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2020年11月30日
大人のさび落とし 08024 図形と方程式 円になる軌跡（１）
大人のさび落とし 図形と方程式
円になる軌跡 （１）
01
軌跡の続きですが
円になるもの を
まとめてあります
軌跡を 描く 点を P(x,y)と置いて
関係式を 作っていくのですが
問題を 読んでいただいて
02
まず 座標軸は
一般的に
底辺を ｘ軸
底辺の 垂直２等分線を
ｙ軸 が 多いですが
03
正三角形であるので
こんな感じに
座標が入って
04
P（x,y）との関係式を
作っていくと
05
２点間の 距離の 公式は
ルートがあるけど
距離の 二乗だから
ルートが外せて
06
これも
07
全部 部品がそろったらば
08
条件式に
代入して
展開 整理して行くと
09
これは
円の 方程式に
なりそうですね
10
こうです
11
こんなかんじで
行ってみましょう
12
さっきみたいに
13
条件式に 代入すると
14
こんなですので
15
円の 周上にある
16
ここまでくれば
もう計算練習ですよね
17
こんなにやると
公式を 覚えちゃうよ
18
ん
なに
なんでもない
19
ひたすら
計算
20
条件に 代入して
計算
21
これでいいって
22
これはさ
（２） は おんなじ問題の
かっこ２だから
さっきの 計算を
使って
少し楽して
23
計算が 長くなるから
縦に 足して
24
これでいいって
25
これは
問題を 読んでいただいて
26
問題の意味は
それぞれの 直線が
ｍが いくつであっても
定点を 通る
こういうのがあったでしょ
27
これは いったい 何のために
求めてるんかいな
28
２直線が 直交する
これは 式変形から
傾きを
わかる様にして
29
予想としては
(３)は
（１） （２） より
➀②は それぞれ 定点を 通る
➀②は 直交している
30
➀②の 交点を 求めると
ｍ を 消去でしょ
31
なんか 予想通り
円になりそうですね
32
で
先ほど
ｍの 分母を 払う都合上 出てきた
点を 円の方程式に 代入してみると
円周上にあり
しかし
そこは 含まないので
33
こんな感じですか
お疲れ様です。
（ 晴れ部屋へ 家庭菜園と ざっかや
メニュウ ページ リターン ）
2020年11月29日
08023 大人のさび落とし 図形と方程式 軌跡の方程式
図形と 方程式 軌跡の方程式
01
軌跡とは
定義は これです
02
解き方は
03
やってみると
問題を
読んでいただいて
頭を 柔らかくした方がいいらしい
固定観念とかも あるでしょうし
04
三角形を
見てみると
面積を もとめるときに
05
こっちも 面積を
もとめるときに
06
で
出てきた 軌跡の方程式を
書き込んで
三角形を 維持しないといけないので
07
こっちのほうが
分かりやすいカナ
２点間の 距離に 着目せれば
08
条件に 代入して
09
こんな感じに
10
ｚを こんな感じに 設定して
OZ 方向に 半直線
原点は 含まず
11
これは もう
要領が分かって くると
計算のみ
12
距離が等しい
13
イコールだから
辺々二乗してしまえば
ルートが外れて
14
これが 軌跡になる 直線の
方程式
15
これはさ
業界の おきてで
P は こう言う 条件の時
って書き方だから
16
ここは ２点間の 距離から
距離の ２乗
で
関係式を 作って
17
部品が できてきたとこで
18
代入して
展開して
整理して
19
これが
軌跡の方程式
20
次もですよ
21
２点間の 距離の 式からの
変形を 使って
22
これを
全部 代入すれば
23
こんなかんじで
24
決め
25
最後は
円ですか
２円に 引いた 接線が 同じ長さになる様に
接線を 引き始める 点Pの軌跡
P（ｘ、ｙ） ここまでは いいと
ここから
頭を 柔らかく
26
円の 形状と言うかさ
中心 半径
が分かってて
P（ｘ、ｙ）
題意より
PA ＝ PB
だから 二乗しても
等号は 変わらない
そこで
気が付くと
円に 対する 接線なんですよ
円の 中心から 点P までが
斜辺に 成る 直角三角形
27
なので
微分や 接線の方程式や
判別式や 解と係数の関係を
使わなくとも
ピタゴラスの 定理から
28
順次 代入してくと
29
部品を 計算して
30
こうなると
ちゃんと （ｘ、ｙ） が入ってるでしょ
31
ｘ＝ｙ となったですが
チェックしてみると
32
共通弦も 同じく 一致するでしょ
接線は ２円の 外から 引いてくるので
これです
お疲れ様です。
（ 晴れ部屋へ 家庭菜園と ざっかや
メニュウ ページ リターン ）
2020年11月28日
08022 大人のさび落とし 図形と方程式 双曲線
図形と 方程式 双曲線
5章のところで
もしかしたら
飛ばして 来てしまったかな
確認してみますが
01
双曲線です
問題を 読んでいただいて
02
（１）
これはさ
中学で
ん
小学校か
出てくるんですが
比例 反比例 のところかな
03
理屈を 付けながら
グラフにすると
04
で
ここでは
合成しちゃおう
二つの グラフの 交わったとこより
下側を
それぞれ
っもう一方の グラフに
足し合わせたり
引き合わせたり
05
で
次は 何を やってるかと言うと
いま グラフを
書いてきたわけですが
そのグラフの
ｘが 実数を 取って
変わるときの
ｙの値の 範囲を 求めなさい
06
実数解を 持つんだから
判別式
＞＝０
07
これを 言いたかったんですよ
グラフの ｙの値が
2以上と －２以下
ｙの範囲
08
グラフを
書いてみましょう
双曲線は
ｋに値するとこの
符号で
第
➀③
か
②④
象限
今回は K<0 で
第②④象限 パターン
09
絶対値が 入ると
場合分け
2つに 分けて
考えると
ｘ＜０ の時は 第２象限
ｘ＞０ の時は 第１象限
この 合成で
10
次も
それぞれの
場合分けを
みて
合成すると
11
応用編は
こんな感じ
12
さっき 似たのがあったですが
もんだい
13
判別式で
見てきますと
14
ｙがさ
15
こんな感じですか
16
次は
文章問題
読んでいただいて
17
まいなすまで
x軸 も ｙ軸 も
動ける範囲だから
で
面積ですので
正の数だから
絶対値など付けて
18
P(x,y) は さ
こんな感じで
19
で
今の ところを
こんだは
長方形にしてですよ
20
題意より
式を 作ってくと
21
ｘでしょ
22
ｙでしょ
➀②から
23
ｍを 消去すると
24
もうちょっと いじらないと
曲線が 見えてこない
25
これで どうだ
26
まだか
これで どうだ
27
これです
お疲れ様です。
（ 晴れ部屋へ 家庭菜園と ざっかや
メニュウ ページ リターン ）
2020年11月24日
08021 大人のさび落とし 図形と方程式 2次曲線の方程式 楕円
大人のさび落とし
図形と方程式
2次曲線の方程式 楕円
01
円の 方程式を
もとにして
x軸の方で 見ていきますが
ｘ軸の 上下 方向に
何倍かすると
楕円に 成るですね
これを
例題を 通して
見ていきますと
読んでいただいて
02
こんな感じに
PHを １：２に
内分すると
Hを 忘れてますが
Pの足が H
x軸のとこですよ
Qの座標は
ｘ座標は Pと同じなので
X
Qのｙ座標は
PHを 1：2に 内分したのだから
高さ的には
２/3
と言う訳で
2/3Y
Q(ｘ、ｙ）とし ラージ X,Y
を ｘ、ｙで 表すと
03
（２）
ラージ X,Y は 円の周上あるので
ｘ、ｙ を
ラージ X,Y に 代入すると
04
こんな感じで
05
楕円の一般形 は
右辺を １ にしたこんな感じで
ｂ/aが x軸の 上下に
なん倍 かを 表している
06
グラフに するには
ｙ について 解いて
07
平方根は ぷらすまいなす
根号の中は 正
から
08
表にして
近似値を 取って
プルット
すれば
イマハ コンピュータ ですが
09
昔は
しょっちゅう 図を
書いてましたが
10
類題 行ってみましょう
読んでいただいて
11
元の円があって
周上の 点から
ｘ軸に 垂線を おろし
それを AB とするんだね
で
円の 2つの 円の
交点を 結ぶ 直線の方程式を
だして
その直線と
ABの 交点を P とする時
Pが AB の 中点で あることを
示すんだから
2円が 接してたら
円引く円は 共通接線
2円が 交わっていたら
円引く円は 共通弦
12
小さな 方の 円の
方程式を 展開して
大きい方から 小さいほうを
引いてみたら
13
これが 共通弦の 方程式に
なってるはずです
分かりやすく 変形して
計算のときは 一般形の方が
楽だと思いますが
14
傾きの 分かる形の方に
ｘ＝aを 代入したらば
ｙ が 出て来て
15
ところで
ここに 登場する
a,b
には
ある
関係式が
あって
じゃ ナイスカ
16
そしたらば
中点に 成ったよ
17
かっこ ２
表現を
こう書き替えて
18
代入したらば
これは だえん
19
今回は グラフは かかないですが
グラフの時は
ｙについて 解いて
ｘ の 変域を だして
表にして
20
もういっちょ 行きますか
問題を 読んでいただいて
21
大まかな 図を 書いて
がいぶんか～
あったじゃナイスカ
内分みたいに 考えて
外分を マイナスを 付ける
22
こんなですよ
今度は
（２）
関係式を 見るに
2点間の 距離が ２
23
そこから
関係式が 円の 方程式で
出て来ましたから
この 関係式に
ｘ、ｙを だいにゅうできるかたちに
a,bを ｘ、ｙで 表して
代入すると
24
これを
右辺が １になる様に
式変形すると
楕円の 上にある
お疲れ様です。
（ 晴れ部屋へ 家庭菜園と ざっかや
メニュウ ページ リターン ）
2020年11月18日
08020 大人のさび落とし 図形と方程式 定点通過の問題
人のさび落とし 図形と方程式 定点通過の問題
図形と方程式
定点通過の問題
01
直線の 方程式のときもありましたが
曲線の時も
定点通過の問題があります
読んでいただいて
02
こんな感じに 式変形できるとき
その 全体像の 曲線は
ｆ（ｘ、ｙ）＝０ 、ｇ（ｘ、ｙ）＝０
の 交点を 定点として 通り
その時 ｋ の値が いくつであろうと
定点は 変わらない
03
与 方程式を
式変形して
左辺に集め ＝０
さらに ｋで まとめて
その かたまりの
ｋを くくりだし
04
そうすると
出現する
2つの 方程式の 解が
この曲線全体が 常に 通過する 定点
05
定点が 二つ出て来ました
検算すると
06
ＯＫなのは
（-1,1）の方
07
この曲線が
ｘ+ｙ=√2 に接するには
ｙを 曲線の式に代入して
08
判別式を 取るとき
判別式 =０
09
交わる 二つの 円の
交点を
通る 円は
この方程式
後で出て来ます
10
問題を 読んでいただいて
11
まず aの値にかかわらず
定点を 通るのであるから
式変形
12
出てきた 二つの 方程式の
解が 定点
13
こちらの 曲線も
式変形で
14
連立方程式が出て来て
15
定点は
二つ
16
で
この円の 中心は
定直線上にあることを
示せ
17
円の 方程式の
標準形に して
中心の 座標を
求めるでしょ
18
中心の 座標が出たところで
aを 消去すると
こたえ
19
今度は
さっき
後で出て来ますって言ったやつですが
問題を
読んでいただいて
二つの 円の 交点と 原点を
通る 円の 方程式を
求めよ
20
そこで
二つの 方程式を
ｆ（ｘ、ｙ）＝０
ｇ（ｘ、ｙ）＝０
の 形にしたものを
ｋ で
連結すると
これが
2つの 円の 交点を
通る 円の方程式
これが 原点を 通るので
ｘ＝０、ｙ＝０
を 代入すると
ｋ＝３
21
2円の 交点を 通る円の
方程式の ｋ に
ｋ＝３ を
代入すると
出て来間した
22
こんな感じで
23
かがわ さんではないですが
本当に そうでしょうか
まず
2つの 円の交点を
求めるでしょ
24
ｘ=0または 1
25
方程式 ➀②に ｘ＝０を 代入して
（ｘ、ｙ）＝（0,3）
26
方程式 ➀②に ｘ＝１を 代入して
（ｘ、ｙ）＝（1,2）
27
この 二つの 交点を
答えの 円の方程式に
代入したらば
28
おっけい
おっけい
原点も おっけい
29
なので
こんな感じに
なってきました
30
曲線 これこれが
a の値を
変えても
常に 定点を 通り
定点に おいて
定直線に 接していることを 示せ
という趣旨です
31
まず
いつものような
型に
式変形
32
そこから
方程式が 2本
交点は （-1,1）
33
さらに この 定点において
定直線と接するんだって
一般的に
直線の 形は
ｙ＝ｍｘ
傾き ｍ
点（-1,1）を 通るから
傾きが ｍ で
（－１，１） を 通る直線は
ｙ＝ｍ（ｘ+1）+1
34
この 直線が
曲線に
せっしている
実際の 形がでれば
示したことになるので
35
この二つの 方程式から
ｙ を消去した 方程式の
判別式が
重解 Ｄ＝０ 接するように
ｍ を 定めることができれば
36
なるじゃナイスカ
37
これが
定直線
38
というわけでした
お疲れ様です。
（ 晴れ部屋へ 家庭菜園と ざっかや
メニュウ ページ リターン ）
2020年11月17日
08019 大人のさび落とし 図形と方程式 共通弦
大人のさび落とし
図形と方程式 共通弦
01
まず 読み物の様に
読んでいただいて
共通弦 共通接線
の 求め方なんですが
2つの円が 交わってるとい
2つの 円の方程式を
➀②とする時
➀－②を 整理すると
共通弦になる 直線の 方程式
2つの円が 外接してる時
➀ー②を 整理すると
共通接線になるというお話です
02
方程式の
引き算を するでしょ
03
整理すると
直線の方程式になる
04
この 直線が
2つの円が 交わってるときは
共通弦を含む直線の方程式
05
2つの円が 外接していれば
共通接線になる
と言うものです
これを踏まえ
06
問題行ってみましょう
07
方程式の 概形を 探ると
08
こんな感じで
これが
交わるというので
09
2円の 方程式の 引き算から
直線の 方程式
これが
共通弦になってるので
円と 直線を 解いて
10
交点が ２つ
2点間の距離から
弦の長さは
これ
11
問題を 読んでいただいて
二つの 円があり
一つ目は
原点が 中心 半径3の円
二つ目は
半径が 2の円で
中心は ｙ＝１の上を 動く
共通弦を 含む 直線の方程式を
求めよ
12
2円が 外接するとき
円P の 中心座標と
共通接線の方程式を
求めよ
13
まず
(α 、１） を
中心とする
円の 方程式を
展開して
半径 ３ 原点中心の円の方程式から
引き算すると
14
これが
直線の 方程式
15
2円が 外接するときは
こんな感じになって
いてじゃナイスカ
16
円 P の中心座標は
17
であるから
二組の 円の 方程式の
引き算で
接線が 2本出てくる
18
ね
19
これですよ
お疲れ様です。
（ 晴れ部屋へ 家庭菜園と ざっかや
メニュウ ページ リターン ）
2020年11月16日
08018 大人のさび落とし 図形と方程式 接線
図形と方程式 接線
01
円の 外に 一点 があって
そこから 接線を
引くと どうなりますかという問題で
直感的に
2本ありそうですが
02
接線の 傾きを ｍ とする場合
接線が 通る
もう一点が 指定されてるので
傾き ｍ のまま
接線の 方程式
03
この接線の 方程式と
円の 方程式が
接しているのだから
04
➀②からの 方程式③の 判別式が 重解
を 持てば 良いので
判別式 D D=0
05
計算間違いを しないように
06
解の公式で
07
傾きが 2つ 出てきたので
直線の 方程式に 代入して
08
左がわ 右がわ
一般形で
計算の 時は 一般形が
速いからさ
09
同じ問題なんですが
解き方が
外に あるので
円が
原点が 中心の 円で
あるので
接点の 座標を
（ｘ、ｙ）＝（a,b)
とすれば
円の 中心から
接線への 垂線の 傾きは b/a
10
これに対して
接線は 直交してるので
傾きは
-a/b
（a,b)を 通るのだから
この接線の 方程式は
こんな感じに
11
ところで （a,b）は
円周上の点でもあるので
a二乗 + b二乗 ＝ 25
（１、-7 ）を 通るので
ｘ、ｙに 代入したら
こんな感じの 連立方程式
12
これを 解くと
ｂが二通り
13
ソレゾレに aが
求まって
14
この 2組を
15
接線の 方程式に 代入すると
16
2本出て来ました
17
(１）
るいだいですが
（２，１）
これはさ 円周上に ある点なので
円周上の 点における
接線の 公式に 代入すれば
18
いきなり答え
19
公式を
忘れてしまった場合は
先の手で
円の中心が 原点なので
円周上の 点が （２，１） なので
接線におろした 垂線の傾きが
1/2
で
20
接線の 傾きは -2
それで
点（２，１）を通るから
直線の方程式から
接線
21
類題
これも 今みたいな
方法が 速いカナ
円の中心が 原点で
接点を (a,b） とすれば
接線への 垂線の傾きが
b/a
したが って 接線の傾きは
-a/b
22
接線の 方程式は
(a,b）を 通り
傾き -a/b
23
ところで
(a,b)は 円周上の点で
中心が 原点 半径の二乗が ５ であるから
ここに 点（１，３）を 通る
を 代入すると
24
連立方程式
25
ｂが 2つ
26
ソレゾレに a
27
接線の 方程式に
2組の（ｘ、ｙ）＝（a,b)
を 代入して
28
接線は 2本
このやり方が
できるときは
この方が 計算ミスが少ない
29
今度は
原点から 接線を 引くんですが
円が 原点から 少し 上下 左右に
動いてます
問題を 読んでいただいて
30
（１）
接線をもとめよですが
まず 円の 感じを 見えるように
31
接線は
今回は 原点から引くのだから
ｙ＝ｍｘ
32
➀②が 接するのだから
➀②からの方程式③は
重解を持つ
判別式：D D ＝ ０
33
そうすると
傾きが
ふたつ でてきたよ
赤鉛筆は
円の中心点と 接線の距離が
√2になることから
点と直線との距離からも
求まりますという話です。
34
接線は
2本
35
接線の長さは
同じになるのですが
（３） に 2接点を 通る
直線の方程式を
求めよがあるので
接点を 二つ 求めると
OA
は
A(2,2)
OA＝2√2
36
OBは
B(-2/5、14/5）
37
OB ＝ 2√2
38
2接点から
傾きを 出すと
(3)ですが
39
そのうちの 一点を 代入して
直線の方程式から
40
問題を
読んでいただいて
ぱっと見て
状態が 見えてきますか
41
共通接線を
こんな感じに
設定して
連立を
A の方
42
Bの方
43
出てきた 式と
グラフを
見て
題意から
P,R,Q
と
ｂ、ｄ、ｎ
の
位置関係を
確認して
44
もとめる 比の値の
PR QR は
45
これを 比の値に すると
46
こうです
お疲れ様です。
（ 晴れ部屋へ 家庭菜園と ざっかや
メニュウ ページ リターン ）
2020年11月15日
08017 大人のさび落とし 図形と方程式 円と直線
図形と方程 円と直線
01
円と 直線が
2点で 交わる場合
接してるときは 一点なので
重解
異なる 2実解 の時は
判別式 0より 大
D ＞ ０
それと 異なる 2点を 結んだ
弦の長さについて
直線と 円の「方程式から
ｙを 消去した
ｘ の 2次関数にして
二っの交点（ｘ、ｙ） 座標を
ｘ、ｙ の ｙの方を
ｙ＝ 何鱈(なんたらｘ + 蜂（びー）
なので
ｘ１ 、何鱈(なんたらｘ１ + 蜂（びー）
ｘ２ 、何鱈(なんたらｘ２ + 蜂（びー）
ダイジョカナ 当て字だからさ
これを 踏まえて
問題を 読んでいただいて
02
まず
直線と 円の 方程式から
ｙ を 消去する形に
ｘの 2次関数にして
03
この式の
解が 交点だけど
異なる 2点で 交わるのだから
D ＞ ０
04
ｋのあたいは
05
ここ
06
図の 一番上の ｙ切片と
一番下の ｙ切片は
丁度 直線が 円に 接するときなので
そこを 含まず
下から 上まで
07
弦の 長さが
2の時は
まず 弦の長さは
2点P,Q を
こんな感じに 設定して
2点間の距離の公式
08
ｘ と ｙと
二つ づつ 入ってるので
直線上の 点でもあるから
直線の方程式を
使って
2つの ｙ 座標を
ｘの 1次式にするでしょ
09
2点を 二組の ｘ座標で
表したものを
展開 整理すると
10
ずいぶんと 簡単に
11
この ｘ１ 、ｘ２は
点P 、Q の それぞれの ｘ座標
で
円と 直線の
方程式から
交わりを 求めたときの
解であるので
解と 係数の 関係は
こんなだったから
12
この 二つの 解を 足したものと
この二つの解を かけたものは
だったですよね
だったじゃナイスカ
これを 使って
式の 値を 求めると
13
文字の まま 計算してくでしょ
14
これがね
＝２ になるんだから
15
辺々 2乗して
16
ｋはさ
コレダよ
17
2本 出てくる
交点の 座標を 求めたければ
ｋを 含んだ ｘの 2次方程式の
解が ｘ１ 、ｘ２ なので
そこから
直線の 式に ｘ１、ｘ２ を 代入すれば
出て来ますが
今回は
そこまでは しなくていいので
18
類題
19
交わるときは
連立方程式から
式を 一本化 して
判別式
20
これを整理すれば
21
条件は こんな感じで
22
具体的に
a,b,kが 出てきたので
代入してみると
確かに
満たしてますよ
で
弦の長さは
23
今回は 直線が y切片の 分かっていて
動かないので
交点を 求めれば 交点が
二つ出て来て
ソレゾレ ｙ 座標も 求めれば
2点間の 距離でも 出せるのだけれど
計算が 長くなって
ミスする可能性が 高いので
やはり 解と係数の関係を使って
24
まずは 普通に 交点を
求める感じに
弦の 両端を
α 、 β とすると
P(α、 α+4 ）
Q（β、 β+4）
二点間の 距離の公式で
25
整理すると
こんな感じで
26
ここで
解と係数の関係を 使って
式の
値を 計算して
27
値が 出そろったら
代入して
28
答えは ２
ラストは
証明問題
読んでいただいて
29
まず こんな感じで
ソレゾレ
OP OQを
求めると
2点間の 距離
30
式を 変形して
直線の 方程式から
ｙを消去して
31
係数で ｍ は 入ってるものの
ｘ１と ｘ２ だけの
式にして
32
ここまで来たら
例のごとく
解と係数の関係に
持ち込んで
33
交点が ｘ１、ｘ２
なので
34
解と係数の関係から
ｘ１・ｘ２＝ が でてきて
代入したらば
整数
変数が 入ってない
つまり 一定
OP・OQ＝ 一定
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2020年11月11日
08016 大人のさび落とし 図形と方程式 半円の方程式
大人のさび落とし
図形と方程式 半円の方程式
01
円の方程式を
やった後なので
出てまいりました
次のグラフを かけ
02
根号の 中身は 正と言う約束事があるので
左辺のｙは ０以上
それを踏まえて
辺々 2乗して
円の方程式に してしまう
へてから
ｙ＞＝０ の部分だけを 書く
03
つまり
半円に なってしまうんですよ
04
次は
根号の ほかを 左辺に
移項して
根号が せいだから
マイナスが付くと
左辺は 0以下
ナタメ
3以下になる
さっきみたいに
平方して
円の方程式にして
05
今度は こんな感じで
06
次は
グラフが 与えられてて
このグラフの
関数を 求めよと
まず
円全体を 式にして
07
平方根を 取るんですが
ここは
うまく 説明ができなくて
何かの 平方根 と言ったら
ぷらすまいなす
ただ ルートいくつ だったら 正の値
ここは 平方根を 取ったんですよ
で
グラフで
ｙの値は 3以下なので
ｙ－３は 0以下
負になる
と言うことは
右辺の 平方根は マイナスの方
08
で
こんな感じに
09
類題
グラフを かけです
平方して
根号を 外し 円の方程式に
仕立てるんですが
根号の 中身は 正
マイナスが ついてるから
左辺は 負
10
こんな感じに
11
同様に
右辺の
根号のなか身は 正
したがって
左辺は 正
12
xが 正の部分は ここ
13
根号 いがいを 左辺に
右辺の
根号の中は 正
マイナスが付いてるから
全体で 負
したがって
左辺は 負
14
ｙは 1以下になるので
円の方程式を出してきて
ｙが １以下のところ
15
これ
16
次の
四角を 埋めなさい
17
まず グラフを
書いてみて
さっき見たに
やるですよ
18
で
グラフが できて来て
これと ｙ＝ｘ+ｋ が
交わるときに
2点で 交わる場合 （ア）
1点で 交わる場合 （イ）
19
こんなかんじになるはずだから
20
接線を 求めなければ
円の方程式のときは
微分ではなくて
公式があってですね
その前に
接点に 成る
円周上の点を 求めて
21
これを
円に接する
直線の公式に入れると
なったでしょ
22
なので
図示したとこを
見ていただいて
こんな感じに
23
次は
グラフを 書いて
曲線の長さを 求めよ
24
まず グラフ
25
だいじょですか
26
今回 グラフの 区分の
領域は
こんな感じ
長さは
パイ
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2020年11月09日
08015 大人のさび落とし 図形と方程式 円の方程式
大人のさび落とし
図形と方程式 円の方程式
01
円の 方程式は
普段は やってないので
慣れておく必要があり
まず 問題
読んでいただいて
02
今までと ちょっと違うので
できるつもりで
いきなり
やると
で どうすんの
なぁんてことも
ｘ、ｙ、の 2次方程式なんだけど
こんな感じに
一般形 標準形
03
じゃー行ってみましょう
中心と
半径を 求めれば
よさそうじゃナイスカ
04
オートバイの 遅乗りでは
おまわりさん
一見簡単そうで
けっこう いろんなこと やってるよ
何だっけ
あ
えーとだ
中心は 今回の 2点は
直径の 両端だから
中点を けいさんして
デショ
半径は
中心と どちらか 一端
までの
2点間の距離でしょ
じゃナイスカ
05
本日は
いきなり
歯切れが悪く
06
中心と 半径が 出たから
これを
ここに
入れてですよ
だいじょうぶだ
07
で
3点が あって
三角形の頂点だって
外心を求めなさい
今までは
3辺 の 直線の
方程式を 求めて
ソレゾレ 辺の 中点を 求めて
ソレゾレ 垂直な 直線の
傾きを 求めて
1点で 交わることを
実証して
で 交点が 外心だから
で
大変だったですが
今回は
08
ボジョレですか？
いいえ
そうじゃなくてさ
円の 方程式が
解禁ですよ
一般形に 3点を
代入して
09
こんな感じに
➀ ②
10
③
と
連立方程式
このさ
a,b,c
一般形の時は a,b,c
標準形の時は
a,b,r
を 求めれば
円の方程式になるからさ
11
➀-②
で
aがでてきて
12
c,b も出て来て
13
これをさ
一般形に 代入して
14
平方完成で
式変形すれば
コレダ
外心は 円の中心点だから
15
次の 円の方程式を 求めよ
16
問題は
一般形で
来てますので
これを 標準形に
変形
平方完成して
式変形すれば
円の中心が
出てですよ
17
中心が同じで
点（１、－２）
を 通るんだから
中心が 分かっていて
半径が まだ分かってない
この問題は
直線の問題では
無くて
円の方程式だから
いっしゅん あれ って
なりそなのを
気を取り直して
円の え～ 標準形の方にですよ
通過点を 代入したらば
18
中心の 座標が （１，２）
通過点が （１、－２） だいにゅうして
いいじゃないか
19
次は
3直線で
囲まれた 3角形の
外接円の 方程式を
求めよ
20
3直線の 交点を
順次 3組 計算して
21
計算ちゅう
22
しばらくお待ちぃください
23
この 3点が 三角形の
頂点の座標だから
これが
全部
円の 通過点
24
こんだは
円の方程式
一般形に
点を 代入して
a,b,c
を 求める
25
連立方程式の
準備をして
26
こんな感じで
27
順次
a,b,c
28
一般形に 入れて
29
これでも
答えだけど
やはり
円は 標準形にした方が
ぱっとわかるので
30
いかがでしょうか
31
問題を
読んでいただいて
一番上の
1行だけだからさ
32
円の場合は
接するていうことが
特別になってきてですよ
こんな感じに
座標を 設定すると
33
通過点を
代入したらば
34
中心が 2つの場合があるよと
求める 円の方程式は
2つでてきました
35
次は
円の方程式に 似てるんだけど
右辺がさ
絶対値が ついてる
人によっては
絶対値を 見た瞬間
後にしよう
絶対値は 場合分け
０以上 と 未満 に分けて
どっちかに 等号を 付けておけばさ
つながっていくので
36
れいせいに
場合分けをすると
ソレゾレ
第一 第二 第三 第四
象限ごとに
グラフを 書いて
それが つながっていって
模様みたいに
なりそだよ
37
右辺の 絶対値は
1，2，3，4 の それぞれの
象限で
こんな感じに 外れるので
38
与式に 当てはめると
１，２，３，４
象限は
ソレゾレ
こんな 方程式になる
39
ソレゾレ
変域と 値域が
決まってるので
円の方程式を 計算すると
半円になる
40
こんな感じでさ
で
円の変形が √２/2
なんだけど
丁度
1：1：√２ の 三角形が できてるので
半径の √２/2 は
こんな感じ
41
今度は 第2象限
42
同じことなんだけど
43
第3象限
44
ここが √2/2
45
第四象限
46
この問題うまくできてるよね
47
全部 足し合わせると
48
こんな簡単な 値に
49
問題を
読んでいただいて
数学には
数学語の 方言が あるようですよ
実数解が
一つだけ あるよに
2次関数なので
重解
これわさ
深く読んでいただいて
また どっかで 出るかもしんないし
さっき やってきた問題の中に
ｘ軸 ｙ軸に 接する円で
点（－２，９）を 通る
円の 方程式が
二つ
出てきたでしょ
だから
今回の 問題も
二つ 位 出て来ても よさそうなのに
ただ一つしかない
って言ってるんですよ
？？
これは
通過点 aの 値に 対して
一つしかないように
こう取るとですね
まず
中心の座標を
α 、 β とすると
ｘ 軸に 接してる 円なので
二つある 通過点の 内の
一つ
（0、1） からして
x軸の 上の方に できる円
半径は 絶対値β
50
通過点を
円の 方程式に 代入して
βが出て来て
51
βを ➀式に 代入して
52
さらに もう一点
（４、a） を 代入して
この
α（あるふぁ） の 2次方程式で
α（あるふぁ） は 円の中心の ｘ座標
これが
53
ただ 一つだけ 実数解を
持つように
するには
判別式 D=0
重解
54
aが 1でないとき
a＝０ または 虚数解
なので
一つの実数解 を 持つためには
a＝０
55
だから
円の 方程式に
点（４、a） の aのところを
a＝０ を代入して
点（４，０）と β を 円の方程式に
代入すると
56
α ＝４
β＝17/2
57
円の方程式は
これ
と もう一つ
58
a=1の時
α＝２ β＝5/2
59
aの値に対して
円は 一つだけ できるが
aは 2通り あり
答えは aの値に対して
ただ一つに きまる 円が 2つある。
お疲れ様です。
（ 晴れ部屋へ 家庭菜園と ざっかや
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