スローライフの森　数１　＆　自家菜園

01

ベクトルの成分



aベクトル：　
座標平面上の　原点　O　を

始点とする　ベクトル　

OA=a ベクトル

とする時の　終点Aの座標　（　a1,a2 )

を　ベクトルの　成分という

02

ベクトルの　成分は

aベクトル＝　（a1,a2)　とかく



任意の　ベクトル　a　の　

ｘ軸　、ｙ軸　への　

正射影　の　大きさの　組み　（　a1,a2 ）

の事である


03

ベクトルの大きさは

次の　式で　求められ

04

ベクトルと　x軸の　なす角を　θ　とする時


ベクトルの　成分　a1,a2　は

ベクトルの　大きさと

なす角　θ　を使って

表すことができ


05

x軸　成分のa１は　

ベクトルの　大きさと　cos　θで

06


ｙ軸　成分のa2は　


ベクトルの　大きさと　sin　θで

07

こんな感じに

08

まとめると　こんな感じに

求めることができる

09

基本ベクトル

ｘ軸　、　ｙ軸　の　正の向きと　同じ向きの

大きさ１の　ベクトルで



基本ベクトルと言い

成分の時のように　

e1,e2 や　 i,j

で　表す


（　専門書は　i,j で書いてあることが多い　）


10

ベクトルの成分の　計算は

成分　ごとの　計算になり

こんな感じ



11

ベクトルが　成分で　表されていれば

ABベクトルは

次の場合

ベクトルの引き算で

成分を　計算した形で



ベクトル　の　大きさは


こんな感じに　書ける


12




O ,A ,B　が　共線　の条件は


各成分が　実数倍に　成っていること

こんな感じに





分点の　ベクトルは

成分ごとに　分点ベクトル　の　公式





位置ベクトルは

始点O　が　決まっているとき

aベクトル　＝　OAベクトル


13

以上を　踏まえまして

問題を　行ってみましょう

14

計算ミスを　しないように

成分の　ｘ成分　y成分

ごとの　けいさんだよ

15

計算ミスしないように

工夫していただいて


16

次の　実数倍は

同じ　平面上に

大きさや　向きの違う

二つの　ベクトルがあると



そのベクトルの　実数倍を使って

平面上の　全ての　ベクトルが

表現できる　を


実際に　計算する問題で


aベクトル　と　bベクトルの　実数倍を使って

cベクトル　を表現するときの

実数倍　m, n,を　計算してみましょう


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成分ごとの　実数倍　表示に

成分を　代入して

式が　2本　分かんない　文字が　2つ


18

ｍ　の方を　消去の形で

ｎを　求めると

19


ｎ＝１


もとの　式➀’　に　n＝１を　代入して

20



ｍ＝１


実際に　入れて見ると

なるでしょ


21

（３）は

さらに　平面上の　ベクトルを

2つ　づつ　使って


新しく　2つの　ベクトルを　作ったんですが


片方に　実数倍ｋが　入ってるうですよ


この　ｋ　を　

二つの　ベクトルが　


平行になる様に　　調節したい

22


平行　だけを　いうならば　

一方の　ベクトルが　他方の　ベクトルの

実数倍に　なっていればいいので


まず　くらべる　2つの　ベクトルの

成分を　個々に求めてじゃナイスカ

23

整理して

この　2本の　ベクトルの

各成分が

同じ　実数倍に　成るように

調節すると

24

まず

式が　2本　　文字が　2つ

なので

解けるんですが



実数倍は　なんばいか　

まず　ｍ　を求めて



25

計算を

26


ｍは　　-1/2　　か



話は　72度っ位　ずれるけど

かとり　は　線香派？　ベープ派？

27

話を　元に戻して


ｍ＝-1/2を　元の式に　代入して

28

上の　方に　するか


ｋ＝-1/2

29

実際に　ｋ＝-1/2　を　代入したら

ベクトルが　実数倍　（ｍ＝-1/2）

になってるか　見てみると

30

なってますね

31

問題

平面上の　2つの　ベクトルの

実数倍で


3つ目の　ベクトルを　表現する問題

32


（１）の方は

平面上の　全ての　ベクトルは

2つの　

向きや　大きさの　違う

ベクトルを　使って


表現できる

33


まず　型に　はめて

成分を　代入

34


式が　2本　文字が2つ

計算して

L＝-1/2

35

➀に　L=-1/2　を　代入すれば

ｋ＝-7/2

36

ややっこしけど

実数倍の　式に　それぞれ

K,　L　を　代入して　計算したら

Cベクトル　に　成ったでしょ


37

（２）

この平面上の　ベクトルは

適当な　実数　ｘ、ｙ　を使って

x　aベクトル　+ｙ　bベクトル

の　形に　なることを


証明せよ


38

そこで

この平面上の

任意の　ベクトルを

B(p,q)　として

ここで大事なのは　ｐ、ｑは　実数を明記


適当な　実数　ｘ、ｙが　実際に

存在するか　計算すべく

型に入れて　計算するとですよ

39

今求めてるのは

ｐ、ｑは　任意の　実数で

実数倍の　ｘ、ｙが　存在することを

調べてます


ｘ、ｙを　求めて

p、q　が　そのまま入っていても

ｐ、ｑが　実数なので

一定の　式に　成れば　いい


40
ｘ　を　消去で

ｙ　を　任意の　実数ということに

なってる　p、qで　表すと



➀に　ｙを代入して　ｘを　求めると




41

p、qは　任意の　実数ですが

ｘ、ｙが　一定の　式に　成ったでしょ

42

だから　こんな感じの　実数倍の　式で



この平面上の　全てのベクトルは

aベクトル　bベクトルの　

実数倍の和の形に

表現できる




実際に　

aベクトル　bベクトル　に　この　ｘ、ｙの

実数倍表示を


計算したら


43

ねー

任意の　ベクトルに　成るでしょ

44
今度は　平行の問題

45

平行か　見る　二つのベクトルの

成分を　計算しておいて


実数倍に　各成分がなってればいいので


ベクトルが　2本

1本目の　成分は

46


2本目の成分は


これらが　実数倍の　関係に

なってれば　　平行だから

47

式が　2つ　分かんない文字が　2つ


解けるんですが


まず　実数倍の　ｍから

これが　存在してれば　平行だ


48

ｍを　➀式に　






代入したらば

49


ｘ＝1/2

50

次は

乱筆　で　すみませんが

問題文を　読んでいただいて



題意より

二つのベクトル　

aベクトル　と　bベクトル　がある



bベクトルは　

aベクトル　の　2倍の　大きさである


aベクトル　と　bベクトル　の

なす角は　　π/6　である


aベクトルの　成分は　(√3、1)である




51

普通ベクトルの　なす角と言ったら

x軸との　角度　なので


で

成分が　出ていれば


ベクトルの大きさを　求め

それぞれの　cos 　　sin　　を

含んだ式が　

aベクトル　の　成分に等しいので

共通の　θを　探して

なす角が　一つに決まる

52

問題では　

aベクトル　bベクトル　のなす角と

言っていて

これは　ｘ軸との　角度の事ではない


aベクトルは　成分が　出ているので

ｘ軸とのなす角を　求めることが

できるから


まず　aベクトルの　大きさを　求め


53
この　aベクトルの　cos シータ　

が　√3


この　aベクトルの　sin　シータ

が　１

なのだから

54

単位円を使って

共通の　θを　探すとじゃナイスカ

aベクトルの　x軸との　なす角は


丁度　これも　π/6

55

だから　aベクトルのなす角は　30ど

π/6


bベクトル　は　aベクトル　と

やはり　30度　π/6　をなし

大きさは　2倍

56

aベクトルの　大きさが　2なのだから



ｂベクトル　の　大きさは　

4ということになる

57
aベクトル　と　ｂベクトル

は　なす角が　π/6
　

30度　で　2通り　考えられる


x軸上の　重なる方は

ベクトルの大きさが　そのまま　ｘ成分


y成分は　０　だから

58

ｂベクトル

1本目は　（４、0）


もう一方は　　さらに

aベクトルに　x軸から　π/6

30ど　増し加えた形

π/3

60度



59

ベクトルの大きさが　４　なす角が


ｂベクトル　の　x軸とのなす角が

π/3　　60度

と分かれば

60

ｂベクトル　の　x成分　は　b1＝２


ｂベクトル　の　ｙ成文　は　b2＝2√３




61


ナタメ

ｂベクトル　の　成分は　

（　4,　0　）　または　(　2,　2√3　）　



お疲れ様です。



（　晴れ部屋へ　家庭菜園と　ざっかや

メニュウ　ページ　リターン　　　　）