大人のさび落とし　重心ベクトル　005　: スローライフの森　数１　＆　自家菜園

2020年06月20日

大人のさび落とし　重心ベクトル　005　

01

平面の重心ベクトルに関しまして

重心って何

紙型　の　重心を記して　そこを

糸でつるせば　つり合うってやつ

3角形⇒　こんな感じでした

三角形ABCの　角A　の　対辺BC　の中点を　D

とすれば

ADを　２：１　に内分したところが

重心

02

ベクトルに　位置ベクトルっていうのがあります

始点　O　の位置が決まってるとき

三角形　ABC　の　各ABC　を　位置ベクトルを使うと

OA　OB　OC　ベクトル　になる

03

問題ですが

三角形ABCの　重心をG 　とする時

位置ベクトルを使うと

重心の　位置ベクトル　OGは

次の様に　なる

事を　証明する問題

04

そこで

いままで　知ってる　知識で

重心は　三角形　ABC　の場合

BC　の　中点　D　を　書き加え

AD　を　２：１　に　内分したところだから

この　G　を　OG　ベクトルとして

05

OG　ベクトルは　OA ベクトル　ODベクトルの

分点ベクトル

06

分点ベクトルの

公式に　入れて　計算すると

OP　ベクトルは

aベクトルに　遠い方の　n倍

bベクトルに　遠い方の　m倍

だから

07

計算したら

こんなデショ

で

題意では

OG OA OB OC 　しか使ってなくて

ODは　都合で　書き足したものだから

ODを　使える　ベクトルで

置き換えるべく

08

ODベクトルは

OB　ベクトル　OC　ベクトルの　

中点の分点ベクトル

だから

09

出てきた　ODベクトルを

さっきの　OG　ベクトルの式に　代入すると

10

何ので

三角形の重心を

位置ベクトルで表すと

任意の　（　どこでもいい　）　点　O

に対する

各頂点の位置ベクトルの　和　に

　1/3　倍したものになる

11

（２）は　いま　証明したものの　証明なんですが

こんな感じで

位置ベクトルに　書ける　とき

G　は　重心であることを

証明せよ

仮に　重心をG'　と置いて

この式を　使うと

こうなるんですが

これが　重心です

12

ところで　さっき　（１）で

三角形ABCの　重心を　位置ベクトルで

表したものと

OG'　は　同じくなる

G　と　G'　は

同じ点だ

ゆえに

三角形　ABCの　重心は　これこれ

と持って行くようです。

13

今度も　位置ベクトルなんですが

OA　+　OB　+　OC　＝　０

⇒　O　は　重心であることを　証明せよ

14

普通に　考えれば

三角形の　重心は　

三角形の　内部にあるはずなので

15

こんな感じに　図に書いて

三角形のABCの重心は　BCの　中点Dに

Aから　線を　引いて

ADを　２：１に　内分だから

そのときの　　

BCの中点D　の　位置ベクトルの

分点ベクトルは

16

これを

条件式に　代入して

そうすると

今度は

題意には　なかった　Dが残るんだけど

17

何かに　似てませんか

見え隠れしてる

18

こんな感じにしたら

ADを　２：１に　内分してるよ

ここで大事なのは

AOD　が　一直線上にあることを

証明すること

ベクトルは　平行移動できる

ベクトルが　等しいということは　

とても大事なことで

19

AO　ベクトルと　　２　ODベクトルは　平行

AOベクトルの大きさは　2倍のDOベクトル

点Oを

重ねると　一直線になる

20

A O D　は　一直線上にあり

AO　：　OD　＝　２：１

つまり　O　は

三角形ABCの　重心である

21

次は

問題を

読んでもらって

正三角形上に

P,Q,R　と言う　定点があり

ソレゾレ

同時に　同じ速度で

BC　CA　AB　方向に　移動して

その時の　点を　X 、Y、 Z　で　表すときに

この　しばらく　動く　三角形XYZの

重心は　定点に　成ってることを

証明して　チョーだい

という問題。