2020年10月29日
08011 大人のさび落とし 図形と方程式 ３直線が1点で交わる問題
３直線が1点で交わる問題
01
大人のさび落とし
図形と方程式から
3直線が 1点で 交わる問題
まず 三角形の 外心 の問題
02
三角形の
3本の 垂直二等分線が
一点で 交わるですが
証明するのに
座標を 使うと便利で
三角形の 底辺を ｘ軸
底辺の 垂直2等分線を
ｙ軸 にとって 考えると
03
今回は 底辺 の 垂直2等分線が
ｙ軸に 設定 されてるため
残りの 2本
DD' EE'
が それぞれ ｙ軸と交わる点が
一致していれば
04
この 二つの 交点が 一致していれば
良いから
直線を 方程式にして
実数解を求め
05
三角形の
頂点の座標から 設定していくと
こんな感じに 文字を 使って
じゃナイスカ
で 直線の 方程式
を求めたいので
傾きと 通る点 を はっきりさせたい
垂直二等分線だから
辺ABの 中点と
辺ABの傾きに 垂直な 傾きを
知りたい
06
中点の座標と
辺ABの傾き
その 傾きに 求める 直線の
傾きを 掛け合わせると
－１ になるのだから
ねー
07
一本目の 垂直二等分線
辺AB のは ですね
08
DD' とすれば
09
これが 辺AB の 垂直二等分線の
方程式じゃナイスカ
これが
辺BC の 垂直二等分線と
交わる点は
辺BC の 垂直二等分線は
ｙ軸に なる様に
設定したのだから
簡単でしょ
X=0 を 代入すればいいんだから
ん？
だからさ
ｙ軸っていう
直線は ｘ＝０ だからさ
10
文字の 入った式で出てくるけど
辺ABの垂直二等分線と
辺BCの垂直に等分線（ｙ軸 ）
の交点は
これ
11
同じ風に
辺ACの 垂直二等分線の
方程式を 求めるにさ
辺ACの 中点を だして
12
辺AC の 傾きをだして
求める 垂直二等分線の
傾きをｍ’として
掛け合わせると
－１になるんだから
13
辺ACの 垂直二等分線の
方程式を 求めてくと
14
こんな感じで
EE' とでもすれば
15
辺AC の 垂直二等分線と
辺BC の 垂直二等分線(ｙ軸）
の 交点は
16
こんな感じなんですが
これは さっきの
辺ABの垂直二等分線
と 辺BCの垂直二等分線 の
交点と
一致しているので
辺ABの垂直二等分線
辺BCの垂直二等分線
辺ACの垂直二等分線
は 一点で 交わる
これは
各 頂点から
等距離に ある 点を
直線にしたものなので
この 交点から
三角形の 頂点までを
半径とする 円を 描くと
三角形の 外心 になっている
17
これは
３０年以上前に
某国立大の入試に出たそうで
今回は 座標が 指定されているので
全部 計算 しなくてはなりません
こういう問題の時は
ちゃんと 朝ご飯を 食べてないと
やばいんだよ
18
今回は
座標が 決まってるので
3本の 垂直二等分線を
求めて
それから
2本づつ 交点を出して
一致すれば
3点が 一点で 交わっていると
19
実際に
座表に プロットすると
辺ABは x軸 になってるので
ｘ軸の 方程式は ｙ＝０
だから 垂直二等分線は
直感的に 座標の値から
ｘ＝２
なんだけど
20
この当たり前に 使ってるとこを
一応 証明しとかないと
まずいので
直線の直交条件 一般形から
これで
一本目 の
垂直二等分線
21
こんな感じで
22
この 垂直二等分線は
ｘ＝２ だから
連立方程式に
うまく 使わない手は ないでしょ
（ 日本語 大丈夫かな ）
最近 現国が 苦手だっただけに
日本語が 不安になることがあり
いるくおきな チョメチョメ
それは 違うんじゃ ないんじゃ
ナイんじゃ ないんじゃ
ないんですか とかさ
んー こそくな
あったじゃナイスカ
無かった？
もとい」
だから
こんな感じに
連立を 考えてさ
23
やってくことは
さっきと同じなんだけどさ
昔の人は
こういうのを
コツコツ 問題を 解いて
24
傾きを 求めるには
どうすればいいカナ
通過点は どうすればいいカナ
で 直線の方程式だから
25
垂直二等分線の方程式だから
辺の中点
26
辺に対する 直角な 傾き
27
これで 2本目
三本も
28
辺の中点
と 辺の傾きに対する
直角な 傾き
29
これを 計算して
30
これで
出そろったかな
31
整理して
3本の 垂直二等分線
の方程式
➀②③は
32
➀② と ➀③を
連立にしたら
楽だから
➀②の交点は
こんなで
33
➀③の 交点は
こんなで
一致したから
三角形の3本の 垂直二等分線は
一点で 交わっている
34
次は
中線も 行ってみましょう
中線と言うのは じゃナイスカ
この場合は
ここが 一点で交わればいいから
35
中線の 方程式に
後 必要な部品は
各頂点の 対辺の 中点だから
36
頂点と
37
一本づつ
中線を 求めてきますと
38
中点
と
傾きから
39
Aからの 中線の方程式は
40
こんな感じで
B からの 中線も
41
同様に
頂点の 対辺の 中点
頂点から 対辺の 傾き
42
Bからの 中線の方程式は
こんな感じ
43
最後に もう一本
頂角に対する
対辺の 中点を 求めて
44
頂点から 対辺の中点への
傾きを調べて
通過点と 傾きがあれば
直線の 方程式
45
こんな感じで
3本 中線が出たところで
46
中線の 組み合わせを してですよ
あ 理論に 基づいて
実験を するんですが
製品化するには
とても大変で
だってそうでしょ
たとえば
重心を 実証するには
均一な 紙に
均一な 線を引いて
切り出していく
均一だから
重心は 真ん中
その 真ん中の 集まりが
中線
理論は 簡単でも
自際にやるとなると
精度とか 誤差とか
イマハ 優れた 機械が
沢山あるので
資金があれば
複雑な 問題に関しても
実験して
実際は どれくらい 誤差が出るか
製品化 できるか
とか
・・・・・
もとい
47
工作機械は 大切だじゃなくてさ
大切なんだけど
もとい もとい
組み合わせで
中線同士の 交点を 求めてくと
48
ｙ＝２
49
ｘ＝ 4/3
50
もう一組も
Y＝２
51
ｘ＝4/3
52
よって
三角形の3本の中線は
一点で 交わる (重心）
53
最後は
3頂点から
対辺ん 下した
垂線が
3本とも 一点で 交わることを
証明せよ
Cを 頂点にすると
垂線が ｙ軸になるので
この方程式は ｘ＝０
一本もうけ
54
今度は Aからの 垂線
傾きは （１）の 垂直二等分線
と同じだけど
一応 こんな感じに
55
直線の方程式を
求めると
56
二本目
57
同様に
58
3本目も
59
出そろったとこで
➀② ➀③
で 組んだら
速いから
60
➀②は
61
➀③は
62
➀②と ➀③が
一致したので
三角形の各頂点から 対辺に
おろした 垂線は 一点で 交わる
で 本日のラスト
63
題意から
図を 起してくると
こんな感じでいいかな
64
座標を
入れていって
QSの 中点を 求め
65
OMと AB の 直線の方程式の
傾きを 求めると
OM の方程式
66
ABの方は
傾きだけ
求めたところで
傾き どうしを 掛け合わせると
－１
だから 直角
67
OM の直線の 方程式は
求まってるので
後2本
OM AR BP これが
一点で
交わることを
証明するには
まず ３本とも
直線の方程式を
だしておいて
68
ARは これ
69
BPは
70
こんなだから
これらを
➀②と➀③ 交点を それぞれ
求めて
71
文字だけれども
72
計算の仕方は
同じなんだから
73
ｘ、ｙは こんな感じ
74
➀③の方の 交点も
75
なんか よさそうだな
76
おー
あってる
77
ほっと一息
78
なのでした。
お疲れ様です。
（ 晴れ部屋へ 家庭菜園と ざっかや
メニュウ ページ リターン ）
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