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2021年02月18日
28002 複素数とベクトル 共役複素数 大人のさび落とし
28002
大人のさび落とし
共役複素数
01
複素数は 実数部分 と 虚数部分
から 成っているのですが
使ってる a,bの 文字は 実数 で
i を 虚数単位 と言う
i そのものは √ -1
しかし √の 中身は 正 と言う 約束なので
これを 区別して i
と書き
√の 外側に 添える
前回の 複素数の 計算で
ｘｙ 座標に a+bi を プロット
することを やったのですが
（ 複素平面 ガウス平面 ）
ピタゴラスの定理から
直角三角形の 斜辺は
ってやつ
これは これから あとに たくさん出て来ます
02
今日の メインは キョウヤク
複素数Z を a+bi
とすると
その 共役 な 複素数は
a-bi
これを
ゼット バー
絶対値 Z の 2乗を ＝ ゼット ・ ゼットバー
03
複素数Zが 実数になるためには
ゼットバー ＝ ゼット
04
それでは
問題です
05
絶対値 Z の値 を 知るには
絶対値 Z の 2乗を
06
それから
ゼット ・ ゼットバー の関係
まず 分母が
ゼロでない
与式 左辺を 二乗するでしょ
07
展開するのですが
バー のついた 計算の約束は
展開してきますと
08
こんな感じで
ここで
整理して
1になるとこを
代入したらば
09
ぱっと見が
分かんないですが
整理してくと
１になる
左辺を 二乗する前の 右辺は
1だったので
右辺を 二乗 しても １
左辺 ＝ 右辺
等式は 成り立っていた
10
次に
この 複素数は 実数に
なる と言うのですよ
そこで
ゼットバー ＝ ゼット ⇒ 実数
と言うのが あったデショ
この 塊 全体を Z とみて
Z バーは
11
ゼット のところが バー になるので
12
絶対値 Z 二乗 ＝ ゼット ・ ゼットバー
であるので
Z の 絶対値が １
Z の 絶対値 2乗は １
だからにして
絶対値 Z 二乗 ＝ ゼット ・ ゼットバー ＝1
ゼット バー は いくつ？
13
ゼットバー ヲ
代入したらば
14
結果
塊で考えたところが
ゼットバー ＝ ゼット
の 形になったので
この複素数は
実数である
15
問題
読んでいただいて
16
ある複素数は
なにかわ しらねど
決まってるんですよ
任意の と言うのは
何を もてきても
いいよなんですよ
17
複素数が 実数に なるには
条件が あったじゃナイスカ
そこで
与えられた 複素数全体の
バー を 考えて
18
この バーと 元の バー のない 複素数が
等しければ オッケイ
ゼットの 方は 任意なので
勝手に 使い勝手のいいのを
選んできて
19
ゼット ゼットバー
ヲ さっきの 等式に 代入して
出てきた 式を ➀
20
もう一つ
使い勝手のいいのを
勝手に 持ってきて
ゼット ゼットバー を 代入して
出てきた式を ②
21
➀ ー ②
22
整理したら
であると
お疲れ様です。
（ 晴れ部屋へ 家庭菜園と ざっかや
メニュウ ページ リターン ）
2021年02月16日
大人のさび落とし 28001 複素数 と ベクトル （複素数の計算）旧数Ⅱ
大変困ていますが
元になる 文献が
昔のものであるのと
さらに 当時における
旧課程 新課程
の 区別が あるため
今やってるとこは
本が 4冊に なってしまっています。
もくじが ややこしい
そんなわけで
できるだけ 片っ端から なのですが
とりあえず 一週 するのに できるだけ
まっすぐを めざします
（ ダブらないように ）
ソロソロいいでしょうか
今日は よした方がいい？
怪物くんの 狼男みたいに
おやっさん うどん
月見で
すみません
今日は 月見は よした方がいいですよ
出来ないんか
どうしてもって言うなら
作りますが
・・・・
作ってるうちに
我慢できなくなっっちゃって
おまちどうさま
できたときには
おおかみ になっていた
錆びてるからさ
いきなりは きついんだね
01
複素数は 実数部分 と 虚数部分
が ドッキング した形で
リアル・パート と イマジナリー・パート
02
√のなかの マイナスは 虚数単位を 使って
03
ここは 展開の公式と
指数の 計算と
iの二乗は -1
04
複素数の 形は こうです
05
これを
ガウス平面 とか 複素平面
と呼ばれる形に
図示するには
ｘｙ 平面上に
リアル・パートを ｘ
イマジナリー・パートを ｙ
で
現した点として
（ｘ、ｙ）＝（a,b)
で 図示する
06
こんな感じ
07
計算練習行ってみましょう
分母の 有理化の時みたいに
ただ違うのは
iの二乗は -1
08
計算は こうで
09
ずしすれば
こんなで
10
次は
展開の 仕方が
普段と 少し違う
11
実部と 虚部に 成るでしょ
12
こうです
13
大丈夫だ よね （ ～米 世ね 夜寝 ）
14
分割したりとか
15
こんな日もありますが
16
さいきん
文字の 計算は 良いけど
算数が 危ない
17
電卓を たたいちゃう
うっかりすると
1+1＝
18
ヲィ
だいじょぶです
19
次は
さびがひどくて
かなり 悩みました
悩みの 原因は 後日分かるんですが
20
連立を 解いて
21
a,b は 実数とする
22
置き換えを使って
23
因数分解
24
a,bは 実数なので
bは 虚数単位の前の 数字で 実数です
こんな感じ
25
z が 出たとこで
26
ｚ のとこを 少し
変形して
27
行けそうカナ
28
分母の処理
29
整理して
30
次は
この 数値を 見たら
高次方程式
31
求める 数値は
因数分解の 公式から
32
これを まともにやると
大変なんですが
高次方程式を 利用して
33
オメガは 高次方程式の 解になっていて
34
解いてみると 確かに 成るでしょ
35
3っ とも 解なのですが
36
オメガで 見ていくと
オメガを 2乗すると もう一つの
共役な 複素数解 になり
37
なので
こんな 感じに 書けるんですが
38
次の 式を 利用すると
計算が かなり 省ける
39
それゆえに
40
これが ゼロになるので
41
大幅に 計算が 楽になり
42
残りを 計算すればじゃナイスカ
43
ここまでくれば
44
こうです
おつあれ様です。
（ 晴れ部屋へ 家庭菜園と ざっかや
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2021年02月10日
08補足004 大人のさび落とし 楕円の性質 (追記あり）
楕円の性質
01
楕円があって
だ円周上の 任意の点を P とする時
Pより 直線 ｘ＝ a/e に おろした
垂線の 足を H とすれば
PF:PH は 一定 であることを
証明せよ
ただし、 F を 焦点 、 e を 離心率
とする
02
作図しますとですよ
こんな感じで
焦点 F (C、0） とすれば
03
2点間 の 距離は
公式があったじゃナイスカ
PF は こんな感じ
04
PH の方はと言うと
こんな感じ
05
比の値と言うのは
こんな感じの 公式があるので
分数の形にして
一定になることが 言えればですよ
06
これが 一定ならばいいいですが
題意に 与えられてない文字を
かってに 使ってるとこがありますため
F（C、0）
この座標は 勝手に C を 使いました
そこで
使っていい文字に 変えないといけないじゃナイスカ
07
そこで
P(x,y) は 楕円上の点であるので
楕円の式から
ｙ二乗を
08
③ しき
09
楕円の 性質で
周上の 点が 短軸の 片方の端
にあるとき
PF+PF'=2a
対称な 三角形が
できるので
10
焦点F（C,0) の
C の値が
ピタゴラスの定理で
a,b
で 表せて
a,b は 題意にあるので
離心率の定義から
式変形で
④式
11
部品が できてきたので
➀式の方に
代入しながら
12
まず
④式を
ついで
③式の
ｙ 二乗
を PF の式に 代入
13
展開して
整理していくと
14
ここに あるのは
題意に
使ってある 文字だけだけど
15
④式を さらに 変形して
⑤式として
16
④式を もう一つ
さらに 変形して
⑥式として
17
PF の式に 代入したらばに
18
因数分解 できて
19
徐行マーク点灯中
このまんま
根号を 外しては まずいんですよ
根号の 中身は 正の約束
大小関係から
外すときに こうなる
20
で
かってに 使ってた 文字が消えたので
分数の あたを 計算して
比の値を 見ると
一定 e イィ―
21
楕円上の 任意の点を P
焦点を F、 PO が ふたたび
楕円の交わる点を Q とする時
（１）PF=a-ex
（２）PF+QF 一定
を 証明せよ
22
（１）の方は
さっきと同じに
F（C,0） と置いて
Cを 題意にある a,b
で表し
さらに
離心率の定義から
あ これは
題意に 離心率 と書いてないけど
これこれを 示せの方に e （ 離心率 ）
があるので
暗黙の 了解と言ことで
離心率 e は 使ってしまって
23
さっきやった
とこなので
部品を 作って
24
ｙ二乗のとこは
楕円の 式から
変形して
25
代入いたしますと
26
変形して
27
ここまで持ってくると
28
因数分解で
根号を 間違わないように 外せれば
オッケイ
29
かっこ ２は
楕円であるので
Q の座標は
P と 対称で 符号が違う状態
30
二点間の 距離を 計算するでしょ
31
Cは 勝手に 使ったので
使える文字に
置き換えると
32
さっきと 少し 似てますが
展開 整理 代入
33
展開 整理
34
代入
展開
因数分解
今回は 根号は そのまま外せて
35
たしたらば
一定になったと
36
ABを 超軸 とする
楕円上の点 P から
AB に おろした垂線 の足を
Qとすれば
この式が 一定になることを
示せ
37
面積みたいに 考えると
長方形 と 正方形 の 面積比
が 一定 になるらしいと
座標を 設定して
一定になればいいんですが
38
PQ二乗は 一辺のながさ
ｙ の 正方形
なので
ｙ二乗
Pは 楕円上の 点であるので
楕円の 方程式から
ｙ二乗を
39
PQ 二乗は こんなで
40
AQ・BQは
こんなだから
比の値は
41
題意に 楕円の 方程式は
書いてないけど
これを 見ると
一定に なると言えるにで
一定
42
中心 が O である 楕円上の 点P
と 短軸の 両端を 結ぶ 直線が
再び 長軸 と 交わる点を
Q,Rとする時
OQ・OR は 言ってあることを 示せ
43
こういうことでしょ
短軸の 両端を B,B' として
PB PB' の 直線の 方程式を 求めて
ｙ＝０ を 代入したらば
長軸と 再び 交わる Q,Rの
ｘ座標が 出るので
44
こうじゃナイスカ
45
ORは 距離なので
マイナスに なるといけないから
絶対値を 付けて
46
OQの方
47
掛け合わせると
48
P(x1、y1)は
直線の方程式を
導くのに
つ使ったのですが
楕円上の 点であるので
楕円の方程式に
代入しても
成り立つから
49
へんけいしてくと
50
分かりやすい感じに
なっただ
ナイスカ
本日の 午前の天気は
快晴 さむい！！
きょうの天気は イィー！
今日 我が家のバイクは
寒すぎて エンジンかかんない
あ ちょっと―いいですか
根号 からの お願いがあります
（ 晴れ部屋へ 家庭菜園と ざっかや
メニュウ ページ リターン ）
2021年02月04日
大人のさび落とし 08補足003 楕円の方程式
08補足003 楕円の方程式
01
前回の 補足 002 に
ひきつづきまして
では
実際に 楕円の 方程式を
求めていこうと
機械 製図とか やる人は
得意かもしれませんが
焦点 と 長軸 長
が分かってる場合
02
楕円の 周上を 動く点を
P（ｘ、ｙ） としたときに
Pが どちらかの 短軸の 端にあるとき
点P から 2つの 焦点に 至る
距離の 和は 長軸 長 になるので
楕円の 標準形の の 分母の
a,bは 半長軸 長 、 半短軸 長
であるから
PF+PF'=2a
を 使うと
焦点と 長軸長から 半短軸 長 がわかる
03
これが 分かれば
半超軸長 半短軸長 を
楕円の標準形に 入れればですジャンか
04
今度は
焦点と 離心率から 求めよ
焦点と いうものは
長い 側の 軸上に 対称に
2つあって
中心から 端までの
半長軸 長 分の
中心から 焦点まで の 距離が
離心率になるので
05
今回の楕円は ｙ座標に
プラスマイナス 焦点が
来てるので
b の方が 長軸になる
縦型の 楕円形
離心率と 焦点から
半長軸長
がでれば
06
ここからは さっきと同じ要領で
PF+PF'= ２a aは 半長軸長
（ 長軸 ）
F 、 F’ は 焦点の事なので
三平方の定理で
半単軸長 が出てですよ
今回は aが
半短軸 長
07
後は 標準形の 書式に 合うように
加工して
08
今度は 離心率と
長軸の 端と 端の 座標が
与えられてて
ｙ 座標が 同じなので
ｘ 軸に 平行に 焦点が あるのだけれど
センター が
原点から ずれてますもんで
楕円は 上下 左右 対称なんだから
座標から
半分の とこを 出すと
原点を 中心に したときより
x軸の プラスに -1
ｙ軸の プラスに 2
平行移動した形
09
そこで
原点 中心で 考えて
出来上がったものを
x軸の プラスに -1
ｙ軸の プラスに 2
平行移動し様と
10
半長軸長 と 焦点距離から
3平方で 半短軸長 を
求めて
11
この出来上がったものを
平行移動じゃナイスカ
12
類題
行ってみましょ
これです
13
3平方に 持ち込んで
14
大丈夫だったですか
15
余計なことは 言いませんので
これも
16
一回 でも
やってあれば
忘れても
全部は 忘れないからさ
どこが 忘れやすいか
ぎゃくに 分かるというもんじゃ
ナイスカね
17
え
ナビが 止まってる
故障じゃないから
だいじょです
18
故障では ありません
19
これはさ
少し 難しいかもしれないけど
え そんなことない
20
ぜんぶ しゃべっちゃうと
つまんなくない？
21
ヒントは
焦点は どっちの 軸側に
あるでしょう
ヒント
離心率は 半長軸 長 分の
何の 絶対値 （ 中心から 何 までの 距離 ）
22
なび 停止中です
故障ではありません
23
ヒント PF+PF' = ２a
aは 半長軸長
2a 長軸長
24
平行移動は 原点中心で
考えて 出来たものに
平行移動を した方が 楽
25
答えは これです
お疲れ様です。
（ 晴れ部屋へ 家庭菜園と ざっかや
メニュウ ページ リターン ）
2021年02月03日
大人のさび落とし 08補足002 楕円の焦点と離心率
01
楕円の焦点と離心率
2定点 F(C,0) F'(-C,0)
からの 距離の和が ２aとなる
点P(x,y) の 軌跡の 方程式を 求めよ
図のように 座標を 設定し
02
この F F' のことを
楕円の 焦点と言うのだけれど
点と直線の 距離から
PF PF'を 求めると
03
こんなであるので
それが ＝ ２a
と置いて
ｘ、ｙ の 式に 展開 整理して行くと
04
まず ここから
辺々平方して
整理して
05
少し簡単にして
06
もう一回 平方して
07
展開して
08
整理すると
09
ここで
P（ｘ、ｙ）を ｙ軸上に 取ると
二等辺三角形ができ
等しい一辺は aに 等しいので
3平方の定理から
10
もうすこし
簡単になって
この場合
aは 半長軸長 bは 半短軸長
cは F(C,０） F'(-C,０）
の Cで
長軸側に 二つできる 焦点
11
今回の 焦点は 長軸側 ｘ 軸上なので
図のような感じ
半長軸 分の c 焦点が
離心率になるので
これを e とすれば
12
C のところは 先ほどの 直角三角形の
辺の 値から
こんな感じで
それを 半長軸長で 割ればさ
13
離心率が 出てれば
少しン書き換えると
こんな感じにも
14
長軸が
ｙ軸側に来ると
さっきと逆
15
楕円の 離心率 焦点の座標
楕円の 周上の 点から 2焦点に 至る
距離の 和を 求めよ
16
かっこ１
その前に
公式と言うか
楕円の標準形
焦点 離心率
長軸 短軸
17
標準形に すべく
両辺３６で割って
18
半長軸長 半短軸長 は
ｙ軸が 長軸側に なるようなので
a=2 b=3
19
b＞a 今回は ｂが 長軸
周上の点を 短軸側の頂点aに 持ってきて
焦点を F,F'とすれば
PF+PF'=2b
であるから
PF=PF'=b
20
3平方の 定理で
焦点のｙ座標が プラスマイナス√５
21
離心率は
今回は b分の 焦点の原点から 焦点までの
長さ
周上の点から 2焦点に至る 距離の和は
6
22
同じく
楕円の 離心率 焦点の座標
楕円の 周上の 点から 2焦点に 至る
距離の 和を 求めよ
楕円は 円の特殊な形なので
円の方程式の 標準形に
23
平方完成して
ここから
両辺
36で割ると
24
分子が
平行移動を
示してるので
原点中心の 場合で考えて
25
原点中心で
長軸６ 短軸４ の
楕円を
ｘ軸の 正の方向に +2
ｙ字句の正の方向に -3
平行移動したグラフ
周上の点から ２焦点に至る
距離の和は 2a = 長軸の長さ
（a：半長軸長 ）
26
なので
直角三角形に
当てはめると
ｙ軸上が 短軸
半短軸長 2
ｘ軸上が 長軸
半長軸長 ３
F,F' の Cが 焦点の ｘ座標なので
27
焦点は これは 原点中心の時だから
平行 移動分を 加味して
こんなですか
28
で 離心率は
a=3 b=2
のとき
公式に入れて
こんなです
29
楕円の 長軸 短軸の 長さ
焦点の座標 を 求め
グラフの概形を書け
右辺を 1にして
楕円の標準形に
持ち込みたい
30
標準形に すると
こんな感じなので
半長軸長 a＝５
半短軸長 ｂ＝４
長軸長 １０ 短軸長 ８
焦点は
3平方の定理で
31
ナタメ
グラフ 概形は こんな感じ
32
楕円の 長軸 短軸の 長さ
焦点の座標 を 求め
グラフの概形を書け
半長軸長 ｂ＝１
半短軸長 a＝（√2/2）
長軸長 2 短軸長 √2
33
3平方の定理で
半短軸が a
斜辺が 丁度 等しくなるとこに 持ってきて
半長軸長 ｂ に等しくなるので
焦点は
34
まとめると
こんな感じ
35
楕円の 長軸 短軸の 長さ
焦点の座標 を 求め
グラフの概形を書け
初めから
標準形
平行移動の 値も 分かる
36
周上の点から 2焦点に至る 距離の 和は
長軸 の長さに等しいので
（ 長軸長２a a半長軸長 ）
グラフを 原点 中心に
置くとき
短軸の一方の端 と 焦点と 原点で
できる
三角形に 3平方の定理を 適用して
焦点の 座標が 求まり
37
出てきた 焦点に 平行移動
分を 加味して
38
グラフは
原点から 右上に
紙面の都合で
下に ありますが
39
楕円の 長軸 短軸の 長さ
焦点の座標 を 求め
グラフの概形を書け
まず 円の方程式の 標準形
楕円は その中の 特殊な場合
40
右辺が １ になる様に 持ち込んで
半長軸 半短軸 の 二乗をもとめ
そこから
長軸 短軸
41
平行移動 する前の
中心原点の グラフで 考え
短軸の プラス側 頂点
焦点の プラス側 F
原点で できる 直角三角形から
焦点の座標ｃを 三平方の定理で
求めて
長軸 短軸の 長さは そのまま
焦点の座標に 平行移動分を 加味し
グラフは こんな感じに
なりました。
お疲れ様です。
（ 晴れ部屋へ 家庭菜園と ざっかや
メニュウ ページ リターン ）
2021年02月01日
08補足001 点、直線、円
08補足001
01
点、直線、円
円の 外側の 点から
接線を 引くと 接線が 2本
で
その 二つの 接線の 接点同士を
通る直線の 方程式は
こんな感じに 成るんだよ
02
行ってみましょ
円の 外の 点P（ｘ１、ｙ１） から
この円に 接線を 引いて
接点を
（α、β） （γ、δ）
αアルファ βベータ γガンマ δデルタ
とする時
（１） 、（２） の問いに 答えよ
03
接点と 円の 方程式から
導いていきますと
04
接線と 円の中心から 接点におろした 直線が
垂直に 交わるので
傾きを 掛け合わせれば -1
05
二つとも 直線の成分で
2点が与えられてますので
（０，０）と（α、β）
（α、β）と（ｘ１、ｙ１）
傾きを 求めて かけ合わせれば -1
06
展開して 整理したら
ところで（α、β）は
円の 周上の 点であるので
07
こんな感じに 式が イコールになって
関係式が 出て来ました
08
同様にして
（０，０）と（γ、δ）
（γ、δ）と（ｘ１、ｙ１）
もじゃないすか
09
展開して 整理したらば
10
関係式になりました
11
かっこ２は
直線ABの 方程式が
これで
求まることを
証明せよ
12
まずですよ
この 与えられた式は
ｘ１ ｙ１ のところは
数値が 入るので
もうすこし 表現を 変えると
● ▲ で こんな感じ
ｒの 2乗は あるけど
ここも 数値 になるので
これは x、yについての 1次式
直線の 方程式である。
13
かっこ １ で証明した式を
持ち出してくると
今度は
αアルファ βベータは 円の
周上の点でもあるので
円の方程式を 満たしていて
14
その結果
これは
2点 （α、β） （γ、δ）
を 通る 直線の 方程式に 成っている
15
円と 直線の 交点と 原点を 通る
円の 方程式を 求めよ
二つの 曲線 または 直線が
一点で 交わるとき
決まりがあったじゃナイスカ
16
そこに さらに 原点も 通って
円の 方程式になるもの
公式の ｋを 求めると
原点を 代入すればさ
17
それで
整理したらば
この曲線の 方程式は
一般形だけど
円の方程式に 成っている
18
だから これです。
19
次の 方程式で
ｋの値を いろいろ 変えると
どうなるか
20
二つの 関数に 分解して 考えて
21
交点を 求めると
22
こんな感じで
まず ｙ
初めから ルートで 聞かれたら 正の方だけ
しかし
平方根で もとめるときは プラスマイナス
23
交点が 二つ出てくるので
24
この二つの交点を 通り
この式は 円の 方程式に なってるので
（一般形 ）
2つの 交点を通る 円群になる。
25
定点A(1,2)
放物線 ５ｙ＝ｘ二乗
があり
点Aを 通り
放物線 と 原点以外で
交わる 2点を P,Qとする。
∠POQ＝90度
の時
直線 PQの 方程式を
求めよ
26
イメージは こうですが
これは 実際は 違います
27
直線PQの方程式を
傾き ｍ 点A（１，２） を 通るより
➀式
28
放物線は いいよね
②式
交点P,Qを ｘ、ｙ に
添え字を 付けてじゃナイスカ
29
それと まだ使ってない 条件を
使って
OP ⊥ OQ だから
式③
30
直線と 放物線の 交点は
この解がですよ
式④
ｘについて 解いてるときは ｘ１、ｘ２
になるのだから
P,Qの x座標ですよね
31
解と係数の関係の
c/a
の方を 使って
式⑤
32
②式を 持ってくるでしょ
放物線の 方程式
Pも Qも 放物線上の点でもあるので
ソレゾレ
P、Q、を ②に 代入して
33
かけ合わせるでよ
これと ③式から
34
ｘ１ｘ２＝－２５が出たので
これを ⑤式 ｘ１・ｘ２ ＝ ５ｍ－１０
に代入したらば
ｍ＝－３
35
これを ➀式に 代入して
めでたしめでたし。
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2021年01月31日
08028 動点と 動点 の 対応
01 動点と 動点の 対応
平面上に P(x,y) と言う 動点と
Q（X,Y) と言う 動点があり
点Pが 直線上を動くとき
点Qも 同じ 直線状を 動くという
X=3ｘ+２ｙ+1 Y= ｘ+４ｙ-3
という関係があるとき
Pの動く 直線の 方程式が 知りたい
と言う 問題です。
02
そこで
P（ｘ、ｙ） の方の
スモール ｘ、スモール ｙ を
ラージX ラージY の しきで
表して
曲線 なり 直線 なり の 式に
代入したらば
軌跡に なるから
03
今回は その 軌跡が
同じ 直線の 方程式に なることから
04
ｙ＝ax+ｂ
と置いて
今度は
Q（X,Y)
を ｘ、ｙ で 表して
05
これを 解いてくでしょ
ｘについて ｙについて
ｘから行きますと
06
ｙ消去のために
②かける2倍で
そこから ③を ひけば
07
スモール ｘ
08
ｙについても
③かける3倍の
09
②ー ③×３
10
スモール ｙ
11
ちょっと整理して
ｐ（ｘ、ｙ）が 動く 直線に
ラージX ラージY を 使った 式の
スモールx、スモールｙ を 代入して
12
これが ラージX ラージY を 使った
ｙ＝aｘ + ｂ
の式
13
これを 式変形して行って
ラージY = a ラージX + b
の形にすると
14
この直線の 方程式と
15
さっきの これがですよ
この二つが
同値 になるはずなんだから
係数比較で
16
同値に なる様に 見ていくと
17
傾きの方は
18
-1/2 または 1
19
ｙ切片の方は
20
傾き a＝1 の時
ｂ＝４
21
a＝-1/2 の時
22
ｂ＝ 5/8
こんなですか
23
変数u,vが 一定の 条件を
保ち ながら 変化するとき
ｘ＝ u + 3v
ｙ＝ 2u - v
で 定まる（ｘ、ｙ）の 軌跡を 示し
その軌跡の 長さを
求めよ
24
u=
v=
の式に 導いて
条件に 代入するじゃナイスカ
25
ｖは こんなで
26
uはですよ
27
こんなだから
28
条件に入れて
29
軌跡の イメージが 見えて来て
➀式
範囲がさ
あるから
30
軌跡は 線分の 形状をしているようなので
範囲の両端との 交点を
調べれば
31
一つ目は （3,1）
32
反対側は
33
（1,2）
34
求めるのは
軌跡と その長さなので
2点間の距離の 公式で
こんな感じに
35
二つの 円 に挟まれた
領域があって
その中を 動く点A があるんだって
A（ｘ、ｙ）
とする時
点（ｘ+ｙ、ｘ-ｙ）
の 動く範囲を 求めよ
36
A
の領域は ここ
37
A（ｘ、ｙ）
とする時の
点（ｘ+ｙ、ｘ-ｙ）を
B（ｘ+ｙ、ｘ-ｙ）とすれば
じゃナイスカ
38
ｘ ｙ は それぞれ
39
こんななので
40
もうほんとは
ここで
答えなんですが
41
計算してくと
42
ねー
43
B領域は ここ
44
ところで
これはさ
45
同じなんだよ
46
点Pが ３直線
ｘ＝-1 、ｙ＝1 、ｙ＝ｘ
によって 作られる 三角形の
周上を 動くとき
u=x+y
v=xy
によって 決まるうu,v を 座標とする
点Q
Q(u,v)は どんな図形を 描くか
47
休んでたら
問題文が ダブってしまった
48
点P(x,y)が ｘｙ平面上を 動き
Q（u,v)は uv平面上で
P(x,y)の 動きによって できる
u=x+y
v=xy
を 座標とする点の集合
49
P(x,y)が
ｘ＝－１上を 動くとき
ｘ＝－１ 固定で
ｙ の値 値域が
-1から 1まで
50
普段は
ｘｙ 平面に 慣れているので
うっかりすると ピーンと 来ないですが
uv 平面の 式に 考えると
51
ｖが 縦軸なので
ｖ＝ 何鱈 u purasu ほにゃらら
52
こんな感じかな
53
ｙ＝1の時も
今度は ｙが 固定 ｙ＝１で
ｘの 値 変域が -1 から 1まで
54
こんなカンじで
55
ｙ＝ｘの時は
56
-2から uが ２まで
57
曲線になって
58
3っ合成すると
こんな感じ
お疲れ様です。
（ 晴れ部屋へ 家庭菜園と ざっかや
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2021年01月11日
08027 大人のさび落とし 弦の中点の軌跡 訂正があったため 訂正いたしました。
弦の中点の軌跡
01
定円 と 動直線があって
この二つが 交わって 弦PQを 作るとき
弦 PQ の 中点を M として
Mを ｍの式で 表し
へてから
Mの 軌跡を 求めなさい みたいな
問題です
02
中点Mは 弦 PQ が決まって
そこから 出てくるので
Mが動くわけなんだけど
移動する 元の方
先に 動く方を
弦PQ の Pと Qの 方に
補助変数を 使うと
03
中点Mは こんなかんじに 成るんだけど
あ
全体的な イメージは こんなですか
04
直線と 円の 交点を もとめるために
方程式を 連立して
解いていくと
ｘを まず消去して
ｙ から求めるに
二つ 解が でるように しないと
いけないのですが
二つの解は
ソレゾレ
P、Qの y座標
ｙ１． ｙ２
05
まずこの
ｙの 2次方程式が
異なる 実数解を 持つためには
判別式：D D＞０
それと
ここが 味噌ですよ
交点になる y座標は P,Qのy座標
中点は （ｙ１+ｙ２）/2 であるから
解と係数の関係の
α+β＝まいなす a ぶんの b
を使うと じゃナイスカ
06
解と係数の関係から
ｙ１+ｙ２ が出て来て
07
そこが分かれば 中点の ｙ座標は
08
中点M は M(X,Y)
Yが でてて
Xを 求めるに
X,Yは 直線 ｘ＝ｍｙ+6 上にあるのだから
ここに 代入したらば
09
中点が出て来ました
解と 係数の 関係は 便利でしょ
でですよ
PQが 弦を 形成する ｍの範囲があるので
さっき ほったらかしてた
判別式で
10
こんな感じに
絶対値を 付けて 表すと
こんな感じ
11
絶対値は こんなだったですよ
12
それを 踏まえると
先ほどの
ｍの 範囲の 意味は
こんな感じ
13
題は これで 終わりじゃなくて
中点Mの軌跡なので
X Y から ｍ を 消去して
X Yの 関係式にすると
14
こんな感じに
ｍが ラージ X と ラージ Yになったので
15
これを
どちらかに もう一回 代入すれば
16
こんなか
17
式を 変形してくと
円になるんだけど
ｍに 範囲があるので
そこから
Xの 変域を 調べると
18
ラージX の 分母に ｍ が効いてくるんだけど
mは2乗
マイナスに 大きくても、 プラスに おおきくても
全体で
その時の 極限的 目標的な ｍの 値が 最大で
限りなく 0 に 近づいていくが
0には ならない
ナタメ
Xの 変域は ０＜ X ＜ 2/3
19
試験の時は 落ち着きたくても
おちつけないものですが
20
プレッシャー に 負けては
いけないけど
余計な エネルギーを 外に使うと
もっといけない
この辺は
ベテランの かたから
いろいろ うかがってると思いますので
21
類題を
定円に対して
ある 原点を 通る直線と 平行な
直線が 交わって できる 弦の中点の
軌跡を 求めなさい
イメージは
こんなで
22
ここから
中点を 求めるのだけれど
弦の 中点ときたら
解と係数の関係
移動する 中点のMの
移動元の
弦を作る
P、Qを 補助変数を 使って
それと
弦になる様に
異なる 2点で 交わるためには
判別式D D>0
23
まず 交点を 求めていくと
連立から
ｙを 消去して
判別式 D>０ から 範囲
中点の 座標は 解と係数の関係を使うと
中点のｘ座標が出る
24
中点は
直線上にあるから
中点の x座標を だいにゅうしたら
ｙ座標が出て
X Y から ｍを 消去すると
Mの軌跡になる
25
行ってみましょう
連立から ｙを 消去で
ｘの 2次方程式 にして
これが 二つの 解を 持つように
しながら
この 二つの解は 弦の元の P、 Q の ｘ座標
ｘ１、ｘ２
26
判別式から
ｍの範囲が出て来て
これは 同直線の ｙ切片だけど
27
解と係数 の 関係を 使って
中点の ｘ 座標を 求め
28
中点は 同直線上に あるので
29
中点MのYが求まり
30
中点Mの 軌跡は
31
ｍ の 範囲は 直接
軌跡に かかってこないから
ｍの範囲は 出てるけど
軌跡が ｙ＝1/2ｘ で
円の内部
32
今度は 放物線 と 同直線
によって できる 線分の 中線の 軌跡
33
方程式を 連立して
ｙ を 消去の ｘの 2次関数にして
34
コレが 線分に なる様に
異なる 2点で 交わるよう
判別式で
範囲を 定めて
35
解の公式で
ｍ を出すと
置いといて
36
線分ABの 中点は
連立から 出た
ｘの 2次方程式の
二つのかが
ｘ１、ｘ２であるから
解と係数 の関係を 使って
中点の ｘ 座標を 出してしまうと
37
ｘ座標がでれば
中点の Y座標も
38
中点が 分かったから
39
中点のX Y から ｍを 消去して
中点の軌跡
40
範囲を 整えて
こんな感じ
お疲れ様です。
（ 晴れ部屋へ 家庭菜園と ざっかや
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2020年12月09日
08026 大人のさび落とし 図形と方程式 補助変数
大人のさび落とし
図形と方程式
補助変数
01
問題を 読んでいただいて
02
二次関数の グラフ上の 点Pに対して
ある条件を 満たす グラフ上の
他の点Qがあって
Qの座標は Pを ｔで表す時どうなるの
それから
その時に できる 三角形 POQの 重心の軌跡は
の という問題
03
点Pの座標を 使って
直交 する 直線の条件から
直線 OQ
04
２次関数の グラフとの
交点を 調べて 点Qの座標
05
交点は
ｔを 含んだ 形で
06
こんな感じ
で
Qが出たから
三角形の 重心の 公式から
07
重心は
こんな座標になる
08
ｘ、ｙ の 関係式にしたらば
09
➀をより
辺々二乗して
10
②に代入して
11
これです
12
ｔの値が変わるとき
ｘ、ｙの 軌跡を 求めよ
（ ｔを 消去して ｘ、ｙの 関係式にせよ ）
13
式変形して行って
14
➀ と ② より
15
これは 円だね
16
➀より
ｔ２乗＝ にして
②に代入して
17
出て来ましたよ
ところで
ｙ＝にして ➀ に代入すると
18
コンななんですよ
実数の二乗は ゼロ以上
これは ものすごく使います
19
三角関数で来てますが
頂点は
どんな 感じの 曲線を かくか
頂点を 標準形で
出すじゃナイスカ
20
こんなカンじに
21
よく使う 二乗足す 二乗の 公式から
これで
頂点が出たと
22
ｘに対応するのが sin Θ
ｙに対応するのが cosΘー1
ｘ、ｙ の関係式に するために
何らかの方法で
シータ 消去すると
23
よく使う 何らかの 公式からですよ
円が出て来ました
シータには
範囲が 指定されてるので
24
ｘ、ｙ 共に
調べると
こんな感じ
25
問題を よんでいただいて
26
問いが ２問
27
ｃ（ｘ、ｙ）トシタノで
２点間の距離
AB＝BC
28
AB ⊥ BC
29
これらから
連立して
30
ここで
31
題意より a >０
32
であるから
ｃの座標は
Mの 座標は
33
M は ｘ＝ｙ
ｃは
xは 固定
aは 動点 そうすると
34
こんな感じですか
お疲れ様です。
（ 晴れ部屋へ 家庭菜園と ざっかや
メニュウ ページ リターン ）
2020年12月03日
大人のさび落とし 08025 円になる軌跡 （アポロニウスの円）
大人のさび落とし
図形と 方程式
円になる軌跡 （２）
01
アポロニウスの 円 と言うのがあるのですが
解き方を 覚えてしまえば
後は 順序に従って
いけますので
まずは 穴埋め問題
02
こんな感じから
円の 方程式に 持って行って
一般形 標準形
円の中心 半径
さらに 内分点 外分点
03
２：１ この比の値が キーワード なんですが
アポロニウスの円と言うのは
P(x,y）の軌跡は 円になり
比の値を
２点ABに対して
内分点 外分点
とすると
ソレゾレが 円の直径の 両端になる様に
なってるんですよ
こんな感じ
04
穴埋めを してくときに
順序だてて
アポロニウスの 円を 解いていって
順次 穴を 埋めて
最終的に
内分点 外分点 を 求めると
05
まず ２点間の 距離を だして
２乗して ルートを 外して
06
比の値から
両式を 結んで
展開 整理 すると
円の方程式が 出てくる
P(x,y)の軌跡
07
文字を 使った まんま
展開整理して
08
一般形 標準形
09
＝０ が 抜けてますが
式の 一番最後が ＝０
10
ここから
分かってるとこを
係数比較みたいに
見比べて
ぷらすまいなす 気お付けながら
11
点が 分かれば
内分
12
外分
13
始めの方の
まだ空いてるとこもも
穴埋めして
14
後は 計算
15
円の中心
16
半径
17
センター 試験って
やったことないですが
共通一次も やらなかったし
こんな感じの 問題もあるのかな
18
こんな感じで
19
自分的には
筆記の方が 気楽なんですが
しかし
今となってはね
時代は 変わりました
まだ 変わるんですか
問題だ
じゃなくて
問題です
20
特に 決まりは
ないので
今みたいに
設定して
比の値から
21
展開 整理
22
こんな感じになるですか
今回の 比の値は
２：１ で
円の 直径の 両端が
線分ABを
２：１に 内分
２：１に 外分
した感じに
23
穴埋め問題
24
比の値が ２：３
25
アポロニウスの 円は
ｐ（ｘ、ｙ） と それぞれ
点A、点B の ２点間の 距離の ２乗を
使って
比の値で
むすび合わせて
円の方程式に 導いてくと
26
分かったとこは 埋めてって
27
文字の 残ってるとこは そのまま
係数比較法 の 要領で
28
（ア) と （ク） が出て
29
（オ)が出て
30
残りも
31
ラストは
これは
筆記タイプですが
32
２点間の距離
比の値
２乗して
ルートを 外して
33
文字なんですが
順序を 考えて
ぷらすまいなす 調整して
34
円に 成ってきたかな
35
分母が ０でない時
円の方程式
36
分母が ０ に なってしまうときは
少し
戻った 式から
ｘ＝a/2
直線
A(a,0) は 原点と別に 取ってあるので
amは ゼロではない
お疲れ様です。
（ 晴れ部屋へ 家庭菜園と ざっかや
メニュウ ページ リターン ）
