スローライフの森　数１　＆　自家菜園

01

ベクトルの　垂直

二つのベクトルがあって

ソレゾレ　成分が　分かっています

この　ベクトルが　互いに

垂直なため　の　条件は

次の式で　表されることを

証明しなさい

と言うものです

行ってみましょう

02

これだけでは

どうにもならないから

何か　使える　条件を

外から
　

持ってこないと　じゃ　ナイスカ

図のような　形に　


二つの　ベクトルの　位置ベクトルを

かいて

三角形OAB　で考えると


ピタゴラスの定理で

角AOBが　90度　ならば

OAの二乗　+　OBの二乗　＝　ABの二乗



ナタメ



逆に

OAの二乗　+　OBの二乗　＝　ABの二乗


になれば　　∠AOB　＝　90度

に持ち込もうと


03

ベクトルの　大きさを　それぞれ

計算するでしょ


OA


OB

04
それから

AB　は　OB-OA

だから

成分を　計算してから

AB　の　大きさを　求めて

05

こんな感じに

等式が　成り立てばいいのだから


06

これを　左辺を　展開して

整理すると

条件式が　出て来ました

07
ナタメ

これは　平面ベクトルの　垂直条件


よく

期末　試験とかに　出ますよね

08

実際に　計算問題を　やってみると
　
一つの　ベクトルの

成分が　与えられてて


このベクトルに　垂直な

ベクトルの

成分を

求めよ

09

垂直な　ベクトルを

ｂベクトルとでもして

ｂベクトル＝（ｘ、ｙ）

とおくと

垂直条件から

３とｘを　かけたもの　

ぷらす

４とｙを　かけたもの

＝　０　になる

10


それと

ｂベクトルは　大きさが　1だから

こんな感じに

なるでしょ

11

これを　計算して

見ると

12


ｙは　9/25　の　平方根なので

プラスマイナス

が付いて

プラスマイナス3/5


（　計算問題で　４　の　平方根は

　　と言ったら　±2


　　√4　は　と言ったら

　　　　　　＝　2　だいじょですか　）

これも　よく　小問で出ますよね




13

話を　元に戻して


ｙが出たので

ｘは　マイナスプラス　4/5


複合同順

14
こんなかんじで

検算をすると

15

次は

さっきは

一つの　ベクトルの　成分が

与えられてて

そのベクトルに　垂直な　おおきさ

が　１　の　ベクトルの成分

を　求めよ


今回は

少し　回り道するだけ


二つの　ベクトル成分から

ベクトルの　引き算で

でてきた　ベクトルに対して


垂直な　単位ベクトル　：

　大きさが　１　のベクトルの成分を

求めよ

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だからにしてじゃナイスカ

ベクトル　ABを　求めるでしょ

引き算の時は

こんな形で



で


この　ベクトルに　垂直な

ベクトルを　ｃベクトルとでもして


Cベクトル＝（ｘ、ｙ）　とすれば

ここからは
　
さっきと全く同じ

後は　計算だけ


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−３とｘ　を　かけたもの

ぷらす

４とｙを　かけたもの

が

0になる



ｃ　ベクトル（ｘ、ｙ）　

の　大きさは　１

18

これを　解いて

19

ｘ＝ぷらすまいなす　4/5


20

ｙ＝　ぷらすまいなす　3/5

21





検算をしてみると

22




だいじょだ

23

この問題は

今から

３０年以上、前


東京の　ちょっと　お上品な

感じ　の　する　ガッコで

実際に　出題された問題


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ベクトルの

大きさが　等しい　と言ってるから

大きさを　等しい　にする

式を　作るでしょ　➀

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それから

二つのベクトルの

足し算　と　引き算で

ベクトルを　作って


（　成分が　出たから　）



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成分に　よりだ頼んで

垂直条件を

計算すると

うっかり

頭の中で
　

出来たと思った瞬間に

もーしわけない

試験の時は

さいごまで

書いてください


ナタメ

垂直条件を　計算したら　＝０

になったので


aベクトル+ｂベクトル

と　aベクトル-bベクトルは

直交する

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次は

二つのベクトルがあって

片方は　文字が入ってる


三角形ABCの　一つの

角が　90度に　成る

様に


ｋの値を　定めよ






三角形と言うくらいだから

角が　3っつあります


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まーこのー　(昭和　ジョーク　）

かく

えー　の　方からですね
（　昭和　46〜7年のころだったかな　当時　小学校の

　　３，４　年生　くらいの時に

当時の　総理大臣　田中　角栄　さんが　演説に　やってくるというので

友人の　家に行き　、クリーニング屋　の　3階から

へぇ〜　　・・・・・・・

数学と共に甦る　昭和の　断片的な　記憶でした　。）





角Aが　90度のとき

ACと　ABが　垂直

二つの　ベクトルは　出てますので

垂直条件に　当てはめて

29

こんなかんじか

30


次に　∠　Bが　90°の時


ABベクトルは　出てるけど

CB　ベクトルが　まだなので

計算して


この二つの　ベクトルの

垂直条件で

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こんな感じに

32


角Cが　90度の　ときは

さっき　CBベクトルを　

求めたから


CB　ベクトルと　AC　ベクトルの

垂直条件から


33


解の公式で

34

こんな感じに


大きく　3通り

４つの　答えが　出て来ました



お疲れ様です。











家庭菜園と　ざっかや

メニュウ　ページ　リターン　　　　）