2020年06月24日
大人のさび落とし 008 ベクトル 正多角形
01
大人のさび落とし
三角形 ABC があって
正三角形だって
ベクトル AB + BC + CA の
成分を 考えて
cos Θ + cos (Θ + 120°）＋
cos（ Θ + 240°） ＝０
を 証明せよ。
02
三角関数 で
加法定理 ってのが 計算方法として
あるのだけれど
実際計算すると ＝０ になるんですが
それを 使わずに
ベクトルの 成分を 利用して
証明してください
と言うものです。
ちなみに
加法定理は
03
cosの場合は
こんな感じで
展開して行って
04
値が 出てるとこを 数値に 直すでしょ
こんな感じで
05
ね 計算すると ＝０
になる
はい
じゃー なくってですね
答えは そうだよ
ベクトルの 成分を 考えてさ
06
正三角形がありました
ABC です
ここで
一辺の長さを 1としよう
そうすると 楽だから
その前に
三角形の 辺を ベクトルで
1週 足し合わせると
元に 戻ってくる
０ ベクトルでしょ
零ベクトル の成分は （0,0）そこで
07
正三角形 ABC の 頂点の一つAを
原点に 置いて
∠XOB を Θ にすれば
正三角形の 1辺を 大きさ 1としたから
08
たとえば aベクトルが
ｘ軸と なす角が Θ
だとしたら
あったじゃナイスカ
ベクトルの大きさは
ベクトルの ｘ 成分は
ベクトルの ｙ 成分は
09
それを 用いて
ABベクトルを 成分の計算をすると
ｘ成分は cosΘ
ｙ成分は sinΘ
10
次に
BC ベクトルなんだけど
ｘ軸との なす角を 考えると
Θに 120° 足した形
B に ｘ軸と 平行な 補助線を引けば
同位角 + 120度
それを 踏まえて
成分の計算
11
CA ベクトルも
ｘ軸との なす角を 考えると
12
Cに x軸と 平行な 補助線を引けば
Bがなす角の 同位角 +120°で
成分を 計算すると
13
成分は こんな感じ
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で ベクトルを 成分で
足し算すると
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ｘ 成分が
もろに 証明せー
の 式に なってて
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先に 計算しておいた
正三角形 ABC の 辺を 使った
足し算が ＝０ だったから
与式は ＝０ になる
ちなみに
ｙ成文も ＝０ になる
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この問題は
正三角形ABC の 重心を O として
原点に 取り
OA+OB+OC=0 を 使っても
証明できる
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重心のところで
似たようなのが あるから
こんがらがらないように
これ と これ
見たいのがあってですよ
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重心を O として
原点に取るほう
正三角形 の 性質を 利用して
角度を 計算
それから
重心から 各頂点までを 半径1とする
円を 書くと
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こんな感じになります
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そこで
ここまでで
紙面で計算してきた成分を
足し合わせた ものが ＝０なのだから
へ 持ち込んで
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こんな かんじで
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今度は 成分を 計算してね
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OAは ｘ軸上だから
（a、０）
AB を 行く前に
OB を 求めて
AB= OB-OAを 使おうと
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ベクトルの 大きさと なす角が 分かれば
成分が 計算できるから
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ところで
題意では OB 出はなくて BOベクトル
なので
BO ベクトルは 向きを 180度変えて
で
AB ベクトルの方は OBーOA を 使って
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こんな感じ
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最後に
正五角形の問題
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2π/5
ってのは 72ど
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作図していてですよ
正五角形は
丁度 ここがさ
72°になるじゃ ナイスカ
一辺の長さを 1とすれば
Aを 原点に 重ねて
ABを ｘ軸上に とれば
成分 一つ目は AB(1,0)
たぶん cosの 成分が 証明に
使えるんですね
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順次
なす角を 同位角で 動かしながら
それぞれの ベクトルの x軸とのなす角
を 見ていくと
紙面での成分計算の様に
なってきて
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正多角形を 一つの角から
順に 元のとこまで
一周 ベクトルで 足すと
零ベクトル になるので
その時に
33
なるでしょ
34
その時に
成分を見たら
あ 証明できた
お疲れ様です。
（ 晴れ部屋へ 家庭菜園と ざっかや
メニュウ ページ リターン ）
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