2020年07月03日
大人のさび落とし 012 ベクトル 共線
01
本日は
共線条件です
3点が 一直線上に あるを
ベクトルを 使って 式に すると
という問題
行ってみましょう
恐縮ですが
手書きの 問題を 読んでいただいて
02
準備といたしまして
LM ＝ k MN
一点を 共有した形に
実数倍 で イコール
これは 平行の中の
特殊な場合
一直線上にある
ベクトルは イコールだと
方向 大きさが 等しい
03
今まで
こんなことを やったですよね
やったじゃナイスカ
平行で 大きさが等しい時
平行な時
04
平行な中で
1っ点を 共有していれば
直線になるですよ
05
戻って
問題を 見える形に
してくと
四辺形 辺 AD,BCの
内分点 E,F
06
今度は 縦に
AB,EF,DC を ｐ：ｑ に
内分する点を
L,M,N とすれば
L,M,N が 一直線上に あることを
証明せよ
07
L,M,Nが 一直線上 に
あることを 言うには
二つのベクトルが
１点を共有した形の
実数倍 に 表現できれば
平行のなかの 一直線
位置ベクトルを 考えよう
08
それで
今日は 長くなりますが
最終的な ベクトルを
入れ子 ヲ 使って
最小単位の ベクトルで
全部 書き換え
位置ベクトルを使って
比較する 方向で
09
入れ子 構造は
ロシアの民芸品 マトリョーシカ
に見るあれですよ
知らない？
マトリョーシカ。
10
兎も角
最終的に
L,M,N が 一直線に ある形に
ベクトルを 持ってくんですが
OM OL ON OM
同じものもありますが
さらに
その下の 入れ子で
考えると
OMは EFベクトルを
ｐ：ｑに 内分する
分点ベクトル
だから
11
分点ベクトルの 公式は
こうでしたよね
で OM が 一つ下の 入れ子
12
OLは ABを ｐ：ｑにない分する
分点ベクトル
だから
13
ここで
もう一つ したの
一番下の 入れ子を 作るんだけど
これは
四辺形 ABCD の それぞれの
点の 位置ベクトルで
a,b,c,d,ベクトル
OL ベクトルは
一番下の 入れ子になった
14
ON ベクトルも
一番下の 入れ子にして
15
ここまでを 整理すると
LM MN
OM OL ON OM
OE OF
a,b,c,d,
こんな感じの
入れ子になってまして
16
まだ残ってる
OE OFを
OE は ADを ｍ：ｎ に 内分
する 分点ベクトルだから
17
OF ベクトルは BCを
ｍ：ｎ にない分する
分点ベクトルだから
18
全部 一番下まで
入れ子ができたから
一番下の 入れ子で
一番上の ベクトルを
表現すると
言い換えれば
音楽で いうとこの 音符の長さ
一番最小単位の 音符の 長さで
全部の 音符を かぞえると
みたいに
19
LM ベクトルの方から
計算して くでしょ
20
こんな感じに まとまりました
21
次は MN ベクトルも
計算してくでしょ
22
計算間違いしないように
23
大丈夫かな
24
こんな感じに
なったので
25
ここからじゃナイスカ
実数倍に 成っていれば
LM と MN は
M を 共有してますので
実数倍が できれば 一直線上
26
係数 ｋ を 探ってきますと
27
MN に ｋをかけたら LMになる
28
kは ｍ/ｎ
実数倍 で イコールになり（ 平行 ）
しかも
１点を 共有してるので（ 1直線上 ）
29
検算すると
なるでしょ
30
問題行ってみましょう
問題を 読んでいただいて
31
今回は 3等分点
が出てくるんですよ
なので
ちょっと やり方を
変えよう
32
証明するのは
対辺の 3等分点同士を 結んだ
3本の 線分の それぞれの
中点が
一直線上に あることを
証明してもらいたい
33
1点を 共有して 実数倍（等倍）
これは 一直線上だよね
それぞれの 中点を
P,Q,R,S とする時
34
まず PQベクトルを
右回り
左回り で
計算するでしょ
そして 足し合わせると
35
中点と 3等分点を 使って
3等分点の方は
aベクトル ,bベクトル
中点の方は
プラス マイナス
うまいこと
値が 出てきたでしょ
36
QRベクトルも
右回り
左回り
足し合わせて
打ち消しあって
37
で QRベクトル
値が さっきと おなじ
38
RSベクトルも
右回り
左回り
足して 打ち消して
39
ベクトルって
文字遊び みたい だけど
40
ちゃんと 計算すると
消えたりもするでしょ
RSベクトルも 同じ値
41
P,Q,R,S は 4点だから
ひだりから ３点づつに して
PQ と QR は
大きさが等しい
ということは 平行でもある
さらに １点を 共有してるので
１直線上にある
42
QR と RS は
等しく
大きさが おなじ
平行
さらに １点を 共有してるので
１直線上にある
ということは
P,Q,R,S は 一直線上にあり
この P,Q,R,S は AB,EG,FH,DC
の 中点だから
これらの 中点は 一直線上にある
43
問題を 読んでいただいて
44
3っつの 位置ベクトルの
終点が 一直線上に
並んでいるので
ABベクトルと BCベクトルを
つかって
45
一直線を 表現するでしょ
46
これを 展開して
左辺に まとめるじゃナイスカ
そこから
係数を 比較して
ひっぱり出してくるでしょ
47
足し合わせると
＝０
48
証明 できたと
お疲れ様です。
（ 晴れ部屋へ 家庭菜園と ざっかや
メニュウ ページ リターン ）
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