2020年09月28日
大人のさび落とし 08005 座標による 図形の証明 （ 生涯学習 記憶の メンテナンス ）
（ 生涯学習 記憶の メンテナンス ）
01
図形の証明問題で
座標を 使うと うまくいくよ
というお話です
ここでは もっぱら
平面上の 2点間の 距離の公式を
使います
行ってみましょう
三角形 ABC で 辺BC の 中点を
D とする時 次の 等式が 成り立つことを
証明せよ
02
ABの二乗とか出てくるんですが
辺の 長さの 2乗ってことですよね
そこで
ABの ながさ 点A と 点B の 距離を
計算する 公式が
ルートが付いてるから
ABの 2乗の時は ルートを
はずせばさ
03
問題を 考えていく時
座標軸の 設定で
少し 簡単になることがあるので
04
今回は
辺BC を x軸に 設定し
その 中点 D を 原点に
持ってくると
05
与えられてる 等式の
左辺は AB と AC の
二乗だから
まず AB から
点A と 点B の距離 を出して
これが AB
二乗して
AB二乗 だから ルートがはずれて
06
AC の方も
2点間 の距離で
考えて
AC の 二乗だから
ルートを 外して
07
今度は 右辺
AD
08
BD
09
部品ができたとこで
左辺は
計算してくと
こんなですか
10
右辺は
こんなで
左辺=右辺
三角形の 中線定理だって
ケダム、 セオレム、 レマーク 、プロブレム
このなかで 定理を 表すのは どれ？
11
それで
今と同じ問題なんですが
もし
始めの 座標軸 の設定が
別のものであったならば
そこで
三角形の
頂点A から 辺BC におろした
垂線の 足を 原点にしたらば
12
D は BC の 中点と
分かってるので
計算して
だしておいて
13
後は また 等式に 出てくる
部品を 計算して
AB を 計算
AB二乗
14
ACを計算
AC 二乗
左辺を 計算しておいて
15
今度は 右辺の部品
AD を 計算して
AD 二乗
16
BDを計算して
BD二乗
17
右辺を 計算してくと
18
左辺 ＝ 右辺
19
今度は
長方形です
20
長方形の 特徴は
座標は
を 考えて
AB を Y軸
BC を X軸
B を 原点に設定すると
21
座標データは こんな感じ
22
ここからは
平面上の ２ 点間の 距離
のこうしきで
距離の 2乗を 計算していけば
23
AP
24
CP
25
右辺も
DP BP
26
左辺 ＝ 右辺
27
次は
この式が
最小値になるときの
P（X,Y) はどこだろう
28
部品を 計算してくでしょ
29
ここら辺の
作業は
ずっと
平面上の2点間の距離から
30
そろった部品を
足し合わせて
31
最小値を
求めるんですが
P（X,Y）
だから
X について Y について
的めて
両方とも
2次になってるので
32
2次関数の性質で
関数が 下に凸 上に 開いてるときは
頂点が
最小値になるから
X,Y についての
最小値を
ここから 求めれば よさそうだ
33
式変形の 準備をして
式の
値が 等式でないから
式全体の 値が 変わらないように
式変形してくと
34
最小値を とる
X,Y は こんなカンじ
35
三角形 ABC で 辺BC
または その 延長上の 点を D とする時
次の 等式 を 満たす 点は
どのような 点であるか
36
三角形 ABC で
BC を ｘ軸に
BC の 垂直2等分線を Y軸に
設定すると
37
こんな感じに
なるんですが
Dは BC上か BCの 延長上か
分からないので
D(m、０） にすると
38
左辺は
39
右辺は
40
右辺の部品を
全部計算して
41
そーしますと
42
右辺
左辺
43
左辺＝右辺となるためには
D（ ０．０） または （ｂ、０）
44
X軸 Y軸を
BC の 垂直二等分線 としたので
ｍ＝０ の時
D(m,0） は D（０，０）
この時は
Dは 原点 BCの 中点になる
ｍ＝ｂ の時は
D（ｍ、０） は D（ｂ、０）
頂点A（ｂ、ｃ） であるので
Dは 三角形の頂点Aから BC に
おろした 垂線の 足になる
底辺の 中点が出てくるときは
底辺の 垂直二等分線を Y軸に
または
底辺の対角 頂点から底辺への
垂線の足を Y軸に
が手ですね
45
今度は 4辺形
4辺形 ABCD と 同じ平面上にある
任意の点P について
常に 次の 等式が 成り立つならば
4辺形ABCD は どんな 形か
46
始めは 一般的な 4辺形の
形を 設定して
文字で 座標を インプット
47
平面上の 2点間の距離の 公式から
48
あた得られてる 等式の
左辺 右辺の 部品を 計算し
49
左辺は
50
ここで とめておいて
51
右辺も
同じように 計算してくと
52
こんな感じで
53
左辺
右辺
見比べて
全部 左辺に まとめるか
54
左辺に まとめたから ＝ ゼロ
になるんですが
左辺を 整理してくと
55
こんな感じ ＝ ０
56
P(x,y） が 任意だから
ｘ、ｙ、 が どんな値を とっても
０ になるには
➀②③ の 式が出て来て
57
② から ｂ＝e
➀②を ③に代入したらば
58
ac＝０
59
➀②③④で
➀×ｃ
60
ｃ＝ｄ
a=0
61
分かったとこを
座標に プロット するでしょ
そうしたら 長方形
62
三角形 ABC の 重心 を G とし
その平面上の 任意の点を P
とする時
G を 原点にとって
次の 問いに答えよ
63
重心の座標の 求め方は
A,B,Cを
添え字付き X、Y で
次のように 表せば
G= こんな感じ
64
それを
原点に 取ったとだから
ｘ１+ｘ２+ｘ３＝０
ｙ１+ｙ２+ｙ３＝０
それを 踏まえて (1)は
65
等式の 左辺を
計算して
整理してきますと
66
こんな感じ
ここで おいといて
67
右辺も
同じく計算してくと
こんな感じで
68
右辺と左辺
比べると
ほとんど同じなのだけれど
右辺に 少し おまけが ついてる
これが ゼロ なら 良いんだけど
69
そんな時
少し 式変形したらば
ゼロになる
70
ああ これでいいんだ
71
（２）
最小になるときは
三角形の 頂点は 変わらないので
定数と考えて
また 実数の 二乗は ゼロ以上なので
マイナスには ならない
72
後ろの X,Yが最小になるのは
X=0 Y=0 の時
ところで
この問題では
三角形の 重心を Gとし
Gを 原点にとって
次の 問いに 答えよ だったので
これは
点P が 三角形の 重心G と 重なるとき
最小になる
（ 晴れ部屋へ 家庭菜園と ざっかや
メニュウ ページ リターン ）
この記事へのコメント
コメントを書く
この記事へのトラックバックURL
https://fanblogs.jp/tb/10224844
※ブログオーナーが承認したトラックバックのみ表示されます。
この記事へのトラックバック
