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2020年07月29日
08004 図形と方程式 分点座標（２） 大人のさび落とし
久々の 大人のさび落とし
今日からは
図形と方程式のあたりにいます
分点座標
なんか 公式がありましたが
覚えてらっしゃいますか
01
問題
02
題意より
A ゜ B
A ↑ コレ B
コレ じゃ なんですから
ドット とでも して
本当は なんて言うかは 知らないですが
A どっと B は AB の3等分点のうち
Aに 近い方 3等分点だから
A と B の間に
2点 ちょんちょん とあって
Ａ に 近い方
分点の 公式でいえば １：2に内分する形
03
Ａ，Ｂ，Ｃ
は 平面上の点とあるので
Ｘ，Ｙ を 使って
添え字を 付けてじゃナイスカ
04
ｘも ｙも
結果的には 同じくなるので
ｘ座標について 考えると
こんな感じでしょ
05
後は 分数の 計算で
一つ目の 式は こんな座標
06
もう一つ 座標を 求める式があって
題意は
これらの 二つの座標を求める式が
一致するとき
Ａ，Ｂ，Ｃ の位置関係は いかに
残りの方を
計算してくでしょ
07
ｘ 座標に かんして
計算してますが
文字でやってるので
ｙも 同じことです
08
二つの 式が一致するとき
Ａ，Ｂ，Ｃの位置関係は
見比べると
式の 形は 違っていますが
一致するんだって
09
等号で
結んで
分母は 正の数なので
払って
左辺に 集めて
10
整理したら
こんなに 簡単になって
式を 変形すると
ｘ２ は ｘ1と ｘ３の 中点
11
ｙも 同じ だから
12
点Ｂ は 線分 ＡＣ の 中点
13
次は
ものすごく 昔の 過去問なんですが
こういう 計算問題が
出たんだそうで
その時 ラッキー と思うか
競走率が 高いと思うか
問い4まであってですね
恐縮ですが 読んでね
14
問題は (4)まで
15
(1)(2)は
問題を 読むと 関連してるんで
（２）から 解いてしまうと
（２）では 三角形ＡＢＣの 重心を求めて
(1)との 関係を 調べよ
先に 重心を 出してしまうと
公式で
16
点を 代入する形にすると
ｘ座標は -1
17
ｙ座標は 1
ここで
（２） の回答は 半分
重心の座標
18
これが （１）の 式の表す座標と
どう関係するカナので
ここで
（１） を 解くと
19
文字で 代入する 型を 作ると
さっきの （２）の 重心の 公式に
なったので
ここからは 計算結果は 同じ
20
（１）の答も （-1.1）
で
(1)の式は 三角形ＡＢＣの 重心と
一致する
21
（３）は 次の 等式が
成り立つことを
証明してねという問題
これは
分配の法則
22
普通の 数学では
四則演算と 3法則
に ほとんど 従ってるので
例外は
思いつくとこは
行列において
普通は 掛け算の 交換法則が
使えない
行列では 特別な場合のみ 成立する
23
等式の 成立を
証明するのだから
左と 右を 計算して
あってるデショ
とか
左から 右を 引いたら
ぜろ デショ
を 使ってですね
24
左辺 - 右辺を やってきますと
25
ぜろ デショ
26
だからなのだ
27
ラストは
数直線上の 3点
Ａ，Ｂ，Ｃで
次の 等式が 成り立つかどうか 調べよ
もしかしたら
成り立たないかもしれない
28
左辺 - 右辺 で
計算すると
計算間違いカナ と
思ってしまう かも
しれないので
左辺＝
右辺＝
で 計算してきますと
(ア）の方からですよ
あ～
（ア） からですよ
29
左辺
へてから
右辺
30
ん
31
分母を 合わせてと
違ってますね
成り立たない
数学も
ドライビィングも
幅広く見たり ポイントで見たり
明かりは 大切で
昼から 夜 になるときは
いったん 休み
その反対も
32
（イ） の 方は
左辺は
33
こんなで
34
右辺は
35
こっちは 成り立ってる
お疲れ様でした。
（ 晴れ部屋へ 家庭菜園と ざっかや
メニュウ ページ リターン ）
2020年07月10日
018 領域 ベクトル 大人のさび落とし
01
ベクトル 領域
この次の ベクトルは
空間座標とベクトル に行くつもりですが
その前に
アポロニウスの円も そうだけどさ
図形と方程式を
途中から
飛ばしてしまったので
飛んだとこまで
戻って
図形と 方程式を 先に やってから
ベクトルへ
領域です
問題を 読んでいただいて
こないだ
似たようなのを
やったんですが
02
式変形で
こうやると
二点間を通る形になるので
03
段階的に
こんな感じで
04
問題は
ベクトル方程式の
書き方が 少し 変わってないと
こまるので
場合分けを して
ｍ、ｎ の 値の とこを
確認していただいて
05
これらの ベクトル方程式の
表す 軌跡は
06
こうです
赤いとこを
ギッシリくまなく動く
この言葉は
おぼえておくと いいらしい
07
問題を 読んでいただいて
08
(1)の方からですね
こんな感じ
09
え 手抜きをしている
10
手抜きじゃなくてさ
簡略やねん
11
世のなかはさ
臨機応変にやないか
12
要するにこんな形の
領域になってさ
13
真面目に ？
じゃー少し
いまはさ
理不尽に 耐えながらの人が
大勢いるんだってね
だからって
いうわけではさ
ないんだけどさ
読んだ
これから
読んでいただいて
14
これは
円を 描くよね
3っつでてくるけど
15
出そろったとこで
16
作図してくと
赤いとこの 境界を含む内部
17
次はですよ
昨今は 入試は どうなってるんだか
われわれ
健太郎さん世代も
還暦が 近づき
この参考書を
知ってる人とか
持ってる人が
少なくなってきたから
そろそろ
かこもんで
出てきそうかな
学校のセンセも
若いセンセは
知らない人も いるかもしれない
18
この問題は
解き方の 方向の違うのを
こないだやってるから
19
割と
どっかで 今も 出てくるかも
20
一回やっておけば
怖く無いかもしれないけど
やってないと
んん～～～～～
お疲れ様です。
（ 晴れ部屋へ 家庭菜園と ざっかや
メニュウ ページ リターン ）
2020年07月09日
017 ベクトル方程式 つづき 大人のさび落とし
続きです
問題を
読んでいただいて
今日は 大きさカナ
まづ かっこ 1から
こんな感じに
ベクトルの 向きを 見るでしょ
へてから
固定されてるところ
動くところを 見て
Aは定点なので
Pを 大きさを 保つように
動かしたら
Pの始点はA Aは 固定
ベクトル 方向は AからP
コンパスみたいになって
こんなですか
次は
大きさが等しくなる
こんな感じに
問題を
読んでね
2問あります
（１）から
左辺
ABの 中点の 分点ベクトルになってて
それをPから 引くということは
中点を M
と置いたらば
MPベクトル
Mは 動かない点
Pは 動く
方向は
Mを中心に Pが動く感じで
右辺は
動点が入ってない形で
大きさになるので
Mを 中心に
半径 1/2 BAだと
ABを直径にした
円になる
図を おまけして
で
次は
計算してくと
ピタゴラスの定理みたいに
逆ピタゴラスで
ここは 直角だ
固定されてる点
動く点を 考えると
点Bを 通り ABに 垂直な直線
今度も
問題を 読んでいただいて
これはさ
いきなり
慣れてないと 軌跡は よく見えない
そこで
座標平面上の
方程式で
表せ
ということは
成分に 頼りなさい
と言う意味だから
成分を こんな感じにしておいて
代入してきますと
やってきたところで
忘れてる場合は
少し戻って 掘っていただいて
成分の 計算は
こうだったですよね
大きさの 計算は
こうだったですよね
式変形して
計算してくんですが
この形は
式変形で
円の方程式になる
これは 円だ
解答には
円であるとあり
これは アポロニウスの円と言うそうな
どんなものかと言うと
こんな感じになる
お疲れ様です。
（ 晴れ部屋へ 家庭菜園と ざっかや
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2020年07月08日
016 大人のさび落とし ベクトル方程式 つづき
01
ベクトル方程式の
つづきなんですが
この
よくわかり づらい 方の
方程式
行ってみましょう
問題を 読んでいただいて
02
（１）（２） とあるですが
(1)の方から
行きますです
ｍ+ｎ＝2
係数の和が １ だったら
簡単じゃナイスカ
そこでさ
こないだあったでしょ
係数の和が1になるタイプ
03
これならさ
すぐに
2点の 終点を 通る直線
04
そこで
辺々2で割ると
右辺は 1になって
左辺を 分割 すると
これならば 係数を 足せば
1だ
05
じゃけんの～
これじゃ
与式と ちごてまう や ないか
ナタメ
つづく ベクトル部分を
調整すると
06
こうすればさ
計算すれば
与式になるでしょ
係数の和が 1の時
後ろの ベクトルの終点の
表現が
さっきと
違ってきていて
この 2点を 通る直線
07
これを
公式に書くと
こんなですよ
08
次は
同じ問題の条件がですね
（２）
絶対値が付いて
絶対値は 場合分け
今回は
ゼロ のあり方について
私は
説明不十分ですので
現役の方は
お近くの
教諭さん 講師さん
先生様に
お伺いください
09
場合分けを 考えるでしょ
4通り
それで
計算すると 元の形になる様に
調節しながら
10
式が ➀②③④
で
➀から
絶対値の 中身が
ｍ も ｎ も
ゼロ以上の時
絶対値が付いていて たせば 1
外したときも
そのまま 足せば 1
係数の和が 1なので
AB上
11
②
ｍはゼロ以下 ｎがゼロ以上
絶対値を 外すと
-ｍ +ｎ ＝ 1
ここで （-ｍ）は ゼロ以上
ｎは ゼロ以上
そうすることで
方程式を 計算すると
元の形になっている
12
③
ｍが ゼロ以上
ｎが ゼロ以下
ｍ-ｎ＝1
mがゼロ以上
（－ｎ)が ゼロ以上
13
④
ホントに
こんなんでいいのか
とおもいながら
14
全体で こんな感じになる
15
ちょっと大丈夫かな
結果が 分かってるから
ねつ造 みたいな計算ですが
16
ここは
研究してみてください
17
答えとしては
コレダって
18
右図の問題
問題を 読んでいただいて
19
まづ
(1)は
OEベクトル
求めよなんですが
要所要所
ベクトルの 成分の
わかんないとこがあるので
比の値を使って
分点ベクトルを 取り入れて
20
OEベクトルを
こっちからと
21
こっちからも
計算して
22
等しいからさ
連結するでしょ
OEベクトル OEベクトル
んんんー
であるから
左辺に集めて
整理して
頭の中でやると
ミスるから
手を 動かしています
加速装置！！！
冗談は兎も角
時間はかかるんですが
23
それで
整理して行って
どーする
24
aベクトルと bベクトルは
平行ではないですよね
そこで
平行ならばの 待遇で
25
これを ＝０ としてじゃナイスカ
26
ここは
ヒントを しっかり見ますと
27
ここまで来たら
もうすこし
28
比の値が出て
OEベクトルの 左側
バージョンに 代入して
29
これです
OEベクトル
30
三点が 一直線上に あることを
証明しなさい
解答の やり方と
違ってしまいましたが
31
これが言えれば 言いを
作って
入れ子 入れ子で
式を 完成していくと
32
こんな感じにですね
33
これらが 実数倍になっていて
なおかつ
一点を 共有していれば
一直線上であるから
34
3点が 一直線上に あることを
並び順で やると
こうなるのだけれど
解答は
L,M,N が と言ってるから
少し ちがって
MNベクトル＝－６LMベクトル
わたくしのは
点の並び順通りに
配置しなおして
M,L,N で 計算したので
こんな感じですが
L,M,N で やると
MNベクトル＝－６LMベクトル
こうだって
お疲れ様です。
（ 晴れ部屋へ 家庭菜園と ざっかや
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015 大人のさび落とし ベクトル方程式 つづき
01
ベクトル方程式の続き
ベクトル方程式で
表される 図形は
ｔを 変化させたときの
OPベクトルの 終点の軌跡
Oを 始点とした
位置ベクトルP
OPベクトルの
終点の 集合
行ってみましょう
02
問題読んだ？
で
ｔが 二つ入っていて
両方一度に 動きと ややこしい
そこで
少し 式を 変形して
ｔを 一つのすれば
03
OBの終点を 出発して
BAを 動いていく
04
値を ０、1/2、1
と変えていくと
05
ベクトルって
ここの 計算が 面白いね
06
AB上を
OBからOA
まで
動くことがわかり
点Pは AB 上を 動く
07
問題を 読んでいただいて
08
ベクトルが 2点を 通る
ベクトル 方程式
あったでしょ
係数の和が 1になるやつ
係数の和を １ になる様に
調節したらば
この2点を 通る
０＝＜ ｔ ＝＜ １の時は
2点間
ｔが 実数全体の時は
2点を 通る 直線
09
これも おなじ
係数の 和が 1になる様に
調節できれば
2点を 通る 直線
でるかもしんないなぁ～
10
次は 問題を
読んでいただいて
11
作図すると
こんな感じだよ
12
これだけだと
どうにもなんないから
なんとか
OPベクトルを 出してきたいけど
ベクトルが足りない
そこで
比の値を 使って
じゃナイスカ
APの延長が BCとまじわるとこを
Qとして
BQ:QC＝M:N
AP:PQ=ｐ：ｑ
と置いて
分点ベクトルで
ベクトルを 作ると
13
OP ベクトルは
OA と OQ が 分かれば
出るけど
OQが 分かってない
そこで
まず OQ
14
へてから
OPを 計算して
15
ここで 式を 良く見て
良く眺めて
ほんの 少し 変形
展開とも言いますが
題意は 何だっけかな
16
OPベクトルを
分けてくとじゃナイスカ
で
これらを
ｋ１、ｋ２、ｋ３
としたらば
17
ｋ１+ｋ２+ｋ３＝
18
1になったと
あ～
少し前のとこで
M、 N、 p、q
は 正の数
と明記しておいてですよ
忘れてました
19
証明
お疲れ様です。
（ 晴れ部屋へ 家庭菜園と ざっかや
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2020年07月07日
014 大人のさび落とし ベクトル方程式
01
ベクトル 方程式
OA=aベクトル
OB=bベクトル
は
Oを 始点とする
定まったベクトル
ｔは 正、ゼロ、負 の
実数値を とりながら
変動する 数であるとき
02
OPベクトルの終点Pは
ある図形を 描く
03
これを
ベクトル方程式と言い
OPベクトルの終点の
集合のの軌跡が
ベクトル方程式が
表す図形である
04
Pベクトル ＝
ｔ倍のaベクトル
2点 O,Aを 通る 直線
tの値によって
点になったり
半直線になったり
もする
05
固定の aベクトルと
変化するbベクトルのあるとき
実際に
ベクトルの 足し算を
思い出して
作図すれば
ｔの値いかんでは
向きが 変わったり
長さが 変わるでしょ
05
固定の aベクトルと
変化するbベクトルのあるとき
実際に
ベクトルの 足し算を
思い出して
作図すれば
ｔの値いかんでは
向きが 変わったり
長さが 変わるでしょ
07
なるでしょ
08
これは 別の見方をすると
tが
０ ＝＜ ｔ ＝＜ １
のときは
線分AB になるんですが
OPベクトルの 終点
Pの軌跡は
線分ABの間を
分点ベクトルの公式で
軌跡を作る
AB を 1として
ｔ：（1－ｔ）
に内分すれば
全体で １ そこから ｔ
を取ったら
残りは いくつ
1-ｔ
だよ
こうなるでしょ
09
ちゃんと
ベクトル 方程式の
形になったでしょ
10
もし
tの範囲が
もっと広かったら
11
図を描いて
t=-1を代入して
分点ベクトルの
逆で
比率を 出してくると
12
ABの外
Aの方の 外側に
OPが伸びた形
13
今度は
tが 大きいほうが
2だったら
分点ベクトルの 逆で
比率を出して
14
こんな感じに
15
だから
この形の
ベクトル方程式のときは
こんな感じに
tの値が変わることで
直線を 表現できる
16
これは
今日の 一番最後の
問題に 出て来ますが
説明が ややこしいので
見て
やって
みてね
17
絶対値 つきの
この方程式の軌跡は
半径 ｒ
点Aが 中心の 円
18
こんな感じで
領域的には
こんな感じ
19
これはですね
ABの垂直2等分線
20
領域の時は こんなです
P-a 絶対値の方が
大きいので
堺から
P-ｂの方に
入ってしまう
21
よだんですが
Pベクトル ＝ ｔaベクトル
に成分があれば
傾きが a2/a1 の
原点を 通る 直線
22
では
問題行ってみましょう
読んでね
23
始めは
慣れてませんので
実際に 数値を
代入して
作図
24
まず 値を
だしておいて
25
作図して
OPの終点Pを
プロットしてくと
直線が 出て来ました
26
今度は
ｔに 制限があるとき
27
こんなですよ
28
次は
xベクトルの
大きさが 最小になるとき
長さだね
29
方程式の ｔ の値は
いくらか
ここが
一番短い時だから
30
この方程式は
点Aを通り
ｂベクトルに平行な直線
ベクトルのは
方向があり
Aの先に 足す ｂベクトルは
方向は マイナス方面
大きさは
1/2
だから ｔ＝－1/2
31
幾つか ベクトル方程式を
書いてみましょう
これは
32
これは
33
これは
34
問題 読んでいただいて
35
まず 代入で
見るでしょ
ｘとyに分けて
36
導く式に
足りないものがあるので
掛けて
式を
➀掛けるb２-②掛けるb１
37
計算すると
38
なったじゃナイスカ
39
問題
あ～
読んでいただいて
40
方程式
いくつか あったですけど
41
後で
実際に 問題やるからの
これですよこれ
42
実際に 値を
計算してみてじゃナイスカ
43
それで
ここは 解答の方の
書き方にしておきますが
OA=a OB=ｂ として
２a＝ OA'
２b＝ OB'
な A' B'
を 通る直線
お疲れ様です。
（ 晴れ部屋へ 家庭菜園と ざっかや
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2020年07月06日
013 大人のさび落とし 共点 （ ベクトル ）
01
共点 のベクトルの問題ですが
これは 余り 入試には
出ないと思いますが
時には
結果を 予想しなさい
というお話です。
行ってみましょう
問題を 読んでいただいて
02
ここらへんで
交わって そうだなぁ～
を 予測する
まず作図 をしてですよ
三角形ABC の
BC CA AB
の中点を
A1 B1 C1
03
一点 O を取り
三角形の
内部でも 外部 でもよい
位置ベクトルに するのかな
OA, OB, OC の 中点を
A2 B2 C2
とする時
04
3直線
A1A2 B1B2 C1C2
は 一点で 交わることを
証明せよ
予想としては
A1A2 B1B2 C1C2
の 中点で
交わってそうかな？
05
作図は O が内部のある方を
使いますが
06
予想としては
それぞれの
(A1A2 B1B2 C1C2 ）
中点で 交わってそうだ
そこで
それぞれの中点を
A3 B3 C3
と置いて
実際に 計算して
一致するか見る作戦です
位置ベクトルを 使って
OA3ベクトルは
（OA1+OA2)/2
入れ子で
OA1 OA2 を 計算して
07
OA3=（a+b+c)/4
08
次に
B1B2の 中点を
B3として
B3 という点は
計算すれば 出てくる
実在する点ですが
A3と 重なるかどうかは
やってみないとね
09
やっぱり
（a+b+c)/4 に なったですか
10
C1C2 の中点 C3も
見てきますと
11
（a+b+c)/4
なりましたね～
12
なので
今回は 予想が 的中して
これでよかったと
13
次は
似たような 問題なんですが
読んでいただいて
14
よくわかんないので
作図していきますと
15
元になる 三角形ABCの重心Gと点O
点OとBC 点OとCA 点OとAB
でできている
三角形OBC 三角形OCA 三角形OAB
の 重心 G1 G2 G3 に対して
AとG1 BとG2 CとG3
の OG AG1 BG2 CG3
が 同一点で
交わることを 予測せよ
16
作図が
あんまり 正確ではないけど
ソレゾレ 3：1 に
内分する点で
交わってそうかな
そこで
まず
OGを 3：1 に 内分する点の
ベクトルOP とすれば
17
AG1を 3：1に 内分する
ベクトル OQとすれば
18
よさそうだな
19
BG2を 3：1に
内分する点のベクトルを
OR ベクトルとすれば
20
ん
21
ところで
四面体の 重心は これだって
22
戻って
CG3を 3：1 に 内分
するベクトルを
OSベクトルとすれば
23
ベクトルが ことごとく
一致したので
P,Q,R,S は 同一点で
OG AG1 BG2 CG3
は 同一点で 交わる
24
問題
読んでいただいて
三角形の
各頂点から
対辺に おろした 垂線は
同じ 点で
交わることを 証明せよ
25
頂角 BとC から それぞれ
対辺に 垂線を おろすときに
交わる点を
H と するじゃナイスカ
Aから 対辺に おろした垂線が
これと 交われば
いいのだけれど
そこを 証明したいので
あえて ここだけは
A から H に おろした線分
にしておいて
H に対する 位置ベクトルで
考えるに
26
始めに 引いた 2本の 垂線は
垂線だと
はっきりわかってるので
ACベクトル HBベクトルを
成分で 表せば
垂直条件は 成分に よれ で
こんな感じ に 式➀
27
もう一つの
始めに引いた 垂線
も
ABベクトルは こんな成分で
28
それに 垂直な HCベクトルは
こんな成分だから
垂直条件は 成分に よれ
で
式②
29
三角形なので
各頂角から 対辺に
垂線を おろすとき
2本は
確実に 交わる
3本目が 同じところで
交わってればいいのだけれど
頂角 Aから Hに おろした線は
BC に 垂直とは
言ってない
ただ Aから Hに おろした感じ
これが
対辺 BC と 成分で
垂直ならば
三角形の 各頂点からの
垂線は 同じ点で 交わること
なる
30
HAベクトルと BCベクトルの
成分計算は こんな結果
これを
➀②式を 使って
証明すれば
31
➀-②
を 計算して
32
整理したら
HAベクトルも BCベクトルと
垂直になったので
三角形の 各頂点からの
対辺に おろした 垂線は
一点で 交わる
お疲れ様です。
（ 晴れ部屋へ 家庭菜園と ざっかや
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2020年07月03日
大人のさび落とし 012 ベクトル 共線
01
本日は
共線条件です
3点が 一直線上に あるを
ベクトルを 使って 式に すると
という問題
行ってみましょう
恐縮ですが
手書きの 問題を 読んでいただいて
02
準備といたしまして
LM ＝ k MN
一点を 共有した形に
実数倍 で イコール
これは 平行の中の
特殊な場合
一直線上にある
ベクトルは イコールだと
方向 大きさが 等しい
03
今まで
こんなことを やったですよね
やったじゃナイスカ
平行で 大きさが等しい時
平行な時
04
平行な中で
1っ点を 共有していれば
直線になるですよ
05
戻って
問題を 見える形に
してくと
四辺形 辺 AD,BCの
内分点 E,F
06
今度は 縦に
AB,EF,DC を ｐ：ｑ に
内分する点を
L,M,N とすれば
L,M,N が 一直線上に あることを
証明せよ
07
L,M,Nが 一直線上 に
あることを 言うには
二つのベクトルが
１点を共有した形の
実数倍 に 表現できれば
平行のなかの 一直線
位置ベクトルを 考えよう
08
それで
今日は 長くなりますが
最終的な ベクトルを
入れ子 ヲ 使って
最小単位の ベクトルで
全部 書き換え
位置ベクトルを使って
比較する 方向で
09
入れ子 構造は
ロシアの民芸品 マトリョーシカ
に見るあれですよ
知らない？
マトリョーシカ。
10
兎も角
最終的に
L,M,N が 一直線に ある形に
ベクトルを 持ってくんですが
OM OL ON OM
同じものもありますが
さらに
その下の 入れ子で
考えると
OMは EFベクトルを
ｐ：ｑに 内分する
分点ベクトル
だから
11
分点ベクトルの 公式は
こうでしたよね
で OM が 一つ下の 入れ子
12
OLは ABを ｐ：ｑにない分する
分点ベクトル
だから
13
ここで
もう一つ したの
一番下の 入れ子を 作るんだけど
これは
四辺形 ABCD の それぞれの
点の 位置ベクトルで
a,b,c,d,ベクトル
OL ベクトルは
一番下の 入れ子になった
14
ON ベクトルも
一番下の 入れ子にして
15
ここまでを 整理すると
LM MN
OM OL ON OM
OE OF
a,b,c,d,
こんな感じの
入れ子になってまして
16
まだ残ってる
OE OFを
OE は ADを ｍ：ｎ に 内分
する 分点ベクトルだから
17
OF ベクトルは BCを
ｍ：ｎ にない分する
分点ベクトルだから
18
全部 一番下まで
入れ子ができたから
一番下の 入れ子で
一番上の ベクトルを
表現すると
言い換えれば
音楽で いうとこの 音符の長さ
一番最小単位の 音符の 長さで
全部の 音符を かぞえると
みたいに
19
LM ベクトルの方から
計算して くでしょ
20
こんな感じに まとまりました
21
次は MN ベクトルも
計算してくでしょ
22
計算間違いしないように
23
大丈夫かな
24
こんな感じに
なったので
25
ここからじゃナイスカ
実数倍に 成っていれば
LM と MN は
M を 共有してますので
実数倍が できれば 一直線上
26
係数 ｋ を 探ってきますと
27
MN に ｋをかけたら LMになる
28
kは ｍ/ｎ
実数倍 で イコールになり（ 平行 ）
しかも
１点を 共有してるので（ 1直線上 ）
29
検算すると
なるでしょ
30
問題行ってみましょう
問題を 読んでいただいて
31
今回は 3等分点
が出てくるんですよ
なので
ちょっと やり方を
変えよう
32
証明するのは
対辺の 3等分点同士を 結んだ
3本の 線分の それぞれの
中点が
一直線上に あることを
証明してもらいたい
33
1点を 共有して 実数倍（等倍）
これは 一直線上だよね
それぞれの 中点を
P,Q,R,S とする時
34
まず PQベクトルを
右回り
左回り で
計算するでしょ
そして 足し合わせると
35
中点と 3等分点を 使って
3等分点の方は
aベクトル ,bベクトル
中点の方は
プラス マイナス
うまいこと
値が 出てきたでしょ
36
QRベクトルも
右回り
左回り
足し合わせて
打ち消しあって
37
で QRベクトル
値が さっきと おなじ
38
RSベクトルも
右回り
左回り
足して 打ち消して
39
ベクトルって
文字遊び みたい だけど
40
ちゃんと 計算すると
消えたりもするでしょ
RSベクトルも 同じ値
41
P,Q,R,S は 4点だから
ひだりから ３点づつに して
PQ と QR は
大きさが等しい
ということは 平行でもある
さらに １点を 共有してるので
１直線上にある
42
QR と RS は
等しく
大きさが おなじ
平行
さらに １点を 共有してるので
１直線上にある
ということは
P,Q,R,S は 一直線上にあり
この P,Q,R,S は AB,EG,FH,DC
の 中点だから
これらの 中点は 一直線上にある
43
問題を 読んでいただいて
44
3っつの 位置ベクトルの
終点が 一直線上に
並んでいるので
ABベクトルと BCベクトルを
つかって
45
一直線を 表現するでしょ
46
これを 展開して
左辺に まとめるじゃナイスカ
そこから
係数を 比較して
ひっぱり出してくるでしょ
47
足し合わせると
＝０
48
証明 できたと
お疲れ様です。
（ 晴れ部屋へ 家庭菜園と ざっかや
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2020年06月30日
大人のさび落とし 011 (長さ）二乗 ベクトル
01
ベクトル （長さ ）の二乗
図形の問題で
長さが 問題になっていて
（ 長さ ） 二乗
になってるときは
ベクトルの 成分を 使うと
いろいろと 証明しやすい
と の事で
ベクトルの 長さは
こんな感じでした
02
で （ 長さ ） の 二乗
となると
うまいこと ルートが 外れて
都合がいい
ベクトルの 成分を
指定されてないときは
座標を 適当な形に とると
うまくいく
03
問題 行ってみましょう
申し訳ないんですが
これを 読んでいただいて
04
いいですかね
早速ですが
ベクトルの 成分が
指定されてないので
条件に 合う形で
適当な 座標に 三角形を
あてがってじゃナイスカ
05
今回は
中点 D を 原点に取ると
良い
06
座標 成分を
条件に合う 適当な形に
セットして
左辺
ABの二乗を 求めてくでしょ
07
成分で 計算したら
こんな感じ
ACの二乗も
08
こんな感じで
09
左辺の 長さの二乗の
足し算を 成分で
計算したら
こんな感じに 成ったと
10
今度は 右辺
部品を
ADは
ベクトルのは
向きがあるから
こんな感じに
修正して
計算結果は おなじなんだけどさ
11
次に
BDは
12
偉く 簡単な形に
なったなぁ～
13
部品が 出そろったので
右辺も 成分を けいさんして
左辺=右辺
14
なのだから
この式は 証明できた
15
次は
また 問題を 読んでいただいて
16
Dを 原点に とると
やりやすそうなので
まず左辺 から 計算
17
部品を 計算して
18
AB と AC
の 二乗
19
代入して くでしょ
20
整理すると
こんな感じに
21
今度は
右辺の 計算
部品を 計算して
22
BD
CD
23
AD と
二乗を計算してから
24
代入したらば
左辺＝右辺
成分で
計算すると （ 長さ ） 二乗
は 証明しやすい
25
問題
よんでね
26
P 点は なんだと思いますか
直感で
27
位置ベクトルを使って
28
成分を 条件に合う形に
適当なように 割り振って
部品を 計算すると
AP BP CP を 成分計算して
29
これらを
30
二乗の形にすると
31
条件式に 代入して
整理してきますと
32
こうなって
33
こうなって
34
こう
35
ここでさ
同じことを
繰り返してしまって
つかれてるなぁ～
36
ちょっと進んで
37
ｘ、 ｙの入ってるとこは
ここんとこだけ
38
実数の2乗は ０の時が
一番小さいので
０になるとこを それぞれ
ｘ、ｙ を 見ると
こんな感じで
これが 成分に 成るので
39
こんな感じに
40
これっていうのは
重心だよね
点Pが 重心になるとき
与式は 最小
41
重心です
42
問題を 読んでください
条件が 成り立ってるとこに
点Dは どんな点になってるか
43
座標を うまく 据えられれば
半分できたも同じ
44
ここで ヒントを 見たら
ｂは これでいいんだって
45
条件式に使われてる 部品を
左辺～
逐次 計算してきますと
ABの二乗
46
ACの二乗
47
右辺に行って
ADの二乗
48
BDの二乗
49
CDの二乗
50
出そろったので
左辺は
51
次に
右辺は
52
左辺 と 右辺 を
連結するじゃナイスカ
53
因数分解して
54
ｘの値が
二つ出て来ました
ｘ＝０
または
ｘ＝ （ｂ+ｃ）/2
55
x=0の時
点Dは Aから BCにおろした
垂線の足
56
ｘ＝ （ｂ+ｃ）/2
のとき
点Dは
Aからの BCに おろした
中線の足
お疲れ様です。
（ 晴れ部屋へ 家庭菜園と ざっかや
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2020年06月27日
大人のさび落とし 010 ベクトル 垂直
01
ベクトルの 垂直
二つのベクトルがあって
ソレゾレ 成分が 分かっています
この ベクトルが 互いに
垂直なため の 条件は
次の式で 表されることを
証明しなさい
と言うものです
行ってみましょう
02
これだけでは
どうにもならないから
何か 使える 条件を
外から
持ってこないと じゃ ナイスカ
図のような 形に
二つの ベクトルの 位置ベクトルを
かいて
三角形OAB で考えると
ピタゴラスの定理で
角AOBが 90度 ならば
OAの二乗 + OBの二乗 ＝ ABの二乗
ナタメ
逆に
OAの二乗 + OBの二乗 ＝ ABの二乗
になれば ∠AOB ＝ 90度
に持ち込もうと
03
ベクトルの 大きさを それぞれ
計算するでしょ
OA
OB
04
それから
AB は OB-OA
だから
成分を 計算してから
AB の 大きさを 求めて
05
こんな感じに
等式が 成り立てばいいのだから
06
これを 左辺を 展開して
整理すると
条件式が 出て来ました
07
ナタメ
これは 平面ベクトルの 垂直条件
よく
期末 試験とかに 出ますよね
08
実際に 計算問題を やってみると
一つの ベクトルの
成分が 与えられてて
このベクトルに 垂直な
ベクトルの
成分を
求めよ
09
垂直な ベクトルを
ｂベクトルとでもして
ｂベクトル＝（ｘ、ｙ）
とおくと
垂直条件から
３とｘを かけたもの
ぷらす
４とｙを かけたもの
＝ ０ になる
10
それと
ｂベクトルは 大きさが 1だから
こんな感じに
なるでしょ
11
これを 計算して
見ると
12
ｙは 9/25 の 平方根なので
プラスマイナス
が付いて
プラスマイナス3/5
（ 計算問題で ４ の 平方根は
と言ったら ±2
√4 は と言ったら
＝ 2 だいじょですか ）
これも よく 小問で出ますよね
13
話を 元に戻して
ｙが出たので
ｘは マイナスプラス 4/5
複合同順
14
こんなかんじで
検算をすると
15
次は
さっきは
一つの ベクトルの 成分が
与えられてて
そのベクトルに 垂直な おおきさ
が １ の ベクトルの成分
を 求めよ
今回は
少し 回り道するだけ
二つの ベクトル成分から
ベクトルの 引き算で
でてきた ベクトルに対して
垂直な 単位ベクトル ：
大きさが １ のベクトルの成分を
求めよ
16
だからにしてじゃナイスカ
ベクトル ABを 求めるでしょ
引き算の時は
こんな形で
で
この ベクトルに 垂直な
ベクトルを ｃベクトルとでもして
Cベクトル＝（ｘ、ｙ） とすれば
ここからは
さっきと全く同じ
後は 計算だけ
17
－３とｘ を かけたもの
ぷらす
４とｙを かけたもの
が
0になる
ｃ ベクトル（ｘ、ｙ）
の 大きさは １
18
これを 解いて
19
ｘ＝ぷらすまいなす 4/5
20
ｙ＝ ぷらすまいなす 3/5
21
検算をしてみると
22
だいじょだ
23
この問題は
今から
３０年以上、前
東京の ちょっと お上品な
感じ の する ガッコで
実際に 出題された問題
24
ベクトルの
大きさが 等しい と言ってるから
大きさを 等しい にする
式を 作るでしょ ➀
25
それから
二つのベクトルの
足し算 と 引き算で
ベクトルを 作って
（ 成分が 出たから ）
26
成分に よりだ頼んで
垂直条件を
計算すると
うっかり
頭の中で
出来たと思った瞬間に
もーしわけない
試験の時は
さいごまで
書いてください
ナタメ
垂直条件を 計算したら ＝０
になったので
aベクトル+ｂベクトル
と aベクトル-bベクトルは
直交する
27
次は
二つのベクトルがあって
片方は 文字が入ってる
三角形ABCの 一つの
角が 90度に 成る
様に
ｋの値を 定めよ
三角形と言うくらいだから
角が 3っつあります
28
まーこのー (昭和 ジョーク ）
かく
えー の 方からですね
（ 昭和 46～7年のころだったかな 当時 小学校の
３，４ 年生 くらいの時に
当時の 総理大臣 田中 角栄 さんが 演説に やってくるというので
友人の 家に行き 、クリーニング屋 の 3階から
へぇ～ ・・・・・・・
数学と共に甦る 昭和の 断片的な 記憶でした 。）
角Aが 90度のとき
ACと ABが 垂直
二つの ベクトルは 出てますので
垂直条件に 当てはめて
29
こんなかんじか
30
次に ∠ Bが 90°の時
ABベクトルは 出てるけど
CB ベクトルが まだなので
計算して
この二つの ベクトルの
垂直条件で
31
こんな感じに
32
角Cが 90度の ときは
さっき CBベクトルを
求めたから
CB ベクトルと AC ベクトルの
垂直条件から
33
解の公式で
34
こんな感じに
大きく 3通り
４つの 答えが 出て来ました
お疲れ様です。
家庭菜園と ざっかや
メニュウ ページ リターン ）
