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2023年05月19日
08035 大人のさび落とし 図形と方程式 領域内の最大値・最小値（２）
大人のさび落とし
図形と方程式 領域内の最大値・最小値
（２）
001
三つの不等式に
囲まれた 領域D
があるんですが
その 領域を 図示し
領域内を 点が動くとき
ｘ二乗 +ｙ二乗の
最大値 最小値を もとめなさい
という問題
002
三本の 不等式をですジャン
直線に 見て
交点を Ａ，Ｂ，Ｃ 求めると
003
➀②から 行ってみますと
引算すれば
ｘ が 消去できて
ｙの 式になるので
ｙ＝０
②に ｙ＝０を 代入して
ｘ＝6
004
普段見慣れた
直線の式に書き換えれば
➀②の 交点Ａは
Ａ（６，０）
005
②③の 交点は
今度は
③から ②×２を 引き算すれば
ｘが 消去できて
yの式になるから
ｙ＝21/5
006
ｙ＝21/5を ②に代入して
ｘ＝9/5
これを 点Ｃ（9/5，21/5）
007
見慣れた かたちにすれば
こんな感じで
交点Ｃは ここ
008
③➀の交点は
➀と③を 足せば
yが消去できるので
ｘ＝ー１
ｘ＝ー１を ➀に代入して
ｙ＝7/3
これを点Ｂ （ -1，7/3）
009
見慣れた 形にして
交点は ここ
010
以上まとめて
不等式の 示す領域は
三角形の 3辺上を含む 内部
これが 集合Ｄ
011
ｘ、ｙが Ｄ内を 動くとき
ｘ二乗 +ｙ二乗の
最大値 最小値は
先ず 最小値から
ｘ二乗 +ｙ二乗＝Ｋ とすれば
これは 原点中心の 半径√Ｋの円
円が 辺ＡＢに 接するときが
最小値になるから
012
辺ＡＢの式を
円の式に 代入して
接する条件で
判別式Ｄ Ｄ＝０
とすれば
013
こんなでしたね
014
kは 18/5
これは そのまま
ｘ二乗 +ｙ二乗の 最小値
別解もあってですね
点と 直線との 距離
公式に 入れれば
6/√10
015
ｘ2 +ｙ2=k とした時
ｋは 半径の 二乗
k=（√ｋ）2
点と直線との距離は
半径で出てくるので
ｋを求めるには
2乗して いただいて
18/5
016
最大値は
半径を
伸ばしてきますと
点Ａを 通過するときが 最大値
017
領域と ２ｘ+ｙ
２ｘ+ｙが
領域内で
最大・最小になるときは？
018
２ｘ+ｙ＝ｋと置いて
式変形して行くと
ｙ＝-2ｘ＋ｋで
この 傾きの直線の
ｙ切片の 変化だとわかるので
019
円と直線でできた
領域の
第一象限での 交点は
020
（x,y）=（1,2）の時
その交点を
通過するときが
最大なので
最大値4
021
最小値は
ｙ＝ー２ｘ+ｋが
円と接するときで
第三象限で
接するとき
022
直線を 円に代入して
判別式で
接するときを
求めると
023
最小値は-5
024
こんな感じカナ
025
問題
この不等式の
領域内に
式が 入ってるように
026
この式はさ
＝ｋ と置いて
変形してくと
半径は変わるんだけど
円の方て式になってるので
027
領域の 境界線との関係で
接する 交わる を 調べると
代入して
判別式
028
この 判別式が
ゼロ 以上ならいいのだから
029
こんな感じになるですね
030
図にすると こんなイメージで
031
ｘ、ｙが これこれの
不等式を 満たすとき
ｘ+ｙの 最大値が
=2になる様に
負の定数Ｐを 求めなさい
032
二次関数の グラフで
領域が できてるので
標準形にして
頂点を みると
033
で
Ｐは 負の定数であるから
034
分かってる 条件で
図を 書いてみると
この 2次関数が
直線 ｙ＝ーｘ+2に 接する 様に
035
であるがため
②を ➀に 代入して
判別式Ｄ D=0を見ると
036
因数分解で来て
037
Ｐは -3
038
代入して
判別式を みれば 接してるでしょ
お疲れ様です。
