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2020年11月08日
08014 大人のさび落とし 図形と方程式 2直線を表す方程式
図形と 方程式 2直線を表す方程式
01
ｘとｙに 関する 2次方程式が
2直線を 表してる
としたら
その条件は
ｆ（ｘ、ｙ）＝０が
因数分解できるか
こんな 感じに
02
または
因数分解が スラっとできないときに
解の公式で
因数分解 しようとする時
解の公式の √のなか
判別式に 当たるところが
完全平方式 に 成る
（ そのために 2重に 判別式を 計算して ＝０）
03
それを 踏まえまして
行ってみましょう
04
2直線を 表すように aの値を
定め この2直線と
ｘ軸で 囲まれた図形の
面積を 求めよ
なので
まず
因数分解は すぐできないので
ｙの 2次方程式に見て
05
解の公式で
力ずくで
因数分解
この時の √のなかが
元の式の 判別式
なんですけど
06
これを
もう一回 判別式で
D=0 を 求めると
判別式の 2次関数が
完全平方になる 様に
aの値を 調べられるので
07
重解に なる様に
見てくでしょ
08
そうすると
09
aが √3のとき
判別式＝０で
完全平方式になるはず
10
解の公式まで
もどって
a=√３を 代入すると
11
いけそうでしょ
12
解が ２つ 出て来ましたよ
13
こういう ことだから
これを 直線の方程式
一般形に 直すと
14
傾きのわかる形に直すと
15
与式のほうは
こんな感じに 成ってですよ
16
展開して 検算すると
なるでしょ
17
なので
これは 2直線を 表していて
18
➀②の直線の 交点は
19
➀②が それぞれ
ｘ軸と交わるところは
20
求める三角形の面積は
21
では
さっそく 類題
行ってみましょう
因数分解して
2直線であることを
証明し
さらに その 2直線と
７ｘ+２ｙ+2＝０ とに よって
囲まれた 図形の
面積を 求めよ
22
すぐは 因数分解できそうにないので
ｘの2次関数とみて
整理して
判別式
23
そうしたらば
この判別式が
完全平方に
なるので
24
元の ｘ の 2次関数とみたところが
解の公式によってですよ
こんな感じに書けて
25
xは 答えが 2つ
26
つまり
こんな形にかけるよ
27
出てきた 2直線と
与えられた もう一本にの
直線を
見るでしょ
28
こうだからさ
29
角々
の交点を もとめて
30
順次さ
31
こんな
32
感じに
ーーーーー33,34 は 差し替えで
ーーーーページだけ 飛んでますが
ダイジョ ですのでーーーーーーーー
35
座標を 整理して
この三角形の面積を
求めればいい
36
ABの長さ
37
直線ABの方程式
38
点Cと 直線ABの 距離
39
ナタメ
求める面積は
これ
40
次は
2直線の方程式を
表すように
aの値を 定めよ
41
ｘの2次関数に見て
42
判別式を調べて
43
さらに この判別式の判別式が
D=0 になる様に
設定すると
44
aは -7または-2
45
ホントに あってるか
見ていくと
解の公式の
aの所に
-7と -2を
代入してみるんですが
46
-7
の時
47
こんな 感じに
解が出て
48
因数分解で来て
49
a=-2の時
50
こんな感じに
解が出て
51
因数分解で来て
52
ここから
展開してみると
53
計算ちゅうです
54
なるでしょ
だいじょうぶだ
55
次の式が
2直線を 表すことを
証明し
直交するときの aの 値を
求めよ
56
今回は
展開して
整理して
因数分解できたので
こんな感じの 2直線で
57
直交条件は
これです
お疲れ様です。
（ 晴れ部屋へ 家庭菜園と ざっかや
メニュウ ページ リターン ）
2020年11月06日
大人のさび落とし 08013 図形と方程式 定点を通る直線群
大人のさび落とし
図形と方程式 定点を 通る 直線群
01
今回は
直線の 交点 という風にも
とれますが
その交点に関して
2直線の交点を 通る 直線群の
方程式
問題を 読んでいただいて
02
こんな公式があるんですが
ｋを 任意の実数とする時
2直線の
交点を 通る
直線群
赤鉛筆のところ
ホントは
くまなく 赤くなりますが
イメージとしてですね
03
（１）は
2直線の交点と 原点を 通る
直線の方程式を
求めよなので
公式で
2直線の 交点を 通る
直線群の 方程式をもとめ
この 直線群の中から
原点を 通るものを
求める
つまり
この直線群の中から
原点を 通る 時の
実数値 ｋ を 求めて
ｋを 直線群の 方程式に
代入すると
直線の 交点を 通る
直線群の中から
原点を 通るものが出てくると
04
で
X=0 Y=0 を 代入して
ｋ を 求めたところ
ｋ＝－５
これを
直線群の 方程式に 代入すると
05
２ｘ+ｙ＝０
一般形
みなれたかたちにすれば
ｙ＝－２ｘ
06
(2)は
直線➀と 直線②が
ソレゾレ
定点を 通ることを
しめせ
また
➀②が 直交する
aの値を 求めよ
定点を 通るときの 公式は
赤鉛筆のところ
07
定点を 通るならば
ｆ（ｘ、ｙ）＋ ｋ ｇ（ｘ、ｙ） の形に
変形でき
その時の 定点は ｆ（ｘ、ｙ）＝０
と ｇ（ｘ、ｙ）＝０ の
交点になるので
08
➀から
一般形に なおして
変化する aで くくって
09
ｆ（ｘ、ｙ） ｇ（ｘ、ｙ） を
こんな感じに 考えると
交点は （－１，０）
10
で
②のほうへ
11
展開して
整理して
さっきと 同じ要領で
この
出てきた 2本の 直線の 方程式の
交点が 定点になる
12
yは
13
ｘは
それで
定点は
14
➀②の 直線が
直交するとき
aの値を
求めよ
➀②の直線を
それぞれ
傾きの 分かる形にして
➀は そのままでオッケイ
②を 傾きの 分かる形にして
15
直交してるならば
傾きを 掛け合わせると
-1であるから
とうごうの 左右を
たすきにかけて
16
aは これ
17
2直線があってですよ
その交点を 通り
ｙ＝ｘに 平行な 直線と
ｙ＝ｘに 垂直な 直線の
方程式を 求めよ
今までは
直線の 交点を もとめて
傾きと 交点から
今回は
2直線の 交点を 通る
直線群の方程式を 作り
18
展開して
整理して
19
直線群の方程式のまま
傾きの 分かる形にして
20
この 直線群の中から
傾きが
ｙ＝ｘ と 同じ時
１ （平行 ）
それに対して
（垂直な ）－１の時
の
実数ｋの値を
求め
ソレゾレ
直線群の 方程式に
平行の時
垂直の時の
ｋ の値を
代入したらば
求める 直線の 方程式だけが
直線群の 中から出てくると
21
まず ｙ＝ｘ と 平行時
傾きは 1だから
22
ｋ＝－7/2
23
これを
直線群の方程式に代入して
ｘ－ｙ＝３
24
垂直な時は
傾きが
ｙ＝ｘに対して 垂直だから
－１
25
ｋ＝１/4
26
直線群の方程式に代入して
求める直線が
出て来ました
ｘ+ｙ＝３
27
問題を
読んでいただいて
28
直線の方程式を
傾きのわかる形から
一般形に なおして
2直線の交点を通る
直線群の方程式にして
29
これうまくいくんかな～
なとき
研究は 答えを 知らないので
神様に 聞かないと だめですが
問題は 作者がいるので
解けるように できている
だから
問題を すらすら解けても
研究活動となると
そうは問屋が卸さず
研究には お金と時間
が
かかるんです
30
展開して
整理して
傾きのわかる形にして
これがさ
aになるんだから
31
ｋ＝１
32
これを
このkをですよ
直線群の方程式に
代入すればいいじゃナイスカ
これです
え かっこ２を 忘れてる
？
あ やい切片が 1だから
傾きが 変わっても
ｙせっぺんが １
ここが 定点
33
次は
問題文を
読んでいただいて
34
作図してきますとですよ
で
座標を 設定シテ
じゃナイスカ
35
条件も 確認して
一周が ２ｋ
で 一定
まず 直線ABの方程式の
傾き
それに 垂直な傾きだから
36
そして
点P（a,b）を 通るんだから
で
出てきた 直線が
定点を 通ることを
示すわけで
条件を 使って
37
式を 平らにして
条件を
代入すると
38
ここから
定点を 通るを いうためには
ｆ（ｘ、ｙ）+ｋ ｇ（ｘ、ｙ）＝０ の形にできれば
ｆ（ｘ、ｙ）＝０と
ｇ（ｘ、ｙ）＝０の
交点が 定点になるので
K は 定数
aは 領域のある 変数
39
公式の形に
持ち込んで
40
ここを
通ります
お疲れ様です。
（ 晴れ部屋へ 家庭菜園と ざっかや
メニュウ ページ リターン ）
2020年11月04日
08012 大人のさび落とし 図形と方程式 点と直線の距離 （容量増量申請中）
大人のさび落とし
図形と方程式 点と直線の距離
ファンブログ の スタッフの方に
メモリ 増量 していただきました
ありがとうございます。
01
点と直線の 距離は
公式を 知っていれば
はやいです
こんな感じなんですが
02
なので
例題の 点 と 直線の方程式で
見ていくと
こんな感じに 代入していけば
03
計算していってですね
04
こうでか
05
ところが
同じ問題で
点と 直線の距離の
公式が分からなかったり
忘れてしまった場合は
点は 分かってるので
与えられた 直線に 垂直な 直線の
傾きを 求めて
点と 傾きから
与えられた 直線と
垂直な 与えられた 点を 通る
直線の 方程式をもとめ
この2本の 直線の 交点と
始めに 与えれられた
点との
2点間の 距離で
求める 方法で
おこなうことになるですね
与えられた 直線を
傾きの 分かる形に 変形して
06
垂直な 傾きを
掛け合わせると －１ になるので
求める 傾きを ｍ とでもすれば
07
で 与えられた 点を 通り
傾きも 分かったから
垂直な 直線の 方程式が出て来て
08
このままでもいいんだけれど
一般形に 置き換えて
2直線の 連立方程式に してですよ
09
この 解が
直線の 交点で
10
ｘも 求めて
11
今も求めた 交点が
赤いとこだから
この 交点と 与えられた 点 の
二点間の距離を
公式で 計算すれば
点と直線との 距離になる
12
後は
計算
13
計算だ ヨン
14
類題
まず
点が 直線の 外に 在ってですよ
15
点と 直線の 距離の公式を
使わないときは
さっきみたいに
直線に 垂直な 傾き
16
点と 傾きから
垂直な 直線の 方程式
17
方程式を
一般形にして
連立して
18
交点を 求めていくと
19
ｙ＝
20
ｘ＝
出てきた
ｘ、ｙ と 与えられた 点との
二点間の距離を
計算して
21
計算して ニ
22
点と 直線 との
距離の 公式を 知っていれば
コレダからさ
23
当てはめてくと
こんな感じ
速いでしょ
24
次は
応用問題
問題を 読んで いただいて
25
これは
座標が 設定されてるので
底辺の 直線の 方程式を
求めて
まず 傾きから
26
通る点と 傾きで
直線の 方程式
27
一般形に 変形して
点と 直線 との 距離の
公式で
28
AP を 求めて
まずこれで （１）
29
三角形の 面積だから
高さがでれば
後 底辺の 長さを 知りたい
座標が設定されてるので
2点間の 距離の公式から
30
これで
計算すればさ
31
34だよ
32
次は
問題を 読んでいただいて
要するに
OA と OB が 直角になってるのであれば
（１）
この三角形の 面積は
どう表せるか （１） の 条件とは 別に
（２）
33
まず 直線の 方程式を
2本
OA
OB と求めていくんですが
34
OA から
計算練習のつもりで
（０，０）を 代入した方が
速いよね
35
OB の方も
36
2本直線の方程式が
出てきたところで
37
直線の 方程式
一般形の時は
これが 垂直条件だから
∠ AOB ＝ ∠R ならば⇒
と言ってますから
この 一般形の
垂直条件に 当てはめると
なりましたよ
38
面積の方は
三角形の 面積を
考えるのに
絶対値 が ついてる
これはさ
点と 直線との 距離の
公式が
溶け込んでるって感じだから
39
底辺か 高さに
この 公式を
とりいれるとしたら
高さの 方だから
高さ AD 底辺 OB として
40
この 二つの公式を
うまく使うと
41
まず 底辺の OB の
直線の方程式は
傾き
原点を 通ってる
42
一般形にして
整えて
点と 直線との 距離の
公式に 代入すると
文字だから
こんな感じ
43
底辺も 2点間の距離の公式で
求めて
44
面積は
こうだから
これを
計算すると
絶対値が ついた
こんな感じ
45
2直線が 平行だったら
距離は どうれくらい
直線の 方程式は これ
46
これなんか
期末試験に
出そうだよね
お疲れ様です
（ 晴れ部屋へ 家庭菜園と ざっかや
メニュウ ページ リターン ）
2020年10月29日
08011 大人のさび落とし 図形と方程式 ３直線が1点で交わる問題
３直線が1点で交わる問題
01
大人のさび落とし
図形と方程式から
3直線が 1点で 交わる問題
まず 三角形の 外心 の問題
02
三角形の
3本の 垂直二等分線が
一点で 交わるですが
証明するのに
座標を 使うと便利で
三角形の 底辺を ｘ軸
底辺の 垂直2等分線を
ｙ軸 にとって 考えると
03
今回は 底辺 の 垂直2等分線が
ｙ軸に 設定 されてるため
残りの 2本
DD' EE'
が それぞれ ｙ軸と交わる点が
一致していれば
04
この 二つの 交点が 一致していれば
良いから
直線を 方程式にして
実数解を求め
05
三角形の
頂点の座標から 設定していくと
こんな感じに 文字を 使って
じゃナイスカ
で 直線の 方程式
を求めたいので
傾きと 通る点 を はっきりさせたい
垂直二等分線だから
辺ABの 中点と
辺ABの傾きに 垂直な 傾きを
知りたい
06
中点の座標と
辺ABの傾き
その 傾きに 求める 直線の
傾きを 掛け合わせると
－１ になるのだから
ねー
07
一本目の 垂直二等分線
辺AB のは ですね
08
DD' とすれば
09
これが 辺AB の 垂直二等分線の
方程式じゃナイスカ
これが
辺BC の 垂直二等分線と
交わる点は
辺BC の 垂直二等分線は
ｙ軸に なる様に
設定したのだから
簡単でしょ
X=0 を 代入すればいいんだから
ん？
だからさ
ｙ軸っていう
直線は ｘ＝０ だからさ
10
文字の 入った式で出てくるけど
辺ABの垂直二等分線と
辺BCの垂直に等分線（ｙ軸 ）
の交点は
これ
11
同じ風に
辺ACの 垂直二等分線の
方程式を 求めるにさ
辺ACの 中点を だして
12
辺AC の 傾きをだして
求める 垂直二等分線の
傾きをｍ’として
掛け合わせると
－１になるんだから
13
辺ACの 垂直二等分線の
方程式を 求めてくと
14
こんな感じで
EE' とでもすれば
15
辺AC の 垂直二等分線と
辺BC の 垂直二等分線(ｙ軸）
の 交点は
16
こんな感じなんですが
これは さっきの
辺ABの垂直二等分線
と 辺BCの垂直二等分線 の
交点と
一致しているので
辺ABの垂直二等分線
辺BCの垂直二等分線
辺ACの垂直二等分線
は 一点で 交わる
これは
各 頂点から
等距離に ある 点を
直線にしたものなので
この 交点から
三角形の 頂点までを
半径とする 円を 描くと
三角形の 外心 になっている
17
これは
３０年以上前に
某国立大の入試に出たそうで
今回は 座標が 指定されているので
全部 計算 しなくてはなりません
こういう問題の時は
ちゃんと 朝ご飯を 食べてないと
やばいんだよ
18
今回は
座標が 決まってるので
3本の 垂直二等分線を
求めて
それから
2本づつ 交点を出して
一致すれば
3点が 一点で 交わっていると
19
実際に
座表に プロットすると
辺ABは x軸 になってるので
ｘ軸の 方程式は ｙ＝０
だから 垂直二等分線は
直感的に 座標の値から
ｘ＝２
なんだけど
20
この当たり前に 使ってるとこを
一応 証明しとかないと
まずいので
直線の直交条件 一般形から
これで
一本目 の
垂直二等分線
21
こんな感じで
22
この 垂直二等分線は
ｘ＝２ だから
連立方程式に
うまく 使わない手は ないでしょ
（ 日本語 大丈夫かな ）
最近 現国が 苦手だっただけに
日本語が 不安になることがあり
いるくおきな チョメチョメ
それは 違うんじゃ ないんじゃ
ナイんじゃ ないんじゃ
ないんですか とかさ
んー こそくな
あったじゃナイスカ
無かった？
もとい」
だから
こんな感じに
連立を 考えてさ
23
やってくことは
さっきと同じなんだけどさ
昔の人は
こういうのを
コツコツ 問題を 解いて
24
傾きを 求めるには
どうすればいいカナ
通過点は どうすればいいカナ
で 直線の方程式だから
25
垂直二等分線の方程式だから
辺の中点
26
辺に対する 直角な 傾き
27
これで 2本目
三本も
28
辺の中点
と 辺の傾きに対する
直角な 傾き
29
これを 計算して
30
これで
出そろったかな
31
整理して
3本の 垂直二等分線
の方程式
➀②③は
32
➀② と ➀③を
連立にしたら
楽だから
➀②の交点は
こんなで
33
➀③の 交点は
こんなで
一致したから
三角形の3本の 垂直二等分線は
一点で 交わっている
34
次は
中線も 行ってみましょう
中線と言うのは じゃナイスカ
この場合は
ここが 一点で交わればいいから
35
中線の 方程式に
後 必要な部品は
各頂点の 対辺の 中点だから
36
頂点と
37
一本づつ
中線を 求めてきますと
38
中点
と
傾きから
39
Aからの 中線の方程式は
40
こんな感じで
B からの 中線も
41
同様に
頂点の 対辺の 中点
頂点から 対辺の 傾き
42
Bからの 中線の方程式は
こんな感じ
43
最後に もう一本
頂角に対する
対辺の 中点を 求めて
44
頂点から 対辺の中点への
傾きを調べて
通過点と 傾きがあれば
直線の 方程式
45
こんな感じで
3本 中線が出たところで
46
中線の 組み合わせを してですよ
あ 理論に 基づいて
実験を するんですが
製品化するには
とても大変で
だってそうでしょ
たとえば
重心を 実証するには
均一な 紙に
均一な 線を引いて
切り出していく
均一だから
重心は 真ん中
その 真ん中の 集まりが
中線
理論は 簡単でも
自際にやるとなると
精度とか 誤差とか
イマハ 優れた 機械が
沢山あるので
資金があれば
複雑な 問題に関しても
実験して
実際は どれくらい 誤差が出るか
製品化 できるか
とか
・・・・・
もとい
47
工作機械は 大切だじゃなくてさ
大切なんだけど
もとい もとい
組み合わせで
中線同士の 交点を 求めてくと
48
ｙ＝２
49
ｘ＝ 4/3
50
もう一組も
Y＝２
51
ｘ＝4/3
52
よって
三角形の3本の中線は
一点で 交わる (重心）
53
最後は
3頂点から
対辺ん 下した
垂線が
3本とも 一点で 交わることを
証明せよ
Cを 頂点にすると
垂線が ｙ軸になるので
この方程式は ｘ＝０
一本もうけ
54
今度は Aからの 垂線
傾きは （１）の 垂直二等分線
と同じだけど
一応 こんな感じに
55
直線の方程式を
求めると
56
二本目
57
同様に
58
3本目も
59
出そろったとこで
➀② ➀③
で 組んだら
速いから
60
➀②は
61
➀③は
62
➀②と ➀③が
一致したので
三角形の各頂点から 対辺に
おろした 垂線は 一点で 交わる
で 本日のラスト
63
題意から
図を 起してくると
こんな感じでいいかな
64
座標を
入れていって
QSの 中点を 求め
65
OMと AB の 直線の方程式の
傾きを 求めると
OM の方程式
66
ABの方は
傾きだけ
求めたところで
傾き どうしを 掛け合わせると
－１
だから 直角
67
OM の直線の 方程式は
求まってるので
後2本
OM AR BP これが
一点で
交わることを
証明するには
まず ３本とも
直線の方程式を
だしておいて
68
ARは これ
69
BPは
70
こんなだから
これらを
➀②と➀③ 交点を それぞれ
求めて
71
文字だけれども
72
計算の仕方は
同じなんだから
73
ｘ、ｙは こんな感じ
74
➀③の方の 交点も
75
なんか よさそうだな
76
おー
あってる
77
ほっと一息
78
なのでした。
お疲れ様です。
（ 晴れ部屋へ 家庭菜園と ざっかや
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2020年10月16日
08010 大人のさび落とし 図形と方程式 直線の位置関係
01
図形と方程式から
直線の位置関係
次の 3直線が
3角形を作らない 様にするには
ｍ を どのような 値に
すればよいか
02
考えられるんは
２ パターン
A ➀②③ 直線が 一点で
交わるとき
B ➀②③のうち 少なくとも
2直線が 平行 または 重なるとき
03
3点が 一点で交わるときに
交点を 出すには
2直線の 交点を だして
その 交点を ３本目に
代入すればよいから
04
➀② の 交点を 求めてくでしょ
分母の条件
を 忘れずに
05
2直線の 交点（ｘ、ｙ）
が 求まったとこで
06
③の直線に 代入して
07
ｍを 求めると
08
2つ 出て来ました
09
今度は
3直線のうち 少なくとも 2直線が
平行 もしくは 重なるとき
これでは 分かりずらいので
10
傾きを 分かる形に
書き換えて
11
連立していくと
12
こちらも 2つ 出て来て
13
整理して
14
3直線に 平行の時の
ｍ を
2通り 代入してみると
少なくとも 2直線が 平行
重なることはない
答えは
A 、 B 2パターンを
合わせて これ
15
今度は
今の 逆で
３直線が 3角形を 作るときの
ｍ の 値を 求めよ
3直線を 作ってしまう 値の方が
圧倒的に 多い為
三角形を 作らない 条件を
さっき同様 求めて
どちらにしても
この手の問題の時は
三角形を 作らない 場合を
始めに 求めて
今回は それ以外 の a
16
3交点を 求めるべく
➀②の 交点を出して
17
➀②の交点を③に代入したらば
a＝２
これは
三角形を 作らないときなので
今回は a ﾉｯﾄ いこーる ２
18
これだけでは 不十分なので
少なくとも
2直線が 平行 または 重なるとき
三角形を 作らない の
ｍ を 求めると
19
➀②③3直線の傾きから
a ＝ ぷらすまいなす １のとき
三角形を 作らない
ナタメ
先ほどの a ノット いこーる ２
と合わせて
a ノット イコール
ぷらすまいなす １
20
数直線で書くと こんな感じで
答え
21
問題を 読んでいただいて
22
まず 3直線が 交わるから
➀②の 交点を 求め
その交点を
③に 代入すると
23
交点が 出たから
24
（a,b)を 代入して
関係式
25
次ぎに また
（２，５） （３，４） （a,b）
が 一直線上に あることを
証明せよ
まず 2点を 通る 直線の方程式を
求めて
一直線上に (a,b)があるためには
代入して
成り立てばいいので
まず 直線の 方程式
26
出たでしょ
27
a、ｂ を 代入すれば いいのだけれど
a,bの 値が 分からないので
はたして 合っているのか
28
その時
先ほどの aとbの 関係式から
a+b＝７ であるので
３点は 一直線上 にある
尚 aは ２ 出はない
aは ３ 出はない
（ ３点 は 一直線上にある ）
29
問題を 読んでいただいて
30
直交条件
直線の 方程式
一般形の時
こんなだったから
➀②は 直交している
31
一般形の やり方を
忘れたとしても
傾きの 分かる形にしていおいて
32
傾きを かけ合わせれば －１
なので
➀②は 直交している
33
②③はの交点は
定直線上に あることを
証明せよ
まず
➀②の 交点を 求めると
34
掛けて ゼロ
aの方は
35
式変形して
これなんて言ったっけ
平方完成を 使うでしょ
そうしたら
36
実数の 二乗は ０以上
これは
非常に よく使いますが
ナタメ
全体で
常に正
なので
ｘ＝０
yは a+1
aは 任意の実数値なので
この 交点の座標の 集合は
ｙ軸になっている
37
だからにして
お疲れ様です。
（ 晴れ部屋へ 家庭菜園と ざっかや
メニュウ ページ リターン ）
2020年10月13日
大人のさび落とし 08009 2直線 の 位置関係
01
2直線の 位置関係に関しまして
平行 、一致、 垂直に
なる様に aの値を さだめよ
02
傾きが 一目で 分かる形と
一般形 と
表現がありますが
条件を 満たすためには
次の 約束事があって
03
今回は 一般形で
来てますので
平行条件 を 当てはめると
04
まず 分数の 分母は
0 ではない決まりなので
外の ではない を 求めて
05
イコールからは
aの 2次方程式
因数分解
解が 2または －1
では ナイ 条件と 照らし合わせて
a＝－１
06
一致するときは
a＝２
07
a＝２
08
a＝ 2または －１
ところで
＝－１ の時は
平行なので
除外して
一致するときは a＝２
09
垂直の時は
公式に 当てはめると
10
a＝ 0または ー3
a＝０ の時は
x軸 ｙ軸 に それぞれ
平行な 直線の交わりになるので
垂直
11
一応 平行時 一致時
どんな感じに 成るか調べてみますと
平行の時は
➀ ②
の式に 平行に なるときの
aの値 ＝-1
を 代入して
傾きの 分かる形に すると
12
一致時 も
一致する条件 a＝２を
➀ ② 式に 代入して
傾きが 分かる形にすると
13
さっきの
垂直時も
垂直の条件
a＝０ または －３ を
代入して
➀ ② を 傾きの
分かる形 にすると
a＝０ の時は
14
a＝－３の時は
15
類題 行ってみましょう
（るいだい）
お昼は ラーメン 大学 とかもど
平行条件
16
確認のため
傾きが 分かる形にして
傾きを
照らし合わせると
オッケイですよ
17
垂直条件
公式に 代入して
a＝－６
18
試しに
調べてみますと
傾きの 分かる形に
変形して
傾きを 掛け合わせると
＝－１
オッケイですよ
19
見ずらいと思いますが
おまけで
グラフも
赤四角は
➀比較する直線
黒四角は
②平行な直線、 ②垂直な直線
20
類題
21
３本とも 一般形にして
22
平行条件から
23
一つ目
条件を 探り出して
24
二つ目
条件を 探り出して
25
連立方程式を
解いたらば
a＝ 4/3
よさそうだ
26
ｂ＝8/9
27
確認を してきますと
比較する 直線の
傾きのわかる形
傾きは -3/2
28
➀ の 直線に a，ｂ を 代入して
一般形から
傾きのわかる形に
29
そうすると
傾きは-3/2
で 同じ
30
② の 直線に a，ｂ を 代入して
一般形から
傾きのわかる形に
31
そうすると
傾きは -3/2 で 同じ
32
なので
（１） の 確認でした
33
（２） はい直線が 一致するには
34
条件を
探ってきて
35
もう一つ
36
出そろったとこで
整理して
37
ｂの ３次方程式を 解くと
因数定理で
値を 代入して
＝０ になれば 解に持つ
38
1 が ありそう
39
係数を 分離して
組立除法で
40
後は 因数分解
41
ｂ＝１または －１/２
42
aの 値も 出て来て
43
今度は
これは 何かな
問題を 読んでいただいて
44
平行だったら
交わらないので
連立方程式は
解を 持たない
（ 同時に 満たすことは ナイ）
45
一般形に なおして
46
平行条件
47
条件を 探っていって
48
条件を 探っていって
49
条件を満たすための
連立方程式をといて
解を 吟味 すると
50
a＝１
51
次は
頭を 柔らかくして
柔軟に 行ってみましょう
直線 ｙ＝ｘ－１ に関して
点（a,b)
と
対称な 点（ α 、 β ）
を 求めよ
点（a,b)
が 直線 ｙ＝ ２ｘ + １
上を 動くとき
点（ α 、 β ）は
どんな 線上を 動くか
52
位置関係は
こんな感じ
そこで
点（a,b)を A
点（ α 、 β ）をB として
AB の 中点を 求めると
直線 ｙ＝ｘ-1 上にあるはず
53
直線 AB の 傾きと
ｙ＝ｘ－１ の 傾きは
掛け合わせれば ＝１ になるはず
54
AB の 中点
を求めて
ｙ＝ｘ－１ に代入して
a,b,α,β
の式にして
55
傾きから
a,b,α,βの式にして
56
求める α,βに対してa,bは
与えられた 値なので
α,βをa,b で 表すと
57
計算してって
58
こんな感じ
これが
点（ α 、 β ）
59
点（a,b)
が 直線 ｙ＝ ２ｘ + １
上を 動くとき
点（ α 、 β ）は
どんな 線上を 動くか
α 、 βを a, b で 表して
a, b が動いたときの α 、 β
60
α 、 β を a, b で表し
b=2a+1 に代入し
α 、 β の 関係は
ｘ－２ｙ＝４
お疲れ様です。
（ 晴れ部屋へ 家庭菜園と ざっかや
メニュウ ページ リターン ）
2020年10月09日
大人のさび落とし 08008 直線の方程式 (図形と 方程式）
直線の方程式
01
読んでいただいて
まず 2問
あるんですが
3点が 一直線上にある
そのうちの一点が
ｘ座標が 不明なので
求めてね
というものと
2点 がある
その 2点を 通る 直線に
垂直で 点 C（２，３） を 通る
直線の 方程式を 求めよ
02
まず （１） から
3点が 一直線上 に あって
完全に 分かってる 2点から
傾きを だして
その 1点と 傾きから
直線の 方程式を 求めると
03
公式に 代入して
04
直線の 方程式は こうだと
で
その直線状に もう一つの 点も
あるのだから
代入しても 成り立つ
a＝４
05
（２）は
まず 元になる 直線の方程式
2点が 分かってれば
傾き を 求め
そのうちの どちらか 1点と 傾きで
直線の方程式
ところで
今回は A、Bが ｘ軸 ｙ軸 上にあり
両切片を 持つ 直線の 方程式だから
もう一つの アプローチで
06
これを 見慣れてる形に
変形すれば
07
で 傾きが 分かる方を使って
垂直な 傾きは
傾きを 掛け合わせると マイナス１なので
08
傾き 3/2
で C （２，３） を 通るんであれば
09
こんな感じで
10
次は 元の 直線があって
点（１，２） を通り
平行な直線と
垂直な直線の 方程式を 求めよ
ｙ＝ にして 傾きを 求めておいて
11
傾きがでれば
通る点を 持ってきて
12
こんな感じで
13
垂直の 時の 傾きも
求めてあったから
公式に 代入して
こんな感じに
14
だから
15
検算してみますと
➀②で 平行
③④で 垂直
なるでしょ
16
次は
三点があって
添え字で 書いてあります
これが
一直線上にあるとき
次の 等式が 成り立つことを
証明せよ
これはさ
1回 やって おけばさ
17
ここで ちょっと 休んじゃったもんで
ダブってますが
18
三点の 内 端から 2点使って
傾きでしょ
分母は 0 ではこまるので
ｘ１ と x２ は
等しくない と書いておいて
直線の 方程式
傾きと １点から
19
平らにして
左辺に 集めて
これは 直線の方程式になっている
残りの（ ｘ３、ｙ３ ）
も この直線状の 点であるから
代入しても 成り立つ
そこで
ｘ＝ｘ３ 、 ｙ＝ｙ３ を 代入して
20
展開して
整理したらば
なったでしょ
21
ここで
もう一つ 詰めが必要で
ｘ１＝ｘ２の時
は この直線は ｙ 軸に 平行な直線になる
この直線状に （ｘ３、ｙ３） があるときは
これも 含まれる
22
次は
問題を 読んでいただけますか
23
まず 傾きが 分かる形の
変形して
24
（１）
25
（２）
26
（３）
27
（４）
28
次は
点（１，４） を 通る 直線が
x軸 ｙ軸の 正の 部分と 交わる点を
ソレゾレ A、B とする時
三角形 OABの 面積が ９の時の
直線の方程式を 求めよ
正し Oは 座標の原点とする
29
休み休み やってたら また
ダブってしまって
30
この直線は
ｘ軸 ｙ軸 の 正の部分と交わるので
傾きが マイナス
傾きを ｍ とすれば
ｍ＜０
一点（１，４） を 通るから
１点と 傾き で
直線の方程式を 求めて
31
三角形の 面積だから
32
ｘ軸 ｙ軸との 交点の 座標を
求めて
33
この 三角形の 面積が 9になるときだから
34
これで 計算すると 傾きｍが
2つでて来て
ｍ＜０ だから どっちも よさそう
35
この直線は 点（１，４） を
通り 傾き ｍ＝-2 または ｍ＝－8
だから
公式から
この2本
36
別の やり方も あるので
三角形を 形成する
直線が
両切片を 持つ 直線で できてるので
37
A(a、０） B（０、ｂ） とおくと
a>0 , b>0
で 両切片の直線の方程式の
公式に 点（１，４） を代入して
38
こんな感じにして
それと 三角形の 面積が ９
を 使って
39
この式から a,b
を 求めると 直線の
方程式になっていると
40
計算してくでしょ
41
a が 二つ 出て来て
a>0だから
よさそうだと
42
ｂも 二つ出て来て
43
さっきと 見た目は 違うけど
2本出て来ました
44
見た目は 違うけど
答えは 同じ
45
だから
変形したら
同じに ならないと
やばいんだよ
46
やってみるとさ
なるでしょ
お疲れ様です。
（ 晴れ部屋へ 家庭菜園と ざっかや
メニュウ ページ リターン ）
2020年10月07日
大人のさび落とし 08007 直線の方程式 その他 （図形と方程式 ）
今回は ほぼ 説明だけ
図形と方程式
01
まず 直線
ｙ軸に 平行な 直線は
どんな式
02
ｘ 軸に 平行な直線は どんな式
03
直線で
傾きと ｙ切片が 分かってるときは
04
一点 と 傾きが分かってるときは
05
2点が 分かってるときは
06
傾きが分かれば
一点と 傾き の時と同じだから
どちらか 1点と 傾きを使って
07
両 切片が 与えられた時の
直線の方程式は
08
傾きを 求めて
どちらか 1点を使えば
なるよね
09
もう一方の 点と 傾きを
使っても
チャンと同じだよね
10
直線の方程式の
一般形は こんな感じで
2直線の 平行条件
２直線の 一致条件は
式の かきかたで
こんな感じに
11
２直線の 垂直条件は
こんなです
12
次の 直線の 方程式は
中かこ に 成ってる 連立の
２直線の 交点を 通る 直線
13
これは よく テストに 出るやつですが
点と 直線の 距離
14
さっきの
２直線の 交点を 通る 直線の
方程式の 証明
15
数学では ０ ゼロ という数は
強い存在
16
点 と 直線の 距離の 証明
17
この あかい とこの 距離なんですが
18
直線の 方程式 から 傾きをだすでしょ
これに 垂直な 直線の 傾きは
19
一点と 傾きで
最初の 直線に 点Pを 通り
垂直な 直線の方程式が出て来ました
20
この ２本の 直線を
連立して
ｘ、ｙ を 求めると
それは ２直線の 交点であるので
21
２直線の 交点を Q(x,ｙ） とすれば
点P（ｘ１、 ｙ１）
の距離は ２点間の 距離の公式から
22
そこで
➀式を 少し変形して
③式にするでしょ
23
何を やろうとしてるかと言うと
２点間の 距離の 公式の
中身を
外の 文字で 表そうとしている
24
こんな感じで
ｘ－ｘ１ は
25
こんな感じに
26
ｙ－ｙ１ は
27
計算してって
28
こんな感じに
29
これを
２点間の距離の 公式に
当てはめていくと
30
こんな感じで
31
置き換えたとこを
元に 戻し
直線の方程式は
√ を 外したときに
ルートの 中身は 正の約束なので
絶対値を 付けておく
だから √の 中身が だから
（aーｂ）の 二乗に
ルートが付いていたとしたら
安易に （a-b) 出はなくて
絶対値 a-b
で a＞＝b の時 a-b
a＜＝ｂの時 b-a
平方根は ときかれたら ぷらすまいなす
√は ときかれたら 正の値だけ
32
整理して こんな感じ
33
円の 方程式
34
これは どこかで
出るかもしれないけど
傾きは タンジェント だから
というお話
35
加法定理で
タンジェントが こんななので
それに 値を
代入したらば
36
２直線の 方程式から
２直線の なす角 シータ の
タンジェントが 求まる
37
三角関数の 加法定理
これは そこかしこに 出て来ますが
38
タンジェントの 証明は
39
久しぶりに やったら
かなり錆びてて
なかなか 動かなくて
40
こんなだったかな
41
あー これでいいんだ
42
マイナスもですよ
43
こんな感じに
44
さっきまでは
動かなかったんですが
45
少し 油をさしたところ
46
悪い癖は
ここで
休んでしまう
皆さま 三角関数は 悩みが 多いって
私も
ここは けっこう 残ってます
自分の 為にも 頑張らねば
脳みその ダンベル運動
かなり しわができそうですよ
（ 晴れ部屋へ 家庭菜園と ざっかや
メニュウ ページ リターン ）
2020年10月06日
大人のさび落とし 08006 座標による 図形の証明 （２）
大人のさび落とし
座標による図形の証明（２）
01
4辺形 ABCD の 4辺
AB、 BC、 CD、 DA
の 中点を
P、 Q 、R 、S
対角線 AC、 BD
の 中点を
M 、 N とする時
それら 結んで できる 線分
PR 、 QS、 MN は
同じ点で 交わり
かつ 互い似他を 2等分 することを
A,B,C,D の 座標を使って
証明せよ
02
数学は 考え方が 重要で
計算は 簡単なんだけど
考え方が 分からないと 苦労する
だから 一回 やっておけばさ
今回は こんな感じに 簡単に
添え字 付で 定義して
03
3っの線分の基となる
中点の座標を もとめ
それぞれの 線分の 中点を 求め
04
これが 一致すればいいのだから
簡単でしょ
公式もあるし
05
図は こんな感じになりそうなので
06
添え字で 考えてるから
x座標も ｙ座標も 計算結果は 同じ
ｘ、ｙ が 変わるだけ
であるから
ｘ座標で 考えて
4辺形の 4辺の 中点を
まず ｘ 座標で 求めて
07
さらに その先の
３っの線分のうち 2が ここから出るので
２つ の線分の 中点を
ｘ 座標で計算して
08
残りの 1本の線分 は 2本の 対角線の
中点を 結んだものの 中点だから
対角線の中点
M 、 Nを ｘ座標で計算
09
ｘ 座標で
対角線の 中点を 結んだ 線分
MN の 中点を 計算すると
10
こんなですよ
ｘ 座標だけ
11
添え字 設定だから
ｙ座標も 同じ
だから
ｙ座標は aのとこが bに変わるだけ
したがって
３つの線分は
1点で交わり
なおかつ
ソレゾレが 線分の中点であるから
その点で
互いに 他を 2等分している
12
次は 問題を 読んでいただいて
13
いいですか
今回は
ぱっと 図が かけないので
計算で行きますが
14
（１） A、B、C、Dは
座標が与えられていて
Rは AB CD の それぞれの
中点を 結んだ 線分の 中点であるから
まず P 、 Q を 求めるべく
15
Qも 求めて
16
PQ の中点は こうだから
これが R（ｘ、ｙ） になるのだから
17
これでいいのだ
それで
定直線の 上に あるでしょ
18
（３）
今ので
（１）（２） まで できたから
（３） だよね
図はさ
不正確 だんだね
19
作図に 頼れないな
20
この四辺形が
平行四辺形の時
とあるので
対角線 AC と BD
の 交点も
性質上
Rと一致する
21
これが Rと 一致する
22
式が 2本出て来ますが
23
➀ より
24
② よりも
a+b＝5
25
台形を えいごでいうと
trapezoid trapezium
アメリカ イギリス
不等辺四辺形 を 英語でいうと
trapezium trapezoid
アメリカ イギリス
だいけい は ですね
アメリカと イギリスで
言い方が 逆なんだって
ことばって どうして
国によって違うんだろうね
天の 御国では
何語を 話すんだろう
そのまんま
解き明かされるのかな？？？？
ことばは 誰の耳にも 聞こえる
たとえ 母国語でなくとも
ザイツゥムシュンゲン
うつつを ぬかしてましたが
問題です
読んでもらえますか
26
こんな感じで あることを
証明してよという問題
27
座標の 取り方が 決め手で
こんな感じにすると
D の座標が
D(a+b,c)になる
28
ここまで来たらば
E,F も 計算して
29
それぞれの 線分を
１：２ に 内分するとこを
見てきますと
30
順次 こんな感じで
31
DB
32
EF
33
一致しましたと
34
今度は ６角形 ABCDEF
hexagon
6辺の中点を だして
AB CD EF の中点でできる
三角形 LMN と
BC DE FA の中点でできる
三角形 PQR の
重心が 一致することを
証明せよ
35
座標設定は 添え字を 使って
36
２つの 三角形の 角に 成る
中点を それぞれ 計算したらば
37
こんな感じ
38
重心の 公式で
ソレゾレ
重心を 求めると
39
三角形LMN
はこんな点で できていて
40
三角形PQRは
こんな点で できているから
41
添え字で
やってますもんで
ｘ座標で 計算したらば
42
ｙ座標は
aと ｂを 入れ替えた形
三角形LMNの重心
43
三角形PQR の重心は
x座標
44
ｙ座標
45
重心は 同じだった
地球は まるまる だった。
（ちょめちょめ）
ize:large;">家庭菜園と ざっかや
メニュウ ページ リターン ）
2020年09月28日
大人のさび落とし 08005 座標による 図形の証明 （ 生涯学習 記憶の メンテナンス ）
（ 生涯学習 記憶の メンテナンス ）
01
図形の証明問題で
座標を 使うと うまくいくよ
というお話です
ここでは もっぱら
平面上の 2点間の 距離の公式を
使います
行ってみましょう
三角形 ABC で 辺BC の 中点を
D とする時 次の 等式が 成り立つことを
証明せよ
02
ABの二乗とか出てくるんですが
辺の 長さの 2乗ってことですよね
そこで
ABの ながさ 点A と 点B の 距離を
計算する 公式が
ルートが付いてるから
ABの 2乗の時は ルートを
はずせばさ
03
問題を 考えていく時
座標軸の 設定で
少し 簡単になることがあるので
04
今回は
辺BC を x軸に 設定し
その 中点 D を 原点に
持ってくると
05
与えられてる 等式の
左辺は AB と AC の
二乗だから
まず AB から
点A と 点B の距離 を出して
これが AB
二乗して
AB二乗 だから ルートがはずれて
06
AC の方も
2点間 の距離で
考えて
AC の 二乗だから
ルートを 外して
07
今度は 右辺
AD
08
BD
09
部品ができたとこで
左辺は
計算してくと
こんなですか
10
右辺は
こんなで
左辺=右辺
三角形の 中線定理だって
ケダム、 セオレム、 レマーク 、プロブレム
このなかで 定理を 表すのは どれ？
11
それで
今と同じ問題なんですが
もし
始めの 座標軸 の設定が
別のものであったならば
そこで
三角形の
頂点A から 辺BC におろした
垂線の 足を 原点にしたらば
12
D は BC の 中点と
分かってるので
計算して
だしておいて
13
後は また 等式に 出てくる
部品を 計算して
AB を 計算
AB二乗
14
ACを計算
AC 二乗
左辺を 計算しておいて
15
今度は 右辺の部品
AD を 計算して
AD 二乗
16
BDを計算して
BD二乗
17
右辺を 計算してくと
18
左辺 ＝ 右辺
19
今度は
長方形です
20
長方形の 特徴は
座標は
を 考えて
AB を Y軸
BC を X軸
B を 原点に設定すると
21
座標データは こんな感じ
22
ここからは
平面上の ２ 点間の 距離
のこうしきで
距離の 2乗を 計算していけば
23
AP
24
CP
25
右辺も
DP BP
26
左辺 ＝ 右辺
27
次は
この式が
最小値になるときの
P（X,Y) はどこだろう
28
部品を 計算してくでしょ
29
ここら辺の
作業は
ずっと
平面上の2点間の距離から
30
そろった部品を
足し合わせて
31
最小値を
求めるんですが
P（X,Y）
だから
X について Y について
的めて
両方とも
2次になってるので
32
2次関数の性質で
関数が 下に凸 上に 開いてるときは
頂点が
最小値になるから
X,Y についての
最小値を
ここから 求めれば よさそうだ
33
式変形の 準備をして
式の
値が 等式でないから
式全体の 値が 変わらないように
式変形してくと
34
最小値を とる
X,Y は こんなカンじ
35
三角形 ABC で 辺BC
または その 延長上の 点を D とする時
次の 等式 を 満たす 点は
どのような 点であるか
36
三角形 ABC で
BC を ｘ軸に
BC の 垂直2等分線を Y軸に
設定すると
37
こんな感じに
なるんですが
Dは BC上か BCの 延長上か
分からないので
D(m、０） にすると
38
左辺は
39
右辺は
40
右辺の部品を
全部計算して
41
そーしますと
42
右辺
左辺
43
左辺＝右辺となるためには
D（ ０．０） または （ｂ、０）
44
X軸 Y軸を
BC の 垂直二等分線 としたので
ｍ＝０ の時
D(m,0） は D（０，０）
この時は
Dは 原点 BCの 中点になる
ｍ＝ｂ の時は
D（ｍ、０） は D（ｂ、０）
頂点A（ｂ、ｃ） であるので
Dは 三角形の頂点Aから BC に
おろした 垂線の 足になる
底辺の 中点が出てくるときは
底辺の 垂直二等分線を Y軸に
または
底辺の対角 頂点から底辺への
垂線の足を Y軸に
が手ですね
45
今度は 4辺形
4辺形 ABCD と 同じ平面上にある
任意の点P について
常に 次の 等式が 成り立つならば
4辺形ABCD は どんな 形か
46
始めは 一般的な 4辺形の
形を 設定して
文字で 座標を インプット
47
平面上の 2点間の距離の 公式から
48
あた得られてる 等式の
左辺 右辺の 部品を 計算し
49
左辺は
50
ここで とめておいて
51
右辺も
同じように 計算してくと
52
こんな感じで
53
左辺
右辺
見比べて
全部 左辺に まとめるか
54
左辺に まとめたから ＝ ゼロ
になるんですが
左辺を 整理してくと
55
こんな感じ ＝ ０
56
P(x,y） が 任意だから
ｘ、ｙ、 が どんな値を とっても
０ になるには
➀②③ の 式が出て来て
57
② から ｂ＝e
➀②を ③に代入したらば
58
ac＝０
59
➀②③④で
➀×ｃ
60
ｃ＝ｄ
a=0
61
分かったとこを
座標に プロット するでしょ
そうしたら 長方形
62
三角形 ABC の 重心 を G とし
その平面上の 任意の点を P
とする時
G を 原点にとって
次の 問いに答えよ
63
重心の座標の 求め方は
A,B,Cを
添え字付き X、Y で
次のように 表せば
G= こんな感じ
64
それを
原点に 取ったとだから
ｘ１+ｘ２+ｘ３＝０
ｙ１+ｙ２+ｙ３＝０
それを 踏まえて (1)は
65
等式の 左辺を
計算して
整理してきますと
66
こんな感じ
ここで おいといて
67
右辺も
同じく計算してくと
こんな感じで
68
右辺と左辺
比べると
ほとんど同じなのだけれど
右辺に 少し おまけが ついてる
これが ゼロ なら 良いんだけど
69
そんな時
少し 式変形したらば
ゼロになる
70
ああ これでいいんだ
71
（２）
最小になるときは
三角形の 頂点は 変わらないので
定数と考えて
また 実数の 二乗は ゼロ以上なので
マイナスには ならない
72
後ろの X,Yが最小になるのは
X=0 Y=0 の時
ところで
この問題では
三角形の 重心を Gとし
Gを 原点にとって
次の 問いに 答えよ だったので
これは
点P が 三角形の 重心G と 重なるとき
最小になる
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