じで
61
答えは これでいいのだけれど
じつは 三角関数あまり得意でない
62
んん～～～～
困ってるんですが
今のコースで 上ってきますが
時に あちこち 他を やりながら
きびし～～～～
にんにく 3個食べる
（ 晴れ部屋へ 家庭菜園と ざっかや
メニュウ ページ リターン ）
2021年04月27日
28005 複素数とベクトル 2点間の距離
大人のさび落とし 28005 複素数とベクトル
2点間の距離
さいきん しゅくだいやってなくてごめんね
架空の 生き物 ぶんぷく茶釜 に
負けないよう
芸を 磨いていたんだよ
冗談は ともかく
お待たせいたしました
01
問題を よんでいただいて
02
でですよ
私自身 少し忘れてるので
ベクトルを 見てくると
平行移動できたり
成分で 表したり
矢印 と 大きさで 表したり
これが 今度は
複素平面に 成っただけなのだから
03
ベクトルで 同じ意味合いの 問題があったので
B は （２） で 使うため
ここでは 使わないですが
04
位置ベクトルと
ベクトルの 引き算
05
成分が わかってるとき
ベクトルの大きさを
座標で 計算して
06
ベクトルを
位置ベクトルで 置き換えて
計算して
絶対値を求めて
07
絶対値が ＝ 1 になることから
08
こんな感じの 等式を
辺々二乗して
円の 方程式
コンな意味合い
09
同じことを
複素平面で 行った⇒
戻ってきましたが
10
一定の 複素数 と 変化する 複素数
11
成分は こんなデショ
複素平面では こういう風に 書くんでしたよ
12
位置ベクトルの考え方で
絶対値を 計算するでしょ
13
心配になったので
念のためですが
ベクトルで 引き算を する時は
こんな感じ
絶対値を
求める時は
ぎゃくに 成ってますので
ベクトルは 進んでく 方向に 向かって
絶対の時は 大きいほうから
小さいほうを 引くイメージで
14
こんな感じにナッテじゃナイスカ
15
図にしたらば こうですか
16
練習を 少し
4問あります
17
複素平面上の 2点で 考えて
18
位置ベクトルの考え方で
成分から 絶対値を計算して
それが ２以下なのだから
19
こんな 不等式になるでしょ
20
これを
複素平面上に書くと
21
次は 両辺に
複素数に 考えて
22
位置ベクトルに 考えて
不等式を
23
整理したらば
こんな感じ
24
ｙ 方が 小さいか 同じ
線上が 同じなので
小さいのは ラインの下側
25
これは 手ごわそうですが
地道に 行ってみると
ゼット バー は
こんなだから
26
これを 複素数の 時の
展開で
27
整理したら
これを 複素平面 （ガウス平面）
に書けば
こんなですか
28
次は
左辺 上辺
ソレゾレ
こんな風に 考えれば
29
ゼットから 引く マイナス２を
引いたもの
ベクトルでは -2 から Zへ 向かう
ベクトルの 絶対（大きさ ）と
ゼットから プラス１を
引いたもの
ベクトル では 1から Zへ 向かう
ベクトルの 絶対値（大きさ） が
2：1
になっている
左辺が ２
右辺が 2倍して 等しいから １
２定点からの 距離の比が ２：１ になる点 Z（ｘ、ｙ）
30
ベクトルで
書くとこんな感じになるけど
AP BP
Pは Zの事だから
A,B から Z の 距離が ２：１
これは チョメチョメ の ほにゃララら
31
何でしょ
あったじゃナイスカ
今回の 日の値は ２：１
32
アポロニウスの円で
2：1になるときは
・・・・・・
置いといて
まずA,Bの 内分点 外分点を
計算すると
33
外分点は
こんなで
34
こんな感じに 成るよ
35
始めに 言いますが
アポロニウスの円です
36
複素数Z を こんな感じにして
P(z)
と
数字の部分
定点 A(3,3）
（複素平面上 ）
37
左辺は ベクトルにすれば
点A から
Zに 向かうベクトル
絶対値 Zは
原点から Zに 向かうベクトル
38
なので
2定点 （0、0）、 （3,3）
からの距離の比が ２：１ になる Z（ｘ、ｙ）
39
というわけで
40
アポロニウスの 円が 見えたので
2定点の 内分点 外分点を 求めて
41
外分は マイナスの 比で 計算してじゃナイスカ
42
こんな感じなので
最小値 最大値
成分で
円の方程式を 出していく時に
方程式を 円の 方程式に
そのですよ 中心が 分かる形に する前に
・・・・・・・・・
ｘ ｙ の 二乗の 係数を １ にしたときに
アポロニウスの の円であれば
後ろに 分数で
内分の する 分母が 出現するので
２：１ なら 3分の
こんな時は アポロニウスの 円と
気が付かなかったとしても
アポロニウスの 円を
疑ってみる 必要がある
43
問題を 読んでいただいて
44
題意より
ひとつめの 条件式から
O は 三角形ABCの 外心
45
正三角形であるならば
外心と 重心が 一致する
重心の 式は こうでしょ
なったじゃナイスカ
46
ナタメ
47
今度は 長方形です
48
まずは
外心
49
もう一つ
二つ 二つに 左右分けて
2で割ると 中点
50
対角線の 場合は
中点と 原点が 一致して
しかも
４点は 円周上にあるので
対角線の長さが等しく
互いに 他を 2等分してるので
長方形
51
もう一つの パターンは
さっきと 同じく 中点を
計算した場合
頂点の 記号が 違った パターンの時
52
こんな感じで
中点の 位置が 違うんですが
53
でもですよ
54
さっきの パターンに 成る計も
可能なわけで
55
どちらにしても
56
長方形の 性質
対角線の長さが等しく
互いに 他を 2等分してるので
長方形
お疲れ様です。
（ 晴れ部屋へ 家庭菜園と ざっかや
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2021年03月26日
28004 大人のさび落とし 複素数とベクトル 分点
複素数とベクトル 分点
複素数と ベクトル 分点
01
複素数 ｚ１ ｚ２ が与えられて
いて
複素平面上で
ｚ１ ：P1 ｚ２ ：P2
とする時に
線分P1P2
を 表す 数（複素数）は
どんな数になるか
三角形の 頂点が z1、z2、z3 で
与えられたとき
ｚ１：P1 ｚ２：P2 ｚ３：P3
とすれば
三角形 P1 P2 P3
の重心は どんな数 （複素数） になるか
02
二つの 複素数を
まず こんな感じにするじゃナイスカ
ｘｙ 座標に 書くときは
実部を ｘ 座標 、 虚部を ｙ 座標
と言う約束なので（ 複素平面 ）
03
P1 P2 を こんな感じに
するでしょ
原点O との関係で
位置ベクトルの 分点座標
でも 出るのですが
座標が 分かってるので
04
座標の性質を 使って
ｘ座標 （ 実部 ）
ｙ座標 （ 虚部 ）
ごとに 中点の 座標を 求めて
複素数の 形に 入れると
05
こんな感じで
06
これを 整理したらば
こうだよ
07
だからにして
三角形の 重心も
座標ごとに
実部 虚部 で 計算すればさ
08
こうなんだからさ
09
代入して
展開して
まとめて
10
なるでしょ
11
一般に
分点座標は
分点ベクトル の計算の様に
座標の 性質を 使って
12
代入して
整理して
まとめると
こんな感じになる
13
ここから わすれてると
急に 足がたたなくなり
アップアップ
ｚ１ ｚ２ を 結ぶ 線分上の 点を
ｚ とすれば
この この方程式 が成り立つことを
証明せよ
あったじゃナイスカ
ベクトル方程式
14
複素平面に 変わっただけだからさ
15
このベクトル方程式の表すところは
OA=a ベクトル OB=bベクトル
の 二点 A,B を 通る 直線の
方程式で
ｔ に 制限があるときは 線分になる
16
今回 ｔ に 制限がかかっていて
０以上 ｔ 1以下
これは 線分
しかも 二点 Z1 Z2 間
Z1 Z2 含む線分になる
17
Z1 から Z2 までを １として
その間を ｔ: １－ｔ
に分ける 点が
ｔの値と共に
動く
のだから
その軌跡は 線分になると
18
ねねね
だぁーからね
実部と 虚部を
ソレゾレ
ｔ：１－ｔ に 分点座標
Z＝ に 複素数 に代入したらば
19
分母は ｔ が消えて
1になって
ソレゾレ 展開して
まとめて
20
なったじゃナイスカ
21
今度は もう少し
考えよう
ちょっと～ いいですか
これも 形は ベクトル方程式
なんだけど
さっきと 書き方が 違う
22
この ベクトル方程式の方は
ｍ+ｎ=1 のとき は
さっきと同じ
A,B を 通る 直線になり
ｍ+ｎ＝１
かつ ｍが 0以上 、ｎが 0以上
の時は 二点
AB間の 線分になる（ 点A 点B 含む）
23
問題は ｍ+ｎ=2 のとき
図のように 原点からの a,b
ベクトルの 距離が ２倍になる
そこへ
ｍ、 ｎ が ０以上なので
A' 、B' 間の 線分になる
24
ｍ+ｎ＝１ のときは
どちらも
同じ意味に 成るでしょ
（ 分点ベクトル ）
25
くどいようですが
こんな感じに
まとめておきます
26
これらを 踏まえて
線分の 方程式で
出ているんですが
線分の 位置ベクトル と言うカナ
１から ２ まで
変わるでしょ
1の ときは
ｚ１から ｚ２までの線分
27
a+b＝２の ときは
位置ベクトルが
2倍に 伸びた感じで
28
さっきのと 合わせて
こんな感じかな
29
それで
答えは 台形 になるのだけれど
その過程を 作りだす
一本 一本 の 線分の
方程式は
こういうものがあるとですよ
30
今回の 問題に
当てはめると
こんな感じに なって
31
K=１ の時は
そのまま
K=2 のときは
32
この 式の K に ２が
入るんだから
33
こんな感じに なる
ベクトルは 2倍に 伸びてるの
分かりますか
で
ベクトルの 前の 係数は
両方を 足すと １ になる
つまり
ｚ１’ ｚ２’ 間を 1として
a/2 : b/2
に 内分する 点の軌跡
34
a+b=ｋ
ｋ が 1より大きく 2未満
の時は
図の 上と 下の 間にある
線分
35
だから
台形に 成る
36
分かり ずらいかった ですか
やだ だった
日本語 まじめにやらんといかんですか
37
ｍ+ｎ ＝１ の時
直線を 表すにですが
赤いところが 内分領域
黒いところが 外分領域
38
この ベクトル方程式は
おぼえてないと 苦労するので
ベクトル の アームが 伸びる感じ
39
外分って こんな感じだからさ
40
係数 和が 1になる
お疲れ様です。
（ 晴れ部屋へ 家庭菜園と ざっかや
メニュウ ページ リターン ）
2021年03月15日
28003 複素数の加法・減法 大人のさび落とし 旧数２ 訂正あり ㉞ ㊱
複素数の加法・減法
01
絶対値の 不等式があるのですが
たまに これが 出てくると
これ どう言う 意味？
分かんないのは ～
～ は 大きさの 差
A が おおきいか Bが 大きいかは
分からないけど
A絶対値 ～ B絶対値
は
大きい方から 小さい方を 引いた 差
それを 踏まえまして
問題
02
それで
複素数と言うものは
こんなぁ 感じだったので
03
二つの 複素数を
こんな感じに してみると
不等式の
左 中央 右
のそれぞれの 意味は
04
それで
複素数を ｘｙ 平面上に
対応させる 方法が
あったじゃナイスカね
複素平面 （ガウス平面）
複素数の 実部を ｘ軸
複素数の 虚部を ｙ軸
に対応させて
その点を Pとして
原点との 位置ベクトルにして
ベクトルで 計算する
平行四辺形にして
05
Zの 絶対値と言うのは
OPベクトル の事になるので
06
P1 P2 P3 として
平行四辺形で 考えると
O P1 P2 P3 が 平行四辺形になるとき
07
三角形 O P1 P3 で 考えると
三角形の
2辺の和・差 と 第三辺の関係から
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こういうのがあったじゃナイスカ
OP3を 第三辺として
二辺の和・差と にすると
09
中央が 第三辺
左が 二辺の差 右が 二辺の和
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ところが
複素平面上で
位置ベクトルを
複素数に 置き換えると
不等式の 概形が
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どうしてなんだの時
視覚的には
こんなかな
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等号に なるときは
ベクトルが
一直線上に なるときで
同じ向き の時
と
反対向き の時
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全部 場合を 合わせると
不等式の 出来上がり
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複素平面上に
点P(z1) 、 点Q（ｚ２）
が 与えられている
次の 点を 求めよ （１）～（４）
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（１）
位置ベクトル で考えると
OP ベクトル OQ ベクトルの
分点ベクトル になっていて
中点は 1：1
に分けるわけで
これは 中点の公式 そのままだから
中点の 位置ベクトルの
矢印の先端は
PQの 中点になる
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（２）
これも 位置ベクトルの
分点ベクトルを 使って
その 矢印の 先端で
考えるのですが
点Qと 反対側に 原点に対象に 点Q’を
取れば
OP と OQ’の 分点ベクトル
中点と 考えて
こんな感じ
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（３）
次も
さっきみたいに Q'を 使って
考えれば
分点ベクトル
中点 なのですが
複素数のバー のついたもののあつかは
共役複素数になるので
実軸を はさんで
対称なところに
R にしてしまいましたが
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後は 中点を 分点ベクトルで
だして
矢印の 先端
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(4)は どうかなと
通分して
－２ｚ２を
ひと塊で
Qと反対方向に 原点を挟んで
Qとの 2倍の距離に Q"（ｚ２”）
として
中点で 考えると
矢印の 先端
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複素平面上に 三角形があって
さらに
その三角形の それぞれの 頂点に
ｚを たした 三角形を
作ると
元の三角形と
どんな関係に 成ってますかと
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題意を 図にしていくと
三角形 ｚ１、ｚ２、ｚ３
と ｚ
位置ベクトルで
足し算して
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ｚ１、ｚ２、ｚ３ を P,Q R
ｚをｓ
として
新しくできる
三角形を
t u v
とすれば
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三角形 PQR
と
三角形 TUV
で
位置ベクトルを 使って
それぞれの 三角形の 辺を ベクトル
表示することを
考えると
それぞれの 頂点は
三角形 PQRは
OP OQ OR
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三角形TUV
の方は
それぞれの
頂点の 位置ベクトルが
OP+OS OQ+OS OR+OS
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三角形の それぞれの 3辺を
ベクトルにすると
三角形PQR の方は
こんな感じ
26
三角形TUVの TUは PQと同じ
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三角形TUVの UVは ORと同じ
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三角形TUVの VTは RPと同じ
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ということは
元の三角形を
OZ方向に 絶対値Z だけ
平行移動した関係
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問題を 読んでいただいて
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まず ｘα + ｙβ の形は
どんな感じかと言うと
方向と 大きさの 違う 二つの ベクトルがあれば
ｍα + ｎβ で 平面上の 全ての 点が 表せる
平行四辺形になるのだけれど
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二つの ベクトルの 前の
変数を 変化させると
平行四辺形の
内部 および 周上を
びっしり くまなく 埋めつくすので
α + β を 対角線にもつ
平行四辺形の 面積
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なので
赤い部分が 最大に なるとき
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と言うのは
α 、β は 動くので
平行四辺形の 面積が変わる
訂正 ↓
35
題意に α 、βは 絶対値１を
保ちながら
動くとあるので
複素数の 絶対とは
複素平面上では
Oα 、Oβ
なのであるから
平行四辺形の
隣辺 が １
の 平行四辺形で
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平行四辺形の 面積で
三角形の 面積の 2倍を 使うと
図の部分を ∠ Θ
にすれば
面積Sは
・・・・・・
計算すると
訂正 ↓
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sin Θ
サインΘが 最大になるのは
π/2
の時
面積の最大値は 1
お疲れ様です。
（ 晴れ部屋へ 家庭菜園と ざっかや
メニュウ ページ リターン ）
