013 大人のさび落とし　共点　（　ベクトル　） : スローライフの森　数１　＆　自家菜園

2020年07月06日

013 大人のさび落とし　共点　（　ベクトル　）

01

共点　のベクトルの問題ですが

これは　余り　入試には

出ないと思いますが

時には

結果を　予想しなさい　

というお話です。

行ってみましょう

問題を　読んでいただいて

02
ここらへんで

交わって　そうだなぁ～

を　予測する

まず作図　をしてですよ

三角形ABC　の

BC　CA 　AB

の中点を

A1　B1　C1

03

一点　O を取り

三角形の　

内部でも　外部　でもよい

位置ベクトルに　するのかな

OA, OB, OC　の　中点を

A2 B2 C2

とする時

04

3直線

A1A2　　B1B2　　C1C2

は　一点で　交わることを

証明せよ

予想としては

A1A2　　B1B2　　C1C2

の　中点で　

交わってそうかな？

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作図は　O　が内部のある方を

使いますが

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予想としては

それぞれの　

(A1A2　　B1B2　　C1C2　）

中点で　交わってそうだ

そこで

それぞれの中点を

A3 B3 C3

と置いて

実際に　計算して

一致するか見る作戦です

位置ベクトルを　使って

OA3ベクトルは

（OA1+OA2)/2

入れ子で

OA1　OA2　を　計算して

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OA3=（a+b+c)/4

08

次に

B1B2の　中点を

B3として

B3　という点は

計算すれば　出てくる

実在する点ですが

A3と　重なるかどうかは

やってみないとね

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やっぱり

（a+b+c)/4　に　なったですか

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C1C2　の中点　C3も

見てきますと

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（a+b+c)/4

なりましたね～

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なので

今回は　予想が　的中して

これでよかったと

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次は

似たような　問題なんですが

読んでいただいて

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よくわかんないので

作図していきますと

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元になる　三角形ABCの重心Gと点O

点OとBC　　点OとCA　　点OとAB
でできている　

三角形OBC　三角形OCA　三角形OAB

の　重心　G1　G2　G3　に対して

AとG1　　BとG2　　CとG3

　
の　OG　　AG1　BG2　CG3

が　同一点で

交わることを　予測せよ

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作図が　

あんまり　正確ではないけど

ソレゾレ　3：1　に

内分する点で

交わってそうかな

そこで

まず

OGを　3：1　に　内分する点の

ベクトルOP　とすれば

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AG1を　3：1に　内分する

ベクトル　OQとすれば

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よさそうだな

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BG2を　3：1に　

内分する点のベクトルを

OR　ベクトルとすれば

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ん

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ところで

四面体の　重心は　これだって

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戻って

CG3を　3：1　に　内分

するベクトルを　

OSベクトルとすれば

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ベクトルが　ことごとく

一致したので

P,Q,R,S　は　同一点で

OG　AG1　BG2　CG3

は　同一点で　交わる

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問題

読んでいただいて

三角形の　

各頂点から

対辺に　おろした　垂線は

同じ　点で

交わることを　証明せよ

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頂角　BとC　から　それぞれ

対辺に　垂線を　おろすときに

交わる点を

H　と　するじゃナイスカ

Aから　対辺に　おろした垂線が

これと　交われば　

いいのだけれど

そこを　証明したいので

あえて　ここだけは

A　から　H　に　おろした線分

にしておいて

H　に対する　位置ベクトルで

考えるに

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始めに　引いた　2本の　垂線は

垂線だと　

はっきりわかってるので

ACベクトル　HBベクトルを

成分で　表せば

垂直条件は　成分に　よれ　で

こんな感じ　に　式➀

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もう一つの

始めに引いた　垂線

も

ABベクトルは　こんな成分で

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それに　垂直な　HCベクトルは

こんな成分だから

垂直条件は　成分に　よれ

で

式②

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三角形なので

各頂角から　対辺に

垂線を　おろすとき

2本は

確実に　交わる

3本目が　同じところで

交わってればいいのだけれど

頂角　Aから　Hに　おろした線は

BC　に　垂直とは

言ってない

ただ　Aから　Hに　おろした感じ

これが

対辺　BC　と　成分で

垂直ならば

三角形の　各頂点からの　

垂線は　同じ点で　交わること

なる