スローライフの森　数１　＆　自家菜園

ベクトル　004　分点ベクトル


その前に
お詫び

003　で

対角線が　先にあったので

対角線上に　　点を取った

ことから




一直線を　いきなり　言ってましたが



ベクトルが　平行で　かつ　

ABベクトル　＝　ｋ　AC　ベクトルだから

A,B,C が　一直線上にある



の様に　書いた方が

安全かと

004　では　そういった書き方に　成っています。




　




01
三角形　ABC
　
で　

AB=ｐ　ベクトル

AC＝qベクトル　と　する時


（１）AC の　中点を　D　とする時

BDベクトルを

pベクトル　、qベクトル　で

表せ


（２）

BC　を　2：1　に　内分　する点を

E　とする時

AEベクトルを　pベクトル　、ｑベクトル　

で　表せ


（３）

BDを　４：１　に　内分　する点を　F

とする時　AFベクトル　を

ｐベクトル　、　ｑベクトル　で表し

A,E,Fは　一直線上　にあることを

証明せよ。


02


ベクトルの　引き算の　定理を　使って

ABベクトルは　pベクトル

ADベクトルは　　qベクトルの　半分だから

03

これを　定理通り　計算すると

BDベクトル


04

（２）　BCを　２：１に　内分　する点を

E　とする時

AEベクトルは

分点ベクトル　になってるので

定理は


05

定理　通り　計算すると

AEベクトル

06
（３）

BDを　４：１に　内分する点を

F　とする時

AFベクトルを　ｐベクトル　、qベクトル

で表し　A,F,Eが　一直線上にあることを

証明せよ

一直線上にあるは

AF　＝　ｋ　AE

を　言えればオーケイ



07

AFベクトルは　ABベクトル　+　4/5　BDベクトル


08

AFベクトル　AEベクトル　を

出してきて


09

この二つのベクトルは

同じ　(pベクトル+2qベクトル　）

の　実数倍同士

セオリー　どおりに　するには

実数倍の　係数を　どちらかに　まとめてしまえば

ベクトルは　平行

平行な　二つの　ベクトルの　始点を合わせると

AF　＝　K　AE　の　形になるので

10

ｋ＝3/5


A,F,Eは　一直線上にある。

11


三角形　ABC　において

CAベクトル　＝aベクトル

CBベクトル　＝bベクトル

とする時

（１）　ABを　２：３に　内分　する点P

について

CPベクトル


（２）　（１）の　CPを　１：２に

内分する　点　Q　について

AQベクトル



12

（１）

分点ベクトルなので

定理どうりに

分母は　２+3


分子は　左右のベクトルに

ソレゾレ　遠い方を　かけて

足し合わせると

13


（２）

AQベクトルは

ここに　なるから

14

CQベクトル　-　CAベクトル

15

三角形　OAB において

OAベクトル＝aベクトル

OBベクトル=bベクトル

とする


OCベクトル＝３aベクトル

ODベクトル=3bベクトル

OEベクトル＝2aベクトル　+　bベクトル　

の時

3点　C,D,Eの位置関係を

図示せよ


16

作図　していきますと


DEベクトルと　DCベクトルは　平行な　ベクトル

始点を　重ねると

DE＝　ｋ　DC


一直線上に　ある

17

一直線上にあり

Eは　DCを　２：１に　内分する点

18
三角形　ABC　の内部に　点P　があり

3APベクトル　+　４BPベクトル　+　5CPベクトル　＝0ベクトル

である

三角形　ABP　BCP 　CAP　の　面積比を

求めよ


19

3つの　小さな　三角形は　大きな

三角形ABC　の　内部にあるので


大きな　三角形ABCと　各　内部の　三角形を

面積比を　くらべながら


三角形ABC　を　基準に　面積比を　出そうと


20

三角形ABC　と　三角形ABP　において

条件式を　両辺　７　で割って

さらに　少し　式変形すると


21

ABを　４：３に　内分する点を　D　とすれば


DPベクトル　は　四角く　囲った　ところ




22


5/7　CPベクトル　＝　PD　ベクトル　なので

CPベクトル　平行　PD　ベクトル


点Pを　重ねると


23

PDベクトル　＝　5/12　CDベクトルで

一直線上に　D,P,C　がある

三角形　ABC　と　三角形　ABP　は

底辺が　AB　で　共有していて


高さは　DC　DP　の　比に　等しいので


面積は　三角形　ABCを　１　とすれば　

三角形ABP は　5/12

24

同様に　

三角形BCA　と　三角形BCPで


条件式を

また　変形して

今度は　９で　両辺を割って

少し　変形して

25


四角く　囲った　分点ベクトルは

EPベクトル

26


AP　ベクトルと　PEベクトルは　平行で

点Pを　重ねれば　一直線上になるので

27

面積比は　おなじ　BC　を　底辺にする

高さの比が　AE　PEの　三角形なので




28

三角形　BCAを　1にすれば　

三角形　BCPは　1/4


29

三角形　CAB　と　三角形CAP　についても

条件式の変形で

今度は　8で割って

30

８　で割ったことで

分点ベクトルを　作りだし

31

BPベクトル　と　PFベクトル　は

平行

点Pを　合わせれば

一直線


32


三角形CAB　と　三角形CAP は

CAが　共通ていへんなので

BF 　PF　が
　

高さの　比になる


33
三角形　CABの面積を　1としたら

三角形　CAPは　1/3


34


であるから


三角形　ABP ：　BCP:　CAP 　＝　５：３：４


お疲れ様です。

（　晴れ部屋へ　家庭菜園と　ざっかや

メニュウ　ページ　リターン　　　　）