スローライフの森　数１　＆　自家菜園

（　晴れ部屋へ　家庭菜園と　ざっかや

メニュウ　ページ　リターン　　　　）

01
大人のさび落とし




三角形　ABC　があって

正三角形だって

ベクトル　AB +　BC 　+　CA　の

成分を　考えて


cos Θ　+　cos (Θ　+　120°）＋

　　　　　　cos（　Θ　+　240°）　＝０

を　証明せよ。

02

三角関数　で

加法定理　ってのが　計算方法として

あるのだけれど


実際計算すると　＝０　になるんですが

それを　使わずに

ベクトルの　成分を　利用して

証明してください

と言うものです。


ちなみに

加法定理は


03

cosの場合は

こんな感じで

展開して行って

04

値が　出てるとこを　数値に　直すでしょ


こんな感じで


05


ね　計算すると　＝０

になる


はい


じゃー　なくってですね

答えは　そうだよ

ベクトルの　成分を　考えてさ

06


正三角形がありました


ABC　です

ここで

一辺の長さを　1としよう

そうすると　楽だから


その前に

三角形の　辺を　ベクトルで

1週　足し合わせると

元に　戻ってくる

０　ベクトルでしょ


零ベクトル　の成分は　（0,0）そこで


07

正三角形　ABC　の　頂点の一つAを

原点に　置いて


∠XOB　を　Θ　にすれば


正三角形の　1辺を　大きさ　1としたから

08

たとえば　aベクトルが

ｘ軸と　なす角が　Θ　


だとしたら


あったじゃナイスカ


ベクトルの大きさは



ベクトルの　ｘ　成分は

ベクトルの　ｙ　成分は



09

それを　用いて

ABベクトルを　成分の計算をすると


ｘ成分は　cosΘ　

ｙ成分は　sinΘ


10

次に

BC　ベクトルなんだけど

ｘ軸との　なす角を　考えると


Θに　120°　足した形


B　に　ｘ軸と　平行な　補助線を引けば

同位角　+　120度


それを　踏まえて

成分の計算



11

CA　ベクトルも

ｘ軸との　なす角を　考えると

12


Cに　x軸と　平行な　補助線を引けば


Bがなす角の　同位角　+120°で

成分を　計算すると

13

成分は　こんな感じ

14

で　ベクトルを　成分で

足し算すると

15

ｘ　成分が

もろに　証明せー

の　式に　なってて


16

先に　計算しておいた　

正三角形　ABC　の　辺を　使った

足し算が　＝０　だったから


与式は　＝０　になる

ちなみに

ｙ成文も　＝０　になる


17
この問題は


正三角形ABC　の　重心を　O　として

原点に　取り

OA+OB+OC=0　を　使っても

証明できる

18

重心のところで

似たようなのが　あるから

こんがらがらないように


これ　と　これ　

見たいのがあってですよ

19

重心を　O　として

原点に取るほう


正三角形　の　性質を　利用して


角度を　計算

それから　　

重心から　各頂点までを　半径1とする

円を　書くと

20


こんな感じになります


21

そこで

ここまでで

紙面で計算してきた成分を


足し合わせた　ものが　＝０なのだから

へ　持ち込んで



22

こんな　かんじで

23

今度は　成分を　計算してね




24

OAは　ｘ軸上だから

（a、０）

AB　を　行く前に


OB　を　求めて


AB= OB-OAを　使おうと


25
ベクトルの　大きさと　なす角が　分かれば

成分が　計算できるから

26

ところで

題意では　OB　出はなくて　BOベクトル

なので


BO　ベクトルは　向きを　180度変えて




で

AB ベクトルの方は　OBーOA　を　使って

27
こんな感じ

28


最後に

正五角形の問題


29

2π/5

ってのは　72ど

30


作図していてですよ

正五角形は

丁度　ここがさ

72°になるじゃ　ナイスカ

一辺の長さを　1とすれば

Aを　原点に　重ねて

ABを　ｘ軸上に　とれば

成分　一つ目は　AB(1,0)

たぶん　cosの　成分が　証明に

使えるんですね

31
順次　






なす角を　同位角で　動かしながら

それぞれの　ベクトルの　x軸とのなす角

を　見ていくと

紙面での成分計算の様に

なってきて

32

正多角形を　一つの角から

順に　元のとこまで

一周　ベクトルで　足すと


零ベクトル　になるので

その時に


33

なるでしょ

34

その時に

成分を見たら


あ　証明できた






お疲れ様です。


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01
ベクトルの大きさ

問題

3定点があって

その他に　どこかに　動点Pがいる


PA　+PB　+PC　の　ベクトルの和の

大きさが　3であるとき

動点P は　どんな　軌跡になってますか

という問題

02

ここで

成分　で書いてある　ベクトルは

原点O　の　位置ベクトルと

同じ意味なので


位置ベクトルで

書き換えて

03

動点Pを　P(x,y)　と置けば

ベクトルの　引き算で

PA　PB　PC　ベクトルの　成分が出るので

04

こんな感じで

05
この3つを　足し合わせて

出来た　ベクトルを

06


ベクトルの　大きさを　計算すれば

これが　＝３　なんだって

07

これは　円の　方程式だね

原点を　中心にした

半径1の円が

動点ｐの軌跡


08

次は

やはり

動点P　の軌跡を　求めるんですが

2つ　あります

09
位置ベクトル　表示にして

計算して

10


それぞれの　ベクトルの大きさが

等しいのだから


11
計算してくと

12

なんかさ

直線の　方程式になったと


答えは　これでいいんだけど

これってなに

13



余り　複雑でないので

少し計算すると

Pの　軌跡は　

y切片が　１で　傾きが　−１

の直線


14

2点　A,B　の方は

2点を通る直線の公式で

ｙ＝ｘ+1


15


2直線の傾きを　書けると　-1

なので


直交していて

直感で

なんか　ABの　真ん中辺かな

16

そこで

2直線の　交点の座標を

出すでしょ

17

線分ABで

中点の座標を　計算するでしょ

18

同じじゃナイスカ

ABの　中点を通り

直交してるので

Pの軌跡は

ABの垂直二等分線になっていた


19

もう一つ　あるんですが

こっちは


さっきの　PA　PB　ベクトルの

成分を　


20
足して

大きさを　計算すると

21

辺々2乗して

22


式変形で

23


これは　中心が　（0,1）の　半径1の円

24

次はですね

ちょっとこじゃなく

わかんなくて


とらを　見ました


たしかに　こうすれば

出るんだけど


そこへ　もってく

数学的な　カン　とか

もののみかた　が

まだ　ピーンとこない


んん〜


兎も角行ってみましょう


25

まず　

2つの　動点の　ｘ成分

出会うとこを　γ



26

2つの　動点の　ｙ成分

出会うとこを　δ



Qの速度ベクトル　の　大きさは　5で



これらから

関係式が　3っつ


これだけなの

27

そしたらさ

➀から


28

�Aから





�C、�Dと二つ式が出て来て

29
T>０

個々が味噌なんだけど

こんな感じにして

等号が成り立つので

30
係数を　比較したら

でてしまったと

31

大きさは　あってるでしょ

出た値を　使って　じゃナイスカ

32


T＝３


γ(ｶﾞﾝﾏ)　と　(デルタ)δ　は


７と12

33

まとめるとこんな感じで



お疲れ様です。




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01

ベクトルの成分



aベクトル：　
座標平面上の　原点　O　を

始点とする　ベクトル　

OA=a ベクトル

とする時の　終点Aの座標　（　a1,a2 )

を　ベクトルの　成分という

02

ベクトルの　成分は

aベクトル＝　（a1,a2)　とかく



任意の　ベクトル　a　の　

ｘ軸　、ｙ軸　への　

正射影　の　大きさの　組み　（　a1,a2 ）

の事である


03

ベクトルの大きさは

次の　式で　求められ

04

ベクトルと　x軸の　なす角を　θ　とする時


ベクトルの　成分　a1,a2　は

ベクトルの　大きさと

なす角　θ　を使って

表すことができ


05

x軸　成分のa１は　

ベクトルの　大きさと　cos　θで

06


ｙ軸　成分のa2は　


ベクトルの　大きさと　sin　θで

07

こんな感じに

08

まとめると　こんな感じに

求めることができる

09

基本ベクトル

ｘ軸　、　ｙ軸　の　正の向きと　同じ向きの

大きさ１の　ベクトルで



基本ベクトルと言い

成分の時のように　

e1,e2 や　 i,j

で　表す


（　専門書は　i,j で書いてあることが多い　）


10

ベクトルの成分の　計算は

成分　ごとの　計算になり

こんな感じ



11

ベクトルが　成分で　表されていれば

ABベクトルは

次の場合

ベクトルの引き算で

成分を　計算した形で



ベクトル　の　大きさは


こんな感じに　書ける


12




O ,A ,B　が　共線　の条件は


各成分が　実数倍に　成っていること

こんな感じに





分点の　ベクトルは

成分ごとに　分点ベクトル　の　公式





位置ベクトルは

始点O　が　決まっているとき

aベクトル　＝　OAベクトル


13

以上を　踏まえまして

問題を　行ってみましょう

14

計算ミスを　しないように

成分の　ｘ成分　y成分

ごとの　けいさんだよ

15

計算ミスしないように

工夫していただいて


16

次の　実数倍は

同じ　平面上に

大きさや　向きの違う

二つの　ベクトルがあると



そのベクトルの　実数倍を使って

平面上の　全ての　ベクトルが

表現できる　を


実際に　計算する問題で


aベクトル　と　bベクトルの　実数倍を使って

cベクトル　を表現するときの

実数倍　m, n,を　計算してみましょう


17

成分ごとの　実数倍　表示に

成分を　代入して

式が　2本　分かんない　文字が　2つ


18

ｍ　の方を　消去の形で

ｎを　求めると

19


ｎ＝１


もとの　式➀’　に　n＝１を　代入して

20



ｍ＝１


実際に　入れて見ると

なるでしょ


21

（３）は

さらに　平面上の　ベクトルを

2つ　づつ　使って


新しく　2つの　ベクトルを　作ったんですが


片方に　実数倍ｋが　入ってるうですよ


この　ｋ　を　

二つの　ベクトルが　


平行になる様に　　調節したい

22


平行　だけを　いうならば　

一方の　ベクトルが　他方の　ベクトルの

実数倍に　なっていればいいので


まず　くらべる　2つの　ベクトルの

成分を　個々に求めてじゃナイスカ

23

整理して

この　2本の　ベクトルの

各成分が

同じ　実数倍に　成るように

調節すると

24

まず

式が　2本　　文字が　2つ

なので

解けるんですが



実数倍は　なんばいか　

まず　ｍ　を求めて



25

計算を

26


ｍは　　-1/2　　か



話は　72度っ位　ずれるけど

かとり　は　線香派？　ベープ派？

27

話を　元に戻して


ｍ＝-1/2を　元の式に　代入して

28

上の　方に　するか


ｋ＝-1/2

29

実際に　ｋ＝-1/2　を　代入したら

ベクトルが　実数倍　（ｍ＝-1/2）

になってるか　見てみると

30

なってますね

31

問題

平面上の　2つの　ベクトルの

実数倍で


3つ目の　ベクトルを　表現する問題

32


（１）の方は

平面上の　全ての　ベクトルは

2つの　

向きや　大きさの　違う

ベクトルを　使って


表現できる

33


まず　型に　はめて

成分を　代入

34


式が　2本　文字が2つ

計算して

L＝-1/2

35

➀に　L=-1/2　を　代入すれば

ｋ＝-7/2

36

ややっこしけど

実数倍の　式に　それぞれ

K,　L　を　代入して　計算したら

Cベクトル　に　成ったでしょ


37

（２）

この平面上の　ベクトルは

適当な　実数　ｘ、ｙ　を使って

x　aベクトル　+ｙ　bベクトル

の　形に　なることを


証明せよ


38

そこで

この平面上の

任意の　ベクトルを

B(p,q)　として

ここで大事なのは　ｐ、ｑは　実数を明記


適当な　実数　ｘ、ｙが　実際に

存在するか　計算すべく

型に入れて　計算するとですよ

39

今求めてるのは

ｐ、ｑは　任意の　実数で

実数倍の　ｘ、ｙが　存在することを

調べてます


ｘ、ｙを　求めて

p、q　が　そのまま入っていても

ｐ、ｑが　実数なので

一定の　式に　成れば　いい


40
ｘ　を　消去で

ｙ　を　任意の　実数ということに

なってる　p、qで　表すと



➀に　ｙを代入して　ｘを　求めると




41

p、qは　任意の　実数ですが

ｘ、ｙが　一定の　式に　成ったでしょ

42

だから　こんな感じの　実数倍の　式で



この平面上の　全てのベクトルは

aベクトル　bベクトルの　

実数倍の和の形に

表現できる




実際に　

aベクトル　bベクトル　に　この　ｘ、ｙの

実数倍表示を


計算したら


43

ねー

任意の　ベクトルに　成るでしょ

44
今度は　平行の問題

45

平行か　見る　二つのベクトルの

成分を　計算しておいて


実数倍に　各成分がなってればいいので


ベクトルが　2本

1本目の　成分は

46


2本目の成分は


これらが　実数倍の　関係に

なってれば　　平行だから

47

式が　2つ　分かんない文字が　2つ


解けるんですが


まず　実数倍の　ｍから

これが　存在してれば　平行だ


48

ｍを　➀式に　






代入したらば

49


ｘ＝1/2

50

次は

乱筆　で　すみませんが

問題文を　読んでいただいて



題意より

二つのベクトル　

aベクトル　と　bベクトル　がある



bベクトルは　

aベクトル　の　2倍の　大きさである


aベクトル　と　bベクトル　の

なす角は　　π/6　である


aベクトルの　成分は　(√3、1)である




51

普通ベクトルの　なす角と言ったら

x軸との　角度　なので


で

成分が　出ていれば


ベクトルの大きさを　求め

それぞれの　cos 　　sin　　を

含んだ式が　

aベクトル　の　成分に等しいので

共通の　θを　探して

なす角が　一つに決まる

52

問題では　

aベクトル　bベクトル　のなす角と

言っていて

これは　ｘ軸との　角度の事ではない


aベクトルは　成分が　出ているので

ｘ軸とのなす角を　求めることが

できるから


まず　aベクトルの　大きさを　求め


53
この　aベクトルの　cos シータ　

が　√3


この　aベクトルの　sin　シータ

が　１

なのだから

54

単位円を使って

共通の　θを　探すとじゃナイスカ

aベクトルの　x軸との　なす角は


丁度　これも　π/6

55

だから　aベクトルのなす角は　30ど

π/6


bベクトル　は　aベクトル　と

やはり　30度　π/6　をなし

大きさは　2倍

56

aベクトルの　大きさが　2なのだから



ｂベクトル　の　大きさは　

4ということになる

57
aベクトル　と　ｂベクトル

は　なす角が　π/6
　

30度　で　2通り　考えられる


x軸上の　重なる方は

ベクトルの大きさが　そのまま　ｘ成分


y成分は　０　だから

58

ｂベクトル

1本目は　（４、0）


もう一方は　　さらに

aベクトルに　x軸から　π/6

30ど　増し加えた形

π/3

60度



59

ベクトルの大きさが　４　なす角が


ｂベクトル　の　x軸とのなす角が

π/3　　60度

と分かれば

60

ｂベクトル　の　x成分　は　b1＝２


ｂベクトル　の　ｙ成文　は　b2＝2√３




61


ナタメ

ｂベクトル　の　成分は　

（　4,　0　）　または　(　2,　2√3　）　



お疲れ様です。



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01

平面の重心ベクトルに関しまして

重心って何

紙型　の　重心を記して　そこを

糸でつるせば　つり合うってやつ


3角形⇒　こんな感じでした

三角形ABCの　角A　の　対辺BC　の中点を　D

とすれば

ADを　２：１　に内分したところが

重心

02

ベクトルに　位置ベクトルっていうのがあります


始点　O　の位置が決まってるとき

三角形　ABC　の　各ABC　を　位置ベクトルを使うと

OA　OB　OC　ベクトル　になる

03


問題ですが


三角形ABCの　重心をG 　とする時

位置ベクトルを使うと



重心の　位置ベクトル　OGは

次の様に　なる

事を　証明する問題


04

そこで

いままで　知ってる　知識で

重心は　三角形　ABC　の場合

BC　の　中点　D　を　書き加え

AD　を　２：１　に　内分したところだから


この　G　を　OG　ベクトルとして


05


OG　ベクトルは　OA ベクトル　ODベクトルの

分点ベクトル

06

分点ベクトルの

公式に　入れて　計算すると

OP　ベクトルは

aベクトルに　遠い方の　n倍

bベクトルに　遠い方の　m倍

だから

07

計算したら

こんなデショ


で

題意では

OG OA OB OC 　しか使ってなくて

ODは　都合で　書き足したものだから


ODを　使える　ベクトルで

置き換えるべく

08

ODベクトルは

OB　ベクトル　OC　ベクトルの　

中点の分点ベクトル


だから

09

出てきた　ODベクトルを

さっきの　OG　ベクトルの式に　代入すると


10

何ので

三角形の重心を

位置ベクトルで表すと


任意の　（　どこでもいい　）　点　O

に対する


各頂点の位置ベクトルの　和　に

　1/3　倍したものになる




11


（２）は　いま　証明したものの　証明なんですが


こんな感じで

位置ベクトルに　書ける　とき

G　は　重心であることを

証明せよ



仮に　重心をG'　と置いて

この式を　使うと

こうなるんですが


これが　重心です



12

ところで　さっき　（１）で

三角形ABCの　重心を　位置ベクトルで

表したものと



OG'　は　同じくなる

G　と　G'　は

同じ点だ

ゆえに

三角形　ABCの　重心は　これこれ

と持って行くようです。



13

今度も　位置ベクトルなんですが

OA　+　OB　+　OC　＝　０

⇒　O　は　重心であることを　証明せよ

14



普通に　考えれば

三角形の　重心は　

三角形の　内部にあるはずなので



15

こんな感じに　図に書いて

三角形のABCの重心は　BCの　中点Dに

Aから　線を　引いて

ADを　２：１に　内分だから



そのときの　　

BCの中点D　の　位置ベクトルの

分点ベクトルは

16


これを


条件式に　代入して

そうすると

今度は

題意には　なかった　Dが残るんだけど



17


何かに　似てませんか

見え隠れしてる

18

こんな感じにしたら

ADを　２：１に　内分してるよ

ここで大事なのは


AOD　が　一直線上にあることを

証明すること



ベクトルは　平行移動できる


ベクトルが　等しいということは　

とても大事なことで

19

AO　ベクトルと　　２　ODベクトルは　平行


AOベクトルの大きさは　2倍のDOベクトル



点Oを

重ねると　一直線になる


20

A O D　は　一直線上にあり

AO　：　OD　＝　２：１

つまり　O　は

三角形ABCの　重心である




21


次は

問題を

読んでもらって


正三角形上に

P,Q,R　と言う　定点があり

ソレゾレ

同時に　同じ速度で


BC　CA　AB　方向に　移動して


その時の　点を　X 、Y、 Z　で　表すときに

この　しばらく　動く　三角形XYZの

重心は　定点に　成ってることを

証明して　チョーだい

という問題。


22


三角形XYZの重心が　定点であることを言うには

初期の状態が

三角形PQR　なのだから


三角形PQRの　重心と　三角形XYZの　重心が

同じことを　言えばいい


23

そこで

三角形　PQR　の重心を　G　とすれば

位置ベクトルを使って

表現できるのだから


へてから

三角形XYZの方を　考えると


24

三角形XYZの各位置ベクトルを　


元の三角形PQR　に　移動分

PX　QY　RZ　を　足す形で

表して

25


整理すると

こんな感じで

26

ここで　何かしないとさ


で

PX　QY　RZ　はそれぞれ

速さは　おなじ


方向は　　

BCベクトル　
CAベクトル　
ABベクトル

方向

そこで

BC=a　　ベクトル　　
CA=ｂ　ベクトル　
AB=ｃ　ベクトル

とおくと


27


こんな感じでさ

そうすれば

PX=ｋa QY=kb RZ=kc

な感じに　実数倍にしてじゃナイスカ

28

こんな感じに

書き換えて

あと少し

29

三角形XYZの重心をG'として

こんな感じに　なると


これが

OG=OG'になればいいのですよ


30

ところで

一番元の　正三角形ABCの

それぞれの　辺を　


BC=aベクトル

CA=bベクトル

AB=cベクトル

としたので

ベクトルの　足し算で

a+b+c=０


一周して　元に戻ってるでしょ



31

なので

三角形XYZの　内側の　カッコ内が　零ベクトル

32

OG=OG'　になったということは

三角形　XYZ　の　重心は　定点である。





お疲れ様です。
（　晴れ部屋へ　家庭菜園と　ざっかや

メニュウ　ページ　リターン　　　　）

お知らせ

未確定ですが

何分申し訳ないのですが

大人の　さび落としは

４月　いっぱい　までは　お休み

５月　以降　できるだけ　速く

復活　の予定です。


方向性といたしましては

当　趣味の　数学　大人のさび落としは

今年中には　終わらないと思いますが

とりあえずの　目標てきな　

第一　ゴールを　複素数とベクトル

までを　目標に

よじ登りたいと

思っております


途中から　理解が　上がってきて

加速　できればいいですが


かなり　無理があるので

なんて言えば良いカナ



・・・

兎も角

安全な　youtubeも　多数ありますので

私のブログは

後回しで　良いですから

なお

当ブログの　問題は

３０　年　以上前の　過去問を

中心に　構成されています。


できるだけ　

順序正しく　問題を　解いていくことで

面白く　見ていただければ　幸いですが


兎に角

たいへんですので

・・・

さいさん　書きますが

途中から　

後から　来る　

かわいいのへの

叔父さんからの　手紙に　成ればなで　やってますため



よじ登っています






何分　私が　趣味でやってますため

万が一にも　学生さんが

間違いを　犯しては　いけませぬため


もう一回　勉強　しなおしています。







（　晴れ部屋へ　家庭菜園と　ざっかや

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ベクトル　004　分点ベクトル


その前に
お詫び

003　で

対角線が　先にあったので

対角線上に　　点を取った

ことから




一直線を　いきなり　言ってましたが



ベクトルが　平行で　かつ　

ABベクトル　＝　ｋ　AC　ベクトルだから

A,B,C が　一直線上にある



の様に　書いた方が

安全かと

004　では　そういった書き方に　成っています。




　




01
三角形　ABC
　
で　

AB=ｐ　ベクトル

AC＝qベクトル　と　する時


（１）AC の　中点を　D　とする時

BDベクトルを

pベクトル　、qベクトル　で

表せ


（２）

BC　を　2：1　に　内分　する点を

E　とする時

AEベクトルを　pベクトル　、ｑベクトル　

で　表せ


（３）

BDを　４：１　に　内分　する点を　F

とする時　AFベクトル　を

ｐベクトル　、　ｑベクトル　で表し

A,E,Fは　一直線上　にあることを

証明せよ。


02


ベクトルの　引き算の　定理を　使って

ABベクトルは　pベクトル

ADベクトルは　　qベクトルの　半分だから

03

これを　定理通り　計算すると

BDベクトル


04

（２）　BCを　２：１に　内分　する点を

E　とする時

AEベクトルは

分点ベクトル　になってるので

定理は


05

定理　通り　計算すると

AEベクトル

06
（３）

BDを　４：１に　内分する点を

F　とする時

AFベクトルを　ｐベクトル　、qベクトル

で表し　A,F,Eが　一直線上にあることを

証明せよ

一直線上にあるは

AF　＝　ｋ　AE

を　言えればオーケイ



07

AFベクトルは　ABベクトル　+　4/5　BDベクトル


08

AFベクトル　AEベクトル　を

出してきて


09

この二つのベクトルは

同じ　(pベクトル+2qベクトル　）

の　実数倍同士

セオリー　どおりに　するには

実数倍の　係数を　どちらかに　まとめてしまえば

ベクトルは　平行

平行な　二つの　ベクトルの　始点を合わせると

AF　＝　K　AE　の　形になるので

10

ｋ＝3/5


A,F,Eは　一直線上にある。

11


三角形　ABC　において

CAベクトル　＝aベクトル

CBベクトル　＝bベクトル

とする時

（１）　ABを　２：３に　内分　する点P

について

CPベクトル


（２）　（１）の　CPを　１：２に

内分する　点　Q　について

AQベクトル



12

（１）

分点ベクトルなので

定理どうりに

分母は　２+3


分子は　左右のベクトルに

ソレゾレ　遠い方を　かけて

足し合わせると

13


（２）

AQベクトルは

ここに　なるから

14

CQベクトル　-　CAベクトル

15

三角形　OAB において

OAベクトル＝aベクトル

OBベクトル=bベクトル

とする


OCベクトル＝３aベクトル

ODベクトル=3bベクトル

OEベクトル＝2aベクトル　+　bベクトル　

の時

3点　C,D,Eの位置関係を

図示せよ


16

作図　していきますと


DEベクトルと　DCベクトルは　平行な　ベクトル

始点を　重ねると

DE＝　ｋ　DC


一直線上に　ある

17

一直線上にあり

Eは　DCを　２：１に　内分する点

18
三角形　ABC　の内部に　点P　があり

3APベクトル　+　４BPベクトル　+　5CPベクトル　＝0ベクトル

である

三角形　ABP　BCP 　CAP　の　面積比を

求めよ


19

3つの　小さな　三角形は　大きな

三角形ABC　の　内部にあるので


大きな　三角形ABCと　各　内部の　三角形を

面積比を　くらべながら


三角形ABC　を　基準に　面積比を　出そうと


20

三角形ABC　と　三角形ABP　において

条件式を　両辺　７　で割って

さらに　少し　式変形すると


21

ABを　４：３に　内分する点を　D　とすれば


DPベクトル　は　四角く　囲った　ところ




22


5/7　CPベクトル　＝　PD　ベクトル　なので

CPベクトル　平行　PD　ベクトル


点Pを　重ねると


23

PDベクトル　＝　5/12　CDベクトルで

一直線上に　D,P,C　がある

三角形　ABC　と　三角形　ABP　は

底辺が　AB　で　共有していて


高さは　DC　DP　の　比に　等しいので


面積は　三角形　ABCを　１　とすれば　

三角形ABP は　5/12

24

同様に　

三角形BCA　と　三角形BCPで


条件式を

また　変形して

今度は　９で　両辺を割って

少し　変形して

25


四角く　囲った　分点ベクトルは

EPベクトル

26


AP　ベクトルと　PEベクトルは　平行で

点Pを　重ねれば　一直線上になるので

27

面積比は　おなじ　BC　を　底辺にする

高さの比が　AE　PEの　三角形なので




28

三角形　BCAを　1にすれば　

三角形　BCPは　1/4


29

三角形　CAB　と　三角形CAP　についても

条件式の変形で

今度は　8で割って

30

８　で割ったことで

分点ベクトルを　作りだし

31

BPベクトル　と　PFベクトル　は

平行

点Pを　合わせれば

一直線


32


三角形CAB　と　三角形CAP は

CAが　共通ていへんなので

BF 　PF　が
　

高さの　比になる


33
三角形　CABの面積を　1としたら

三角形　CAPは　1/3


34


であるから


三角形　ABP ：　BCP:　CAP 　＝　５：３：４


お疲れ様です。

（　晴れ部屋へ　家庭菜園と　ざっかや

メニュウ　ページ　リターン　　　　）

大人のさび落とし　ベクトル003　ベクトルの実数倍




ベクトルの実数倍

01

ベクトル　と　実数　の　積　は



02

ベクトル　の　平行条件　　＆　共線条件は



03

ベクトル　の　実数　計算は



04

昔話

ベクトルは

平行移動で　合成できる



05

a ベクトル　　　、　　b　ベクトル　があり

どちらも　零ベクトル　でなく


また

同一　方向でも　、　正反対でも　ないとき


この平面上の　全ての　ベクトル　は　

この　a ベクトル　　、　b ベクトル　の

実数倍　の　和の　形で　表現でき



06



次のようなことが　言える



07

分点　ベクトル



08

中点ベクトル



09

外分ベクトル　（１）


10


外分ベクトル　（２）



11


この考え方は　大切で

a ベクトル　　、　b　ベクトル　に「分けて

書くと



12


これを　R +　S ＝　1


T　+　（１−T）　＝１


と置き換えると

分点ベクトルは　こんな感じに　表現できる



13


問題



14

AB　を　２：３　に　ない分する点P　と

a,ｂ　ベクトルの　向きを　考慮に入れて

PA　、　PB　を　ｃベクトルで　表すと

一直線上で　正反対に　２　と　３



15

対辺の　DC　も　同じように

今度は　ｄベクトルを　使って


a,b　ベクトルの　向きを　考慮に　入れると

DQ=2d　　CQ=-3ｄ



16


PQベクトルを　四辺形の　半分から　上側と　下側で

a,b,c　ベクトル　を　使って　表現すると


こんな感じで

ソレゾレ　３　倍　、　2倍　して　足し合わせると



17

これを　PQベクトル　＝　にしたらば

出ましたよ



18


同じ問題を


今度は　BD　を　３；２に　内分　する　点R　を　使って

求めると


相似形だからですよ


こんな感じの　比の値



19


分かちゃ　いるつもりなんですが

正確に　やってよ　なんて言われると

ちょっと　かゆいとこがあるから


孫の手を　探してですよ


あ　これこれ



20

ウ　ですか

台形も　ついでに

で



21

ウ　だからさ


PR　の　大きさは　こんな


大きさで　やってしまったけど



22


同じように　RQ　の大きさは　こんな


だから　この　二つの　ベクトルを　足し算　したものが　

PQ　ベクトルだから


さっきと同じで

なったでしょ



23

ところで

なす角って何


これが　なす角



24

次は　こんな問題です



25

図を描いて


AB ベクトル　と　DC　ベクトル　の補助を


ｃ　、　ｄ　を　使って


今回は　中点ですので

こんな感じに　ｃ、ｄ　ベクトルを　書き込んで



26

四辺形の　半分から　左側　と　右側

で


MN　ベクトル　表現して


辺々たしたら成ってしまいました。



27


次は　図は　ありません

問題を　読んでいただいて




28


作図すると　こんなでいいのかな



29

条件式を　辺々　引いて



30

なんか　式が出て来て

ベクトルの　引き算の　定理は　こんなですから


これを　少し　変形すると



31

これはさ

BC　と　ED　ベクトルになって

これは　対辺だから

ここまでで

平行四辺形



32


もし　対角緯線の　ベクトルの　なす角が　

直角ならば　ひし形　だけど

条件式からは　そこまでは　分からない


よって


四辺形　BCDE　は　平行四辺形。



33

問題



34


平面上の　全ての　ベクトルは　方向の　違う　

零でないベクトルの　和で　全て表現できるので

色々　ベクトルを　計算して　出していくと



35


まず　AE　は　a　+　ｂ　ベクトル



36


今度は　BD　は　２ｂ　-　a　　ベクトル


37

ちょっと整理して

対角線の上に　　一直線上の　ベクトル　の　形で

式が　2本


変数が　2つ
お詫び

003　で

対角線が　先にあったので

対角線上に　　点を取った

ことから




一直線を　いきなり　言ってましたが



ベクトルが　平行で　かつ　

ABベクトル　＝　ｋ　AC　ベクトルだから

A,B,C が　一直線上にある



の様に　書いた方が

安全かと




38


これを　三角形　ABFを　使って

ベクトルの和


さらに　そこに

2変数の入った式を　それぞれ代入



39

整理すると


これはさ





係数比較　法　みたいな感じで



40

実数倍の　ｍ　と　ｋ　の式が　2本


ｍ　を　消去したら


BF　＝　ｋ　倍の　BD　だから


41

ねー

BF　が　BD　の　1/3」　　になってるでしょ

3等分点　の　一つだ



42


つぎは　


問題



43
条件式の　ABを　P　を　使った式に


セオリー　どうりに　変形すると


AB　が　こんなだから



44

これをさ

整理してくと



45

んんー　よくわかんないな



46


方向は　同じ方向　で　、　PCは　APの2倍

APC　の順に　AP　と　２倍のAP　の長さを


AP　に　PC 　を　P点　で　つなげて　見ると


Pは　AC　を　１：２　に　内分していた。






私は　クリスチャン

この世の年は　言いたくないけど

おじさんです


頭良く無いんだけど


主に　助けられてですよ


栄光在主




年上なの


若く見られたいもんだからさ

とし　した

人は　永遠を　願う。


だから　人を　祝福できる　人に　成りたいね。



（　晴れ部屋へ　家庭菜園と　ざっかや

メニュウ　ページ　リターン　　　　）

ベクトルの大きさ

01
ベクトルの大きさに関して

ベクトルは　大きさと　方向をもっていて

絶対値を付けて書くと

大きさを　表す

そこで　問題

一辺の長さが　１の　正六角形


ABCDEF　において

AB=a , BC=b, CD=c

とする時

（　ベクトルの　書き方を　省略してます　）

次の　ベクトルを　作成し　大きさを　

求めよ


02


正六角形なので

順次　a ,b, c


とベクトルを　書き込むと

その先は

対辺に平行で　大きさが同じだけど

向きが　正反対

の　マイナス　ベクトルのなる


それを　踏まえて

平行移動　して　作図　しようと



ベクトルの　足し算　引き算

は　こんなだから


03

で　絶対値を　つけて

大きさだけ求めれば

辺2本ぶんで　２


次は

少し　補助線を　書いて

交点を　G　とすると


正三角形が

こんな感じで

ベクトルの　書式で

足し算を　してくと

04


AAベクトル　始点と終点が　くっついてる

零ベクトル　大きさは　０


05

３番目も

ベクトルを　書式で　計算して

06

補助線を　くわえ

最終的なとこは　DHベクトル　大きさは２



07

次は　正方形です


問題


08


たせば

対角線なのだから

大きさは　√2


09

引き算の　ときは　

定理通り

始点を　合わせて


そうすると　DBベクトル


10

大きさは　√２


定理はこんな感じで

おぼえてますが

11

次の　式を　証明せよ


何か　違うところで

見かけて

苦労した思い出がありますが


12


3つに　場合分けして

➀

a、ｂ、　ベクトルが　平行でないとき

三角形　ABC　を　使って

13

三角形になるためには

長さが　短かったり　直線に　

なったりしないように

14

�A

a,b,ベクトルが　向きが同じ時


右側が　＝　になる


15

�B

a,b,ベクトルが　向きが正反対の時

左側が　＝　になる


16

全て　=0　の時は　a,または　bが　=0の時


17
次は

問題を　読んで

当時　この問題に

図が　ついていたか　いなかったか

は　分かりませんが

図が　ついてないと

難しくなる


18

幸い

今回は　初めから　図がついていて

19

なす角は

この辺は　中学生の方が

頭の　回転が　速いと思われます。


群馬の　高校入試問題

イマハ　あんななんだ

難しくない？


テレビの　前なら　安心してられるけどさ

大変だったですね


で

20

次も　図があるので

作図してですよ

ちょっと　不正確すぎるので

21

もうすこし　ましに書くと

22

だからにして

√3倍




お疲れ様です。







（　晴れ部屋へ　家庭菜園と　ざっかや

メニュウ　ページ　リターン　　　　）

大人のさび落とし

ベクトル


01

大きさだけを　持つ量を

スカラー

といいます


ちからー　とでも覚えればさ


でも　


スカラー　だ　からね

02

スカラー　量に　方向性が　ついてくると

ベクトル　と呼ぶようになります




表現の仕方は

やじるしを　上につけたり

03

ベクトルの　スカラー　量は


絶対値　の様に　書いて

大きさを　表します

速度　ベクトルの　スカラ量は　速さ

04

ベクトルで

方向と　スカラ―量が　等しいものを

等しいといい


向きは　平行　

大きさは　おなじ



これは　当たり前のようだけど

すごく大事なとこで


05

再度　確認いたしまして


で
れい　ベクトル


方向に関しては　考えられない

数のゼロとは　違うんだけど

06


大きさが　おなじで

方向が　正反対だと

逆ベクトル


マイナスを　つけて

07


ベクトルの和

ベクトルは

大きさと　向きが　等しければ　


等しいのでした


そこで

平行移動　して

都合の良いところに　持って行っても

OK　なので

平行四辺形の　対角線で　考える方法

（　始点を　揃える時　）


08

三角形法

一方の　ベクトルの　終点に　

他方の　ベクトルの　始点を　

平行移動して

和にする場合

09

点の　書き方の　違いで

文字は　違うけど

言ってることは　おなじ

10


ベクトルの差


平行四辺形方では


始点を　揃えておいて


ｂベクトルの　逆ベクトルを

a　ベクトルの　終点に　足し合わせて


その先を　あたらしく　 ｃ　とでも置くと


11

ベクトルの始点を　揃えて

A　引く　B　は


引かれる　方向に向かって

ベクトル

これは　よく使います


12

次のは

平行四辺形法　と同じことなんだけど

13

ベクトルは　

平行移動して　合成できる　ものなのです

14

交換の法則

結合の法則

が使え



霊ベクトルを　足すと・・・・



霊ベクトルから　引くと・・・・


同じベクトルを　引くと・・・


逆ベクトルを　使って　引き算を　足し算にすると・・


15


証明問題

ベクトルの問題て
　どんな何だろうね


16


図のように　平行四辺形　を　作図して

AB　+　CD　＝

CDを　平行移動したものが　BEなので

AB+BE＝AE



17

AD　+　CB　＝

の方は　CBを　平行移動したものが　DE

なんで

AD+DE=AE

左辺　=右辺


18

頭の体操


チリとり　があります

1本　自由に　動かして

ごみを　チリとり　の外に　出してください

答えは

キットだれか知ってると思いますので

19

さっきの　証明問題を

角度を変えて


左辺〜　右辺への　橋渡しを

BD　と考えて

AB　CD　を　それぞれ

BD　DB　を　使って　表すと


20

これを　足すでしょ


赤括弧の　定理を　使って


21


さらに　角度を　変えて

同じ問題

与えられた　式を　変形して行きます


22

引き算の　形になりました

23

この　引き算は

セオリー　通り　なので

DB


24

右辺も　DB


25

これがさ

一番　面白いカナ

左辺ー右辺＝０　になればいいのだから

こんな感じで


26

なる


27

次も　同じことなんだけど

二つの　セオレム　を　使って

28
次も

簡単でしょ


29

次は　ちょっと考えましょう

30

落ち着いて　かんがえればさ

こういうわけだからさ



31


最後は

昔むかしの　その昔

某国立大の入試問題



３０年　以上前だからさ


32

大体　こういった問題は

平行四辺形に　なるんじゃないか

そこで

対辺に　着目して

ベクトルの　引き算で

対辺を　出してくるでしょ

33

条件式が　あるから

34

条件式を　変形してくと

ほら

出てきたでしょ


35

だからさ

平行四辺形だよ



お疲れ様です。